博弈论第二章习题

问题1：博弈方2就如何分10000元钱进行讨价还价。假设确定了以下原则：双方提出自己要求的数

ss2，0?s1，s2?10000。如果设博弈方1和，s1?s2?10000，则两博弈方的要求都得到满足，即分得s1和s2；但如果s1?s2?10000，则该笔钱就被没收。问

额1和

该博弈的纯策略纳什均衡是什么？如果你是其中一个博弈方，你会选择什么数额，为什么？

解：u1(s1)?s??1?0?ssu2(s2)??22?0s2s1?10000?s2s1?10000?s2?10000?s1?10000?s1，那么，s1?10000?s2

那么，s2?10000?s1

?10000上的任意点(s1,s2)，都是本博弈的纯策略的Nash均衡。假如

我是其中一个博弈方，我将选择s1?5000元，因为(5000,5000)是比较公平和容易接受的。它又是一

个聚点均衡。

它们是同一条直线，s1?s2n家厂商。qi为厂商i的产量，Q?q1?q2???qn为市场

总产量。P为市场出清价格，且已知P?P(Q)?a?Q（当Q?a时，否则P?0）。假设厂商i生产产量qi的总成本为Ci?Ci(qi)?cqi，也就是说没有固定成本且各厂的边际

问题2：设古诺模型中有成本都相同，为常数

c(c?a)。假设各厂同时选择产量，该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷

n大时博弈分析是否仍然有效？

解：?i令

?pqi?cqi?(a?c??qj)qi，i?1,2,j?1,n

??i?a?c?2qi??qj?0，i?1,2,?qij?i*1,n

解得：q?q?*2a?c**?q?，?1??2?n?1*n当n趋向于无穷大时，这是一个完全竞争市场，上述博弈分析方法其实已经失效。

?a?c???????n?1?*n2

P?P(Q)?a?Q，但两个厂商的边际成本不同，分别为c1和c2。如果0?ci?a/2，问纳什均衡产量各为多少？如果c1?c2?a，但2c2?a?c1，则纳什均衡产量又为多少？

问题3：两寡头古诺模型，解：双方的反应函数联立求解

?*1q?(a?2c1?c2)??2q1?q2?a?c1?13，解得：? ?q?2q?a?c1?122?q*?(a?c?2c)212?3?当0?ci?a/2，就是这个博弈的Nash均衡。

如果c1*?c2?a，但2c2?a?c1，当然可以推得q2?0。那么厂商1就变成垄断商它的最佳产量

2a?c?a?c?**当然是q1?，它的利润是：?1?24

问题4：如果双寡头垄断的市场需求函数是边际成本为相同的常数

。

c。如果两个厂商都只能要么生产垄断产量的一半，要么生产古诺产量。证明：这

1

P?P(Q)?a?Q，两个厂商都无固定成本

是一个囚徒困境型的博弈。

解：古诺产量

a?ca?c，垄断产量的一半，那么 342a?c???i?(a?c?Q)qi分别有四种情况：

9

厂商二 古诺产量厂 古诺产量商 一 a?c??，

825?a?c?，

3625?a?c?，

48a?c 42

a?c 3垄断产量的一半2a?c 3?a?c?92?a?c?，9 25?a?c?36 25?a?c?，4822 a?c5?a?c?2垄断产量的一半 4485?a?c?，36?a?c?82a?c??，8 双方都有偷步的行为，直至达到古诺产量，达到均衡。

问题5：两个厂商生产一种完全同质的商品，该商品的市场需求函数为

Q?100?P，设厂商

1和厂商2都没有固定成本。若他们在相互知道对方边际成本的情况下，同时作出产量决策是分别生产20单位和30单位。问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？

?(100?q1?q2)q1?c1q1，?2?(100?q1?q2)q2?c2q2 ??1??令?100?c1?2q1?q2?0，2?100?c2?2q2?q1?0 ?q1?q2解：?1代入q1

