高三艺术生数学复习资料 - 函数的对称性和周期性

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函数的对称性和周期性

一.明确复习目标

1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。 3.掌握常见的函数对称问题

二、建构知识网络

一、两个函数的图象对称性

1、 y?f(x)与y??f(x)关于x轴对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)??g(x)，即它们关于y?0对称。 2、 y?f(x)与y?f(?x)关于Y轴对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(?x)，即它们关于x?0对称。 3、 y?f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)，即它们关于x?a对称。

4、 y?f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(x)?2a，即它们关于y?a对称。

5、 y?f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点(a,b)对称。

换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)?2b，即它们关于点

(a,b)对称。

6、 y?f(a?x)与y?(x?b)关于直线x?二、单个函数的对称性

性质1：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(b?x)时，函数y?f(x)的图象关于直线x?称。

证明：在函数y?f(x)上任取一点(x1,y1)，则y1?f(x1)，点(x1,y1)关于直线

a?b对称。 2a?b对2高三艺术生数学复习资料

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x?a?b的对称点(a?b?x1,y1)，当x?a?b?x1时 2f(a?b?x1)?f[a?(b?x1)]?f[b?(b?x1)]?f(x1)?y1

故点(a?b?x1,y1)也在函数y?f(x)图象上。

由于点(x1,y1)是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线x?（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）

性质2：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(b?x)?c时，函数y?f(x)的图象关于点（

a?b对称。 2a?b，2c）对称。 2证明：在函数y?f(x)上任取一点(x1,y1)，则y1?f(x1)，点(x1,y1)关于点 （

a?bc，）的对称点（a?b?x1，c－y1），当x?a?b?x1时， 22f(a?b?x1)?c?f[b?(b?x1)]?c?f(x1)?c?y1

即点（a?b?x1，c－y1）在函数y?f(x)的图象上。 由于点(x1,y1)为函数y?f(x)图象上的任意一点可知 函数y?f(x)的图象关于点（

性质3：函数y?f(a?x)的图象与y?f(b?x)的图象关于直线x?a?bc，）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。） 22b?a对称。 2证明：在函数y?f(a?x)上任取一点(x1,y1)，则y1?f(a?x1)，点(x1,y1)关于直线

x?b?a对称点（b?a?x1，y1）。 2由于f[b?(b?a?x1)]?f[b?b?a?x1]?f(a?x1)?y1 故点（b?a?x1，y1）在函数y?f(b?x)上。 由点(x1,y1)是函数y?f(a?x)图象上任一点 因此y?f(a?x)与y?f(b?x)关于直线x?三、周期性

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b?a对称。 2高三艺术生数学复习资料

1、一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。

推广：若f(x?a)?f(x?b)，则f(x)是周期函数，b?a是它的一个周期

2.若T是周期，则kT(k?0,k?Z)也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。

说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数f(x)?C；

3、对于非零常数A，若函数y?f(x)满足f(x?A)??f(x)，则函数y?f(x)必有一个周期为2A。

证明：f(x?2A)?f[x?(x?A)]??f(x?A)??[?f(x)]?f(x)

∴函数y?f(x)的一个周期为2A。

4、对于非零常数A，函数y?f(x)满足f(x?A)?1，则函数y?f(x)的一个周期为f(x)2A。

证明：f(x?2A)?f(x?A?A)?1?f(x)。

f(x?A)1，则函数y?f(x)的一个周期为f(x)5、对于非零常数A，函数y?f(x)满足f(x?A)??2A。

证明：f(x?2A)?f(x?A?A)??1?f(x)。

f(x?A)A1?f(x)A1?f(x)或f(x?)?则函)?21?f(x)21?f(x)6、对于非零常数A，函数y?f(x)满足f(x?数y?f(x)的一个周期为2A。 证明：先看第一个关系式

