中考压轴题（十二）-相似三角形存在性问题

35.如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，－3)，且在x轴上截得的线段AB的长为6． （1）求二次函数的解析式；

（2）点P在y轴上，且使得△PAC的周长最小，求：

①点P的坐标； ②△PAC的周长和面积；

（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）设二次函数的解析式为y＝a(x －4)2－3(a≠0)，且A(x1，0)，B(x2，0)． ∵y＝a(x －4)2－3＝ax 2－8ax＋16a－3 ∴x1＋x2＝8，x1x2＝16－

3． a33)＝36，∴a＝． a9∴AB 2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝82－4(16－

∴二次函数的解析式为y＝

3(x －4)2－3． ······················································· 2分 9（2）①如图1，作点A关于y轴的对称点A′，连结A′C交y轴于点P，连结PA，则点P为所求． 令y＝0，得

3(x －4)2－3＝0，解得x1＝1，x2＝7． 9∴A(1，0)，B(7，0)．∴OA＝1，∴OA′＝1．

设抛物线的对称轴与x轴交于点D，则AD＝3，A′D＝5，DC＝3． ∵△A′OP∽△ADC，∴

OP3OPA?O1，即． ＝＝，∴OP＝

5AD5DC3∴P(0，－

3)． ···································································································· 4分 5②∵A′C＝A?D2?DC2＝52?(3)2＝27 AC＝AD2?DC2＝32?(3)2＝23

∴△PAC的周长＝PA＋PC＋AC＝A′C＋AC＝27＋23． ······································ 5分 S△PAC＝S△A′AC － S△A′AP＝

3431′1AA(DC－OP)＝×2×(3－)＝．

5522 ····················································································· 7分

（3）存在． ············································································································ 8分 ∵tan∠BAC＝

3DC＝，∴∠BAC＝30°．

3AD同理，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝120°，AC＝BC．

①若以AB为腰，∠BAQ1为顶角，使△ABQ1∽△CBA，则AQ1＝AB＝6，∠BAQ1＝120°． 如图2，过点Q1作Q1H⊥x轴于H，则 Q1H＝AQ1·sin60°＝6×

31＝33，HA＝AQ1·cos60°＝6×＝3． 22HO＝HA－OA＝3－1＝2． ∴点Q1的坐标为(－2，33)． 把x＝－2代入y＝

33(x －4)2－3，得y＝(－2－4)2－3＝33． 99∴点Q1在抛物线上． ······························································································· 9分 ②若以BA为腰，∠ABQ2为顶角，使△ABQ2∽△ACB，由对称性可求得点Q1的坐标为(10，33)． 同样，点Q2也在抛物线上． ·················································································· 10分 ③若以AB为底，AQ，BQ为腰，点Q在抛物线的对称轴上，不合题意，舍去．

························································································· 11分

综上所述，在x轴上方的抛物线上存在点Q1(－2，33)和Q2(10，33)，使得以Q、

A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似． ····························································· 12分

2.如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，3)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，连结AC、BC．

（1）求实数a，b，c的值；

（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若

y 不存在，请说明理由．

?9a?3b?c?0?解：（1）由题意得?c?3

?16a?4b?c?4a?2b?c?C P N x A 解得a＝－

323，b＝－，c＝3． 33M O B ···················································· 3分

（2）由（1）知y＝－解得x1＝－3，x2＝1． ∵A(－3，0)，∴B(1，0)．

又∵C(0，3)，∴OA＝3，OB＝1，OC＝3，∴AB＝4，BC＝2． ∴tan∠ACO＝

OA＝3，∴∠ACO＝60°，∴∠CAO＝30°． OC32233223x －x＋3，令y＝0，得－x －x＋3＝0． 3333y C P N x 同理，可求得∠CBO＝60°，∠BCO＝30°，∴∠ACB＝90°．