问题6：两个企业1、2各有一个工作空缺，企业的工资为

**?20,q2?30，所以：c1?30,c2?20。

iwi，并且(1/2)w1?w2?w1。

设有两个工人同时决定申请这两个企业的工作，规定每个工人只能申请一份工作，如果一个企业的工作只

有一个工人申请，该工人肯定能得到这份工作；但如果一个企业的工作同时有两个工人申请，则企业无偏向地随机选择一个工人，另一个工人则会因为错过向另一个企业申请的时机而失业（这时收益为0）。该博弈的纳什均衡是什么？该博弈的结果有多少种可能性，各自的概率是多少？

解：

工人2 企业1 企业2 工 企业1 人 1 企业2 11w1，w1 w1，w2 2211w2，w1 w2，w2 22

有两个纯策略均衡，还有混合策略均衡。 ????2w1?w22w2?w1，1???1???w1?w2w1?w2问题7：五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。每只鸭子的收益决于

v是鸭子总数N的函数，并取

N是否超过某个临界值N；如果N?N，收益v?v(N)?50?N；如果

N?N时，v(N)?0。再假设每只鸭子的成本为c?2元。若所有居民同时决定养鸭的数

问题7：ni是第i个农户养鸭子的数量，N量，问该博弈的纳什均衡是什么？

?n1?n2?n3?n4?n5，当N?N时，

2

ui?niv(N)?2ni?ni(50?N)?2ni，i?1,2,3,4,5 ?ui?0,i?1,2,3,4,5，那么 ?ni?2n1?n2?n3?n4?n5?48?n?2n?n?n?n?4812345??*****?n1?n2?2n3?n4?n5?48，那么n1?n2?n3?n4?n5?8 ?n?n?n?2n?n?4845?123??n1?n2?n3?n4?2n5?48（1）如果N?5?8?40，则上述临界条件成立，五户居民每户养8只鸭子，就是该博弈的

均衡。 （2）如果NNash

?N?*****?40，那么上述条件不成立，n1?n2?n3?n4?n5???

?5?R 2，7 0，0 问题8：应用均衡概念和思想讨论下列得益矩阵表示的静态博弈。 博弈方2 L 博弈方1 U 6，6 D 7，2 解：有两个纯策略Nash均衡。（U，R）和（D，L），但还有一个混合策略Nash均衡。?但效率不高，双方的期望收益都是

?21??21?,?，?,?。3?3??33?14；不如（U，L）的效率高，（U，L）是3Pearto均衡。应该设置一种

机制，促使该Pearto均衡实现。

问题9：三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？

矩阵1： 妻子 活着 死了 丈夫 活着 1，1 -1，0 死了 0，-1 0，0 矩阵2： 妻子 活着 死了 丈夫 活着 1，1 1，0 死了 0，1 0，0 矩阵3： 妻子 活着 死了 丈夫 活着 -1，-1 1，0 死了 0，1 0，0 9解：矩阵1有两个Nash均衡（活着，活着），（死了，死了）和混合策略Nash均衡??11??11?,???,?。2?2??22?两人的感情很好，同生死，共患难，极度恩爱，单独活着反而更加痛苦。

矩阵2有三个Nash均衡，（活着，活着），（活着，死了），（死了，活着）。说明两人感情恶化，生活很不幸福。一方死了，另一方更好，但没有到相互不可容忍的地步。这说明夫妻感情很不好，处于相当危险的状态。

矩阵3有两个Nash均衡，（活着，死了），（死了，活着）。达到你死我活、势不两立的程度。这说明这对夫妻感情状态极度恶化，已经相互仇恨到了不共戴天的程度。

3

。

a、b数值不确定。

试讨论本博弈有哪几种可能的结果。如果本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信的，a或b应满足什么

问题1：如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能肯定，即下图中条件？

乙 借 甲 分 不分 乙 不打 （2，2） 打 不借 （1，0） （a，b）

①

（0，4）

a?0，不借—不分—不打；

②0?a?1，且b?2，借—不分—打； ③a?1，且b?2，借—不分—打(a,b)； ④a?0，且b?2，借—分—（2，2）

问题2：三寡头市场需求函数

P?100?Q，其中Q是三个厂商的产量之和，并且已知三个

厂商都有常数边际成本2而无固定成本。如果厂商1和厂商2同时决定产量，厂商3根据厂商1和厂商2的产量决策，问它们各自的产量和利润是多少？

?1?(100?q1?q2?q3)q1?2q1?(98?q1?q2?q3)q1 ?2?(100?q1?q2?q3)q2?2q2?(98?q1?q2?q3)q2 ?3?(100?q1?q2?q3)q3?2q3?(98?q1?q2?q3)q3 ??3?0,?q3?(98?q1?q2)/2