3A)3AA2 ?fx(???) f(x?2A)221?f(x?3A)21?f(x?高三艺术生数学复习资料

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A1?1?1?f(x?A?)1?2??A1?1?f(x?A?)1?21?f(x?2A)??f(x?A) f(x?A)?f(x) ?f(x)?f(x?2A)

f(x?A)f(x?A)??f(x?A)

f(x?A)f(x?A)第二个式子与第一的证明方法相同

7、已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x

都有f(x)?f(x?a)?f(x?a)(a?0)则函数的一个周期为6a 证明：f(x)?f(x?a)?f(x?a) （1）

f(x?a)?f(x)?f(x?2a) （2）

两式相加得：f(x?a)??f(x?2a)

f(x)??f(x?3a)?f(x a?6

四、对称性和周期性之间的联系

性质1：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)(a?b)，求证：函数

y?f(x)是周期函数。

证明：∵f(a?x)?f(a?x)得f(x)?f(2a?x)

f(b?x)?f(b?x)得f(x)?f(2b?x)

∴f(2a?x)?f(2b?x) ∴f(x)?f(2b?2a?x)

∴函数y?f(x)是周期函数，且2b?2a是一个周期。

性质2：函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)?c和f(b?x)?f(b?x)?c(a?b)时，函数

ccy?f(x)是周期函数。（函数y?f(x)图象有两个对称中心（a，）、（b，）时，函数y?f(x)22是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期） 证明：由f(a?x)?f(a?x)?c?f(x)?f(2a?x)?c

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f(b?x)?f(b?)x??cf(x)?f(2b?x)? c 得f(2a?x)?f(2b?x) 得f(x)?f(2b?2a?x)

∴函数y?f(x)是以2b?2a为周期的函数。

性质3：函数y?f(x)有一个对称中心（a，c）和一个对称轴x?b（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4(b?a)。

证明：f(a?x)?f(a?x)?2c?f(x)?f(2a?x)?2c f(b?x)?f(b?x)? f(4(b?a)?x)?f(2b?f(x)?(4a?f(2?b x2b? x2a?x)?)2c?f(2b? 2a? f(4a?2b?x)?f(2a?(2b?x ?2c?f(2b?(2a?x))?2c?f(2a? x ?2c?(2c?f(x))?2c?2c?f(x?)f (x推论：若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x?a和点(b,0)(a?b)对称，则f(x)是周期函数，4(b?a)是它的一个周期

证明：由已知f(x)?f(2a?x),f(x)??f(2b?x).

?f(x)?f(2a?x)??f[2b?(2a?x)]??f[2(b?a)?x] ??f[2a?2(b?a)?x]??f[2(2a?b)?x]?f[2b?2(2a?b)?x]?f[4(b?a)?x],周期为4(b?a).举例:y?sinx等.

性质4：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x?a)?f(x?a),则2a为函数f(x)的周期。（若f(x)满足f(x?a)?f(x?a)则f(x)的图象以x?a为图象的对称轴，应注意二者的区别)

证明：?f(x?a)?f(x?a) ?f(x)?f(x?2a)

性质5：已知函数y?f?x?对任意实数x,都有f?a?x??f?x??b，则y?f?x?是以

2a为周期的函数

证明：f(a?x)?b?f(x)

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f(x?2a)?f((x?a)?a)?b?f(x?a)?b?(b?f(x))?f(x)

五、典型例题

例1 （2005·福建理）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)?0，则方程

f(x)?0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）

A．2

B．3

C．4

D．5

得f(3)?0，f(2)?0?f(5)?0

解：f(x)是R上的奇函数，则f(0)?0，由f(x?3)?f(x)f(2)?0?f(?1)?0?f(1)?0 ∴f(4)?0

∴x=1，2，3，4，5时，f(x)?0 这是答案中的五个解。

但是 f(?1?5)?f(?1?5?3)?f又 f(?1?5?)?f而 0?f(1?5)?f ?1(知 f(1?5)?0 ?(1 5(?1?53?f) (?知4 x?1.5,x?4.5,f(x)?0也成立，

可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。

例3 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x?2)??f(x)，则f(6)的值为（ ）

(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 解：因为f(x)是定义在R上的奇函数

所以f(0)?0，又f(x?4)??f(x?2)?f(x)，故函数，f(x)的周期为4 所以f(6)?f(2)??f(0)?0，选B

例4．已知奇函数f(x)满足f(x?2)??f(x),且x?(0,1)时,f(x)?2,则f(log118)的值

2x为 。

解：?f(x?2)??f(x)?f?x???f(x?2)?f(x?4)

89f(log118)?f(?log218)?f(4?log218)?f(log2)?f(?log2)

9829log299??f(log2)??28??