A H M O B ∴△ABC是直角三角形．

又∵BM＝BN＝t，∴△BMN是等边三角形． ∴∠BNM＝60°，∴∠PNM＝60°，∴∠PNC＝60°． ∴Rt△PNC∽Rt△ABC，∴

PNAB． ＝

NCBCt4＝． 22?t由题意知PN＝BN＝t，NC＝BC－BN＝2－t，∴

4∴t＝． ···················································· 4分

341∴OM＝BM－OB＝－1＝．

333234如图1，过点P作PH⊥x轴于H，则PH＝PM·sin60°＝×＝．

233

412MH＝PM·cos60°＝×＝．

32312∴OH＝OM＋MH＝＋＝1．

33∴点P的坐标为(－1，（3）存在．

23······················································· 6分 )． ·

3由（2）知△ABC是直角三角形，若△BNQ与△ABC相似，则△BNQ也

是直角三角形．

∵二次函数y＝－

3223x －x＋3的图象的对称轴为x＝－1． 33∴点P在对称轴上． ∵PN∥x轴，∴PN⊥对称轴．

又∵QN≥PN，PN＝BN，∴QN≥BN． ∴△BNQ不存在以点Q为直角顶点的情形．

①如图2，过点N作QN⊥对称轴于Q，连结BQ，则△BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形，且QN＞PN，∠MNQ＝30°．

483PN3∴∠PNQ＝30°，∴QN＝． ＝＝o9cos3032

8323QN∴． ＝9＝

43BN3∵

QNACAC． ＝tan60°＝3，∴≠

BCBNBC∴当△BNQ以点N为直角顶点时，△BNQ与△ABC不相似． ············ 7分 ②如图3，延长NM交对称轴于点Q，连结BQ，则∠BMQ＝120°． ∵∠AMP＝60°，∠AMQ＝∠BMN＝60°，∴∠PMQ＝120°． ∴∠BMQ＝∠PMQ，又∵PM＝BM，QM＝QM． ∴△BMQ≌△PMQ，∴∠BQM＝∠PQM＝30°． ∵∠BNM＝60°，∴∠QBN＝90°． ∵∠CAO＝30°，∠ACB＝90°．

∴△BNQ∽△ABC． ·············································· 8分

∴当△BNQ以点B为直角顶点时，△BNQ∽△ABC． 设对称轴与x轴的交点为D．

∵∠DMQ＝∠DMP＝60°，DM＝DM，∴Rt△DMQ≌Rt△DMP．

∴DQ＝PD，∴点Q与点P关于x轴对称． ∴点Q的坐标为(－1，－

23············································································· 9分 )． 323)，使得以B，N，Q为顶点的3综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点Q(－1，－

三角形与△ABC相似．··························································································· 10分 3.如图，抛物线y＝a(x＋3)(x－1)与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为(－2，6)． （1）求a的值及直线AC的函数关系式；

（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．

①求线段PM长度的最大值；

②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得6＝a(－2＋3)(－2－1)，∴a＝－2． ······································· 1分 ∴抛物线的解析式为y＝－2(x＋3)(x－1)，即y＝－2x 2－4x＋6 令－2(x＋3)(x－1)＝0，得x1＝－3，x2＝1 ∵点A在点B右侧，∴A(1，0)，B(－3，0)

设直线AC的函数关系式为y＝kx＋b，把A(1，0)、C(－2，6)代入，得

?k＋b ＝ 0?k ＝ －2 解得? ??－2k＋b ＝ 6?b ＝ 2 ∴直线AC的函数关系式为y＝－2x＋2． ···········································3分 （2）①设P点的横坐标为m(－2≤ m ≤1)，

则P(m，－2m＋2)，M(m，－2m 2－4m＋6)． ···································4分 ∴PM＝－2m 2－4m＋6－(－2m＋2)

＝－2m 2－2m＋4

19＝－2(m＋)2＋

2219∴当m＝－时，线段PM长度的最大值为． ································6分

22②存在

M1(0，6)． ············································································································· 7分

155M2(－，)． ······································································································ 9分

48点M的坐标的求解过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考） ⅰ)如图1，当M为直角顶点时，连结CM，则CM⊥PM，△CMP∽△ANP

∵点C(－2，6)，∴点M的纵坐标为6，代入y＝－2x 2－4x＋6 得－2x 2－4x＋6＝6，∴x＝－2（舍去）或x＝0 ∴M1(0，6)

（此时点M在y轴上，即抛物线与y轴的交点，此时直线MN与y轴 重合，点N与原点O重合）

ⅱ)如图2，当C为直角顶点时，设M(m，－2m 2－4m＋6)(－2≤ m ≤1) 过C作CH⊥MN于H，连结CM，设直线AC与y轴相交于点D 则△CMP∽△NAP