?q3代入，?1?(98?q1?q2)q1/2,?2?(98?q1?q2)q2/2 ??1??2***?q2?98/3,q3?49/3 ?0,?0，得q1?q1?q2**?1*??2?4802/9,?3?2401/9。

问题3：设两个博弈方之间的三阶段动态博弈如下图所示。

a和b分别等于100和150，该博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？

（2）L?N?T是否可能成为该博弈的子博弈完美纳什均衡路径，为什么？

（1）若

（3）在什么情况下博弈方2会获得300单位或更高的得益？

4

1 L 2 M N 1 T 200，200 S R 300，0

（1）博弈方1在第一阶段选择R，在第三阶段选择S，博弈方2在第二阶段选择M。 （2）不可能。和

（a，b）

50，300

L?N?S，要使该路径成为子

博弈完美Nash均衡而且博弈方2得到300单位及以上的得益必须a?300,b?300。

现300单位的得益，唯一有可能实现300单位及以上的得益的路径为

问题4：企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。如果企业甲先于企业乙进行产品选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清楚。

（1）用扩展型表示这一博弈。

（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？ 企业乙 高档 低档 企业甲 高档 500，500 1000，700 低档 700，1000 600，600 扩展型表示的博弈 b是什么数值，该路径都不能构成Nash均衡，不能成为子博弈完美Nash均衡。

（3）由于L?N?T不是本博弈的子博弈完美Nash均衡，因此博弈方2不可能通过该路径实

L?N?T带来的利益50明显小于博弈方1在第一阶段R的得益300；无论a甲 高 乙 高 低 高 （700，1000） 低 乙 低 （500，500） 若甲选择高档，乙选择低档，甲得1000元，乙得700元； 若甲选择低档，乙选择高档，那么甲得700元，乙得1000元， 所以：甲的策略为：选择生产高档产品；

乙的策略是：若甲选择高档，乙选择低档；若甲选择低档，乙选择高档。 本博弈的子博弈Nash均衡是：甲选择生产高档彩电，乙选择生产低档彩电。

问题5：乙向甲索要1000元，并且威胁甲如果不给就与他同归于尽。当然甲不一定相信乙的威胁。请用扩展型表示该博弈，并找出纯策略纳什均衡和子博弈完美纳什均衡。

5

（1000，700） （600，600）

甲 不给 乙 实施 不实施 （0，0） 给 （-1000，1000）

（-∞，-∞） 两个纯策略Nash均衡：（给，实施），（不给，不实施）

实施的威胁不可信，甲在第一阶段选择不给，乙在第二阶段不实施（生命诚可贵）；这是子博弈完美纳什均衡；另一个（给，实施）不可信。

问题6：两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是

?1??（p?aq?c)2?q，企业2的利润函数是?2??（q?b)2?p，其中

p是企业1的价格，q是企业2的价格。求：

（4）是否存在参数

（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；

（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡； （3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；

a,b,c的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？

??1??2(p?aq?c)?0?p解：（1），解得：p?ab?c,q?c

??2??2(q?b)?0?q?1?b,?2?ab?c

??2（2）??2(q?b)?0，代入得到

?q???1??（p?ab?c)2?b，1??（2p?ab?c)?0，得

?pp?ab?c，企业1的子博弈完美纳什均衡企业1的定价p?ab?c，企业2的定价q?b，利润也与（1）相同。与同时选择无异。

（3）将p?aq?c代入 ?2??（q?b)2?p??（q?b)2?aq?c

a??2??（2q?b)?a?0，解得q??b，代入得

2?qa2p??ab?c

2

6

2aa*?1*??b?b，?2??ab?c?ab?c

24（4）只有先决策的利润大于后决策时的利润时才有激励。①当

P(Q)?a?Q，其中Q?q1?q2?q3，

qi是厂商i的产量。每一个厂商生产的边际成本为常数c，没有固定成本。如果厂商1先选择产量q1，厂商2和厂商3观察到q1后同时选择q2和q3，问它们各自的产量和利润是多少？