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例5 已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x?(0,1)时，f(x)?x?1.

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求f(x)在(1,2)上的解析式。 解法1：

从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上 ∵x?(1,2) , 则?x?(?2,?1)

∴2?x?(0,1), ∵ T?2，是偶函数

∴ f(x)?f(?x)?f(2?x)?2?x?1?3?x

x?(1,2)

解法2：

（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)?f(x?2)

如图：x?(0,1), f(x)?x?1.∵是偶函数

∴x?(?1,0)时f(x)?f(?x)??x?1 又周期为2，x?(1,2)时x?2?(?1,0) ∴f(x)?f(x?2)??(x?2)?1?3?x

例6 f(x)的定义域是R，且f(x?2)[1?f(x)]?1?f(x),若f(0)?2008

求 f(2008)的值。

f(x?4)?1?1f(x?2)?1f(x?4)?1?1解：f(x)????f(x?8)

f(x?4)?1f(x?2)?1?1f(x?4)f(x?4)?1周期为8，?f(2008)?f(0)?2008

例7 函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??_______________。 解：由f?x?2??1，若f?1???5,则f?f?5??? f?x?11?f(x)，所以f(5)?f(1)得f?x?4??，则??5f?x?f?x?2?11??

f(?1?2)5f?f?5???f(?5)?f(?1)?例8 若函数f(x)在R上是奇函数，且在??1，0?上是增函数，且f(x?2)??f(x).

①求f(x)的周期；

②证明f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;关于直线x?2k?1轴对称, (k?Z); ③讨论f(x)在(1,2)上的单调性；

解: ①由已知f(x)??f(x?2)?f(x?2?2)?f(x?4)，故周期T?4.

)称的点为②设P(x,y)是图象上任意一点,则y?f(x),且P关于点(2k,0对

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.P关于直线x?2k?1对称的点为P P1(4k?x,?y)2(4k?2?x,y)∵f(4k?x)?f(?x)??f(x)??y,∴点P在图象上,图象关于点(2k,0)对称. 1又f(x)是奇函数,f(x?2)??f(x)?f(?x) ∴f(4k?2?x)?f(2?x)?f(x)?y

x?2k?1对称. ∴点P2在图象上,图象关于直线

③设1?x1?x2?2，则?2??x2??x1??1，0?2?x2?2?x1?1 ∵f(x)在(?1,0)上递增, ∴f(2?x1)?f(2?x2)……(*)

又f(x?2)??f(x)?f(?x) ∴f(2?x1)?f(x1),f(2?x2)?f(x2) . 所以：f(x2)?f(x1) ，f(x)在(1,2)上是减函数.

例9 已知函数y?f(x)是定义在R上的周期函数，周期T?5，函数y?f(x)(?1?x?1)是奇函数.又知y?f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x?2时函数取得最小值?5.

（1）证明：f(1)?f(4)?0； （2）求y?f(x),x?[1,4]的解析式； （3）求y?f(x)在[4,9]上的解析式.

解：∵f(x)是以5为周期的周期函数，且在[?1,1上是奇函数，∴f(1)??f(?1)??f(5?1)??f(4)，∴f(1)?f(4)?0. ②当x?[1,4]时，由题意可设f(x)?a(x?2)2?5 (a?0)，

22由f(1)?f(4)?0得a(1?2)?5?a(4?2)?5?0，∴a?2，

2∴f(x)?2(x?2)?5(1?x?4).

③∵y?f(x)(?1?x?1)是奇函数，∴f(0)?0，

又知y?f(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)?kx(0?x?1)

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而f(1)?2(1?2)2?5??3，

∴k??3，∴当0?x?1时，f(x)??3x，

从而?1?x?0时，f(x)??f(?x)??3x，故?1?x?1时，f(x)??3x. ∴当4?x?6时，有?1?x?5?1，∴f(x)?f(x?5)??3(x?5)??3x?15. 当6?x?9时，1?x?5?4，

∴f(x)?f(x?5)?2[(x?5)?2]2?5?2(x?7)2?5 ∴f(x)????3x?15,24?x?66?x?9?2(x?7)?5,.

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