又∵△HMC∽△CMP，△NAP∽△OAD，∴△HMC∽△OAD ∴

CHMH ＝

ODOA∵C(－2，6)，∴CH＝m＋2，MH＝－2m 2－4m＋6－6＝－2m 2－4m 在y＝－2x＋2中，令x＝0，得y＝2 ∴D(0，2)，∴OD＝2

?2m2?4mm?2∴ ＝

121整理得4m 2＋9m＋2＝0，解得m＝－2（舍去）或m＝－

411155当m＝－时，－2m 2－4m＋6＝(－)2－4×(－)＋6＝

4448155∴M2(－，)

48

4.已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．

（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．

（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标． ．．．．

②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．

解：（1）由题意知Rt△△AOC∽Rt△COB，∴

OAOC． ＝

OCOB∴OC 2＝OA·OB＝OA(AB－OA)，即22＝OA(5－OA)．

∴OA 2－5OA＋4＝0，∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝4． ···················· 2分 ∴A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)．

∴可设所求抛物线的关系式为y＝a(x＋1)(x－4)． ························· 3分

1将点C(0，2)代入，得2＝a(0＋1)(0－4)，∴a＝－．

21∴经过点A、B、C的抛物线的关系式为y＝－(x＋1)(x－4)． ···· 4分

213即y＝－x 2＋x＋2．

2214842（2）①E1(3，)，E2(，)，E3(4?························ 7分 5，5)． ·

25555

关于点E的坐标求解过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考）：

设直线BC的解析式为y＝kx＋b．

1??4k?b?0?k??则? 解得?2

b?2???b?21∴直线BC的解析式为y＝－x＋2．

21∵点E在直线BC上，∴E(x，－x＋2)．

21若ED＝EB，过点E作EH⊥x轴于H，如图2，则DH＝DB＝1．

2∴OH＝OD＋DH＝2＋1＝3．

∴点E的横坐标为3，代入直线BC的解析式，得y＝－

1∴E1(3，)．

21若DE＝DB，则(x－2)2＋(－x＋2)2＝22．

211×3＋2＝． 22整理得5x 2－24x＋16＝0，解得x1＝4（舍去），x2＝

14848∴y＝－×＋2＝，∴E2(，)．

255551若BE＝BD，则(x－4)2＋(－x＋2)2＝22．

24． 5整理得5x 2－24x＋16＝0，解得x1＝4?舍去），x2＝4?45． 545（此时点P在第四象限，514242∴y＝－×(4?5)＋2＝5，∴E3(4?5，5)．

25555

②△CDP有最大面积． ···································································· 8分 过点D作x轴的垂线，交PC于点M，如图3．

设直线PC的解析式为y＝px＋q，将C(0，2)，P(m，n)代入，

n?2??q?2?p?得? 解得?m

mp?q?n??q?2?∴直线PC的解析式为y＝

n?22n?4x＋2，∴M(2，＋2)． mm

S△CDP＝S△CDM＋S△PDM＝

1xP·yM 212n?4＋2) ＝m(

2m＝m＋n－2

13＝m＋(－m2＋m＋2)－2

2215＝－m2＋m

221525＝－(m－)2＋

228525∴当m＝时，△CDP有最大面积，最大面积为． ···················· 9分

28153521此时n＝－×()2＋×＋2＝

22228521∴此时点P的坐标为(，)． ·················································· 10分

285.如图，已知抛物线y＝x 2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，?抛物线的对

称轴交x轴于点E，点B的坐标为(－1，0)．

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

解：（1）对称轴为直线x＝－

4············································· 2分 ＝－2，即x＝－2； ·

2令y＝0，得x 2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3．

∵点B的坐标为(－1，0)，∴点A的坐标为(－3，0)． ·········································· 4分 （2）存在，点P的坐标为(－2，3)，(2，3)和(－4，－3)． ································· 7分 （3）存在． ············································································································ 8分 当x＝0时，y＝x 2＋4x＋3＝3，∴点C的坐标为(0，3)． AO＝3，EO＝2，AE＝1，CO＝3． ∵DE∥CO， ∴△AED∽△AOC．∴

AEDE1DE，即＝． ＝

AOCO33∴DE＝1． ··············································································································· 9分

∵DE∥CO，且DE≠CO，∴四边形DEOC为梯形．

S梯形DEOC＝

1(1＋3)×2＝4． 2设直线CM交x轴于点F，如图．

若直线CM把梯形DEOC分成面积相等的两部分，则S△COF＝2

114即CO·FO＝2．∴×3FO＝2，∴FO＝． 2234∴点F的坐标为(－，0)． ·················································· 10分

3∵直线CM经过点C(0，3)，∴设直线CM的解析式为y＝kx＋3．

44把F(－，0)代入，得－k＋3＝0． ·································································· 11分

339∴k＝．

4∴直线CM的解析式为y＝

9x＋3． ······································································· 12分 46. （2011浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于请说明理由. 3，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，4

6. 解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60=23，o

∴B(23,2) ∵A(0,4),设AB的解析式为y?kx?4,所以23k?4?2,解得k??3, 3以直线AB的解析式为y??3x?4 3（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,

∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=AO2?OP2?19 如图，作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30° ∴GD=

1BD=23353,DH=GH+GD=+23=, 222∴GB=3373BD=,OH=OE+HE=OE+BG=2??

