《高等代数选讲》作业参考答案

数学专业学习

《高等代数选讲》作业参考答案

一．判断题

1．× 2．× 3．× 4．√ 5．√ 6．× 7．√ 8．√ 9．√ 10．×11．√12．× 二．填空题

1100 1100 3 3．0, 1, 2,…, n-1 4 ．(3, -2, 6) 5．(-3, -1) 6．1,2, ,n 1． 2． 0200 1000

7．(3,1, 2,0) 8． 5, 12,22

n

(9, 7, 1)612 9．, ,2 10．22 11．6 三．计算与证明

11

1 1．解：f(xx

1,x2,3) (x1,x2,x3) 1

0 x1 x 2

10 x3

由此矩阵的顺序主子式 0得

1或 1 0。

2．令

k1 1 ks s,有( i) 0

s

s

( ,) ( ,则有

ki i) 1

( , i) 0

ii 1

，由此可得 0

3．解：A的特征多项式为：

1

3 3

E A 3

5

3 2 2

4

6

6

4

当 =-2时，(2E-A)X=0的基础解系为： TT

1=(1,1,0) 2=(-1,0,1)

=4时，( E-A)X=0的基础解系为： 11

当

3=(2,2

,1)T

1-11 2 P=( 1

1， 2， 3)= 10 -2 2 -1 011 PAP= -2 故令 ， 则有

4 6312． 3 8 060 6

3

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12-1

3

, , 为R123，同理可证 的基，过渡矩阵

0-13 0

1-10 , , 4．证明：只要证明123组成的矩阵行列式

17 7

424 A 9/41/25/4

1/4 5/2 5/4 A为：

5．解：基础解系为

1 (1,0, 3,2,0)'

2 (0,0, 3,2,1)'

222

( ) 6．证明（1）

2

0

0 有 2

0故

从而 0

2

( ) ( )( )经整理有 （2）

=

2222

f(x,x,x,x) (x x) (x 2x 2x) 3x 8xx 4x1234122343344 7．解：

81616222

(x1 x2)2 (x2 2x3 2x4)2 3(x3 x3x4 x4) x4 4x4

393= (x1 x2)2 (x2 2x3 2x4)2 3(x3

4242x4) x433 y3 x3

4

x4,3

y4 x4

=

令

y1 x1 x2,y2 x2 2x3 2x4,

得

22

f(x1,x2,x3,x4) y12 y2 3y3

42

y43

８．证：对S做归纳

（1）S=1时，因为特征向量非零，所以 1线性无关。

, , , k线性无关，当s k 1时,设l1 1 lk k lk 1 k 1 0①，对①两端同

（2）假设s k时，12

乘以

k 1得

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l1 k 1 1 l2 k 1 2 lk k 1 k lk 1 k 1 k 1 0②

对①两端同施行②－③得

有l

111

l2 2 2 lk 1 k 1 k 1 0③

l1(l1 k 1) 1 l2( 2 k 1) 2 lk( k k 1) k 0

由归纳假设于是所以

1, 2, , k线性无关，又li k 1 0,i 1,2, ,k

li 0(i 1,2, ,k)这时①式变为lk 1 k 1 0,又 k 1 0 lk 1 0。于是 1, 2, k 1线性无关。

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