问题7：三寡头市场有倒转的需求函数为解：

a2?ab?c?ab?c?a?0，企业2希望先决策； 4a?b时，企业1希望先决策，只要a?0都希望自己先决策。 ②当b?2aa2b?0,?b?0,ab?c?0,?ab?c?0，因此当

24aa?0,b??和c?ab时都能满足，这样才参数范围都希望自己先决策。

2?i??(a?c)?(q1?q2?q3)?qii?1,2,3 ??2?a?c?q1?2q2?q3?0?q2

??3?a?c?q1?q2?2q3?0?q311q2?q3?(a?c?q1)，代入得?1?(a?c?q1)q1

331d?11***令?0,q1?(a?c)，代入得：q2?q3?(a?c)

6dq12111**?1*?(a?c)2,?2?(a?c)2,?3?(a?c)2

123636问题8：考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业1和企业2目前情况下的生产成本都是企业1可以引进一项新技术使单位成本降低到

c?1，该项技术需要投资fc?2。

。在企业1作出是否投资

的决策（企业2可以观察到）后，两个企业同时选择产量。假设市场需求函数为其中

p(q)?14?q，

p是市场价格，q是两个企业的总产量。问上述投资额f处于什么水平时，企业1会选择引进新

技术？

解：以未引进技术为基准

?1?(14?q1?q2)q1?2q1??1??2，令??0，得

?2?(14?q1?q2)q2?2q2?q1?q2

7

如果引进技术，

q1?q2?4,??1??2?16

?1?(14?q1?q2)q1?q1?f令

196??1?f??0，得q1?,q2?,??1??339?q1?q2?2?(14?q1?q2)q2?2q21411??2

只有引进技术后得到的利润大于未引进技术的总利润时，即

19619652?f?16，即f??16?时企业1才会引进新技术。 999问题9：如果学生在考试之前全面复习，考好的概率为90%，如果学生只复习一部分重点，则有50%的

t?100小时，重点复习只需要花费t2?20小时。学生的效用

函数为：U?W?2e，其中W是考试成绩，有高低两种分数Wh和Wl，e为努力学习的时

概率考好。全面复习花费的时间1间。问老师如何才能促使学生全面复习？

解：学生全面复习的期望得益

u1?0.9?(wh?200)?0.1?(wl?200)?0.9wh?0.1wl?200

学生重点复习的期望得益

u2?0.5?(wh?40)?0.5?(wl?40)?0.5wh?0.5wl?40

根据激励相容的条件，u1?u2，所以有

0.9wh?0.1wl?200?0.5wh?0.5wl?40 所以：0.4(wh?wl)?160 故：wh?wl?400

奖学金与学习成绩全面挂钩，才能激励学生的学习；单靠成绩没有这么大的力度。 学生 全面 成绩 高分0.9 低分0.1 重点 成绩 高分0.5 低分0.5 Wh-200 问题10：某人正在打一场官司，不请律师肯定会输，请律师后的结果与律师的努力程度有关。假设当律师努力工作（100小时）时有50%的概率能赢，律师不努力工作（10小时）则只有15%的概率能赢。如果诉讼获胜可得到250万元赔偿，失败则没有赔偿。因为委托方无法监督律师的工作，因此双方约定根据结果付费，赢官司律师可获赔偿金额的10%，失败则律师一分钱也得不到。如果律师的效用函数为