2222∴D(537,) 223x)若ΔOPD的面积为：2(3)设OP=x,则由（2）可得D(23?x,2?133 x(2?x)?224?23?21?23?21所以P(,0)

33解得：x?7.已知，如图，抛物线y＝ax 2＋3ax＋c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两

点，A点在B点左侧，点B的坐标为（1，0），OC＝3OB． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值； （3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一

边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵对称轴x＝－

3a3··································································· 1分 ＝－． ·22a又∵OC＝3OB＝3，a＞0

∴C(0，－3)． ··················································································· 2分 方法一：把B(1，0)、C(0，－3)代入y＝ax 2＋3ax＋c得：

3a＝a＋3a＋c＝0?4 ? 解得

?c＝－3

c＝－3

???

∴抛物线的解析式为y＝x 2＋

439x－3． ································································· 4分 4

方法二：令ax 2＋3ax＋c＝0，则xA＋xB＝－3 ∵B(1，0)，∴xA＋1＝－3，∴xA＝－4 ∴A(－4，0)

∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋4)(x－1)，把C(0，－3)代入 得－3＝a(0＋4)(0－1)，∴a＝

4343∴抛物线的解析式为y＝(x＋4)(x－1) 即y＝x 2＋

439x－3． ········································································4分 4（2）方法一：如图1，过点D作DN⊥x轴，垂足为N，交线段AC于点M ∵S四边形ABCD ＝S△ABC ＋S△ACD

＝

11＝(4＋1)×3＋DM·4 2211AB·OC＋DM·(AN＋ON) 22＝

15＋2DM． ···················································································5分 2

设直线AC的解析式为y＝kx＋b，把A(－4，0)、C(0，－3)代入

??－4k＋b＝0得? 解得??b＝－3

k＝－

34

?b＝－3

34∴直线AC的解析式为y＝－x－3． ················································6分 设D(x，x 2＋

434339x－3)，则M(x，－x－3) 443439x－3)＝－(x＋2)2＋3． ·········································· 7分 44∴DM＝－x－3－(x 2＋

当x＝－2时，DM有最大值3

此时四边形ABCD面积有最大值，最大值为：

1527＋2×3＝． ······························ 8分 22方法二：如图2，过点D作DQ⊥y轴于Q，过点C作CC1∥x轴交抛物线于C1 设D(x，x 2＋

43399x－3)，则DQ＝－x，OQ＝－x 2－x＋3 444从图象可判断当点D在CC1下方的抛物线上运动时，四边形ABCD面积才有最大值 则S四边形ABCD ＝S△BOC ＋S梯形AOQD －S△CDQ

111＝OB·OC＋(AO＋DQ)·OQ－DQ·CQ 222111＝×1×3＋(4＋DQ)·OQ－DQ·(OQ－3) 222

33···················································· 5分 ＝＋2OQ＋DQ． ·

223393＝－2(x 2＋x－3)－x 2424315＝－x 2－6x＋

22327················································· 7分 ＝－(x＋2)2＋． ·

22当x＝－2时，四边形ABCD面积有最大值

27 2 ························································································ 8分

（3）如图3

①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，则四边形

ACP1E1为平行四边形． ···························································································· 9分 ∵C(0，－3)，令x 2＋

439x－3＝－3 4解得x1＝0，x2＝3，∴CP1＝3

∴P1(－3，－3)． ··································································································· 11分 ②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形． ····································································································· 12分 ∵C(0，－3)，∴设P(x，3) 由x 2＋

43－ 3 ＋41－ 3 －419x－3＝3，解得x＝或x＝

224∴P2(

－ 3 ＋412，3)，P3(

－ 3 －412，3)． ······························································· 14分

综上所述，存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形，点P的坐标分别

为：

P1(－3，－3)，P2(

－ 3 ＋412，3)，P3(

－ 3 －412，3)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dh6r.html