Wl-200 Wh-40 Wl-40 .m?0.05e，其中m是报酬，e是努力小时数，且律师有机会成本5万元。求这个博弈的均衡。

解：第三阶段，律师 努力的期望得益：

0.5?20?0.5?5?7.5

8

不努力的期望得益：满足激励相容约束

0.15?24.5?0.85?0.5?3.25

第二阶段： 接受委托并努力工作

第一阶段：委托，接受委托，代理人努力工作，那么

7.5?3.25&7.5?50.5?225?0.5?0?112.5?0

委托是必然的选择。

打官司的人提出委托，律师接受委托并努力工作。 1 委托 不委托

2 （0，5）

拒绝 接受 1 （0，5）

不努力 努力 0 0 输0.5 赢0.15 输0.85 赢0.5 （225，20）

（0，-5） （225，24.5） （0，-0.5）

第四章习题

一、如果T次重复齐威王田忌赛马，双方在该重复博弈中的策略是什么？博弈结果如何？

答：因为这是零和博弈，结论比较具体。重复Nash均衡，均以1/6的概率选择各个策略，期望收益分别为1和-1。

因为这是竞争性的零和博弈，无论是有限次重复博弈还是无限次的重复博弈，均不能达成合作的条件。 二、举出现实生活中的一个重复博弈与一次性博弈效率不同的例子。

答：火车站和机场餐饮业的服务的顾客往往是一次性的，回头客和常客也比较少，价格高，质量差，一次性博弈。效率也比较低。

商业区和居民区的餐饮业和商业服务业，回头客和常客比较多，比较注重信誉，质优、价廉，重复博弈。效率也比较高。

三、有限次重复博弈和无限次重复博弈有什么区别？这些区别对我们有什么启发？

答：动态博弈的逆向归纳法可以用于有限次重复博弈，但不能用于无限次重复博弈，主要用逆向归纳法。

无限次重复博弈的效率往往高于有限次重复博弈。当重复次数较少不一定考虑贴现问题，但无限次重

9

复博弈必须考虑贴现问题。

启发：重视有限次与无限次的区别，区分和研究这两类博弈，在实践方面重要启发是促进和保持经济的长期稳定和可持续发展，提高社会经济效率是非常有意义的。

四、判断下列表述是否正确，并作简单讨论：

（1）有限次重复博弈的子博弈完美纳什均衡每次重复采用的都是原博弈的纳什均衡。 答：不一定。对于有两个以上纯策略纳什均衡的条件下就不一定。如“触发策略”就不是。 （2）有限次重复博弈的子博弈完美纳什均衡的最后一次重复必定是原博弈的一个纳什均衡。 答：是，根据子博弈完美纳什均衡的要求，最后一次必须是原博弈的一个纳什均衡。 （3）无限次重复博弈均衡解的得益一定优于原博弈均衡解的得益。 答：错。如严格竞争的零和博弈就不优于。

（4）无限次重复古诺产量博弈不一定会出现合谋生产垄断产量的现象。

答：正确。合谋生产垄断产量是有条件的，由贴现率来反映，当不满足条件时，就不能构成激励。 （5）如果博弈重复无限次或者每次结束的概率足够小，而得益的时间贴现率个体理性的可实现得益都可以作为子博弈完美纳什均衡的结果出现。

答：这就是无限次重复博弈的民间定理。

（6）触发策略所构成的均衡都是子博弈完美纳什均衡。

答：错误。触发策略本身并不能排除重复博弈中不可信的威胁和承诺，因此由触发策略构成的不一定是子博弈完美纳什均衡。

五、为什么消费者偏好去大商店买东西而不太信赖走街穿巷的小商贩？

答：去大商店买东西，重复博弈——合作诚信问题；走街穿巷的小商贩，一次性博弈——没有合作的必要，存在不诚信和欺诈。

建立信用制度和诚信档案的必要性。 六、寡头的古诺产量博弈中，如果市场需求成本，贴现因子

?充分接近1，那么任何

P?130?Q，边际成本C?30且没有固定

??0.9。如果该市场有长期稳定性，问两个厂商能否维持垄断产量？

（130?q1?q2)q1?30q1??1?解：?，古诺产量

（130?q1?q2)q2?30q2??2?10010000****，利润为：???? q1?q2?1239（130?q)q?30q， 垄断产量???qm?50，?m?2500

市场长期稳定的，

?m2?1250

10

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