条件期望的性质与应用

条件期望的性质和应用

摘要：条件数学期望（以下简称条件期望）是随机分析理论中十分重要的概念，在理论实际上都有很重要的应用。本文首先分析了条件期望的几种定义和性质，进而研究了条件期望的求法，最后举例分析条件期望在实际问题中的应用。 关键词：条件期望；定义；性质；应用

条件期望是现代概率体系中的一个重要概念。近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件期望已经被广泛的利用到日常生活中，尤其值得注意的是条件期望在最优预测中的应用。现代概率论总是从讲述条件期望开始的。鉴于此，在分析条件期望的几种定义时，通过比较它们的优缺点，使初学者在充分认识条件期望的基础上，由非条件期望的性质学习顺利过渡到条件期望性质的学习，实现知识的迁移。通过研究条件期望的求法，从而提高计算能力与解题技巧。条件期望不仅在数学上有重要的价值与意义，还在生物、统计、运筹和经济管理等方面有着重要的作用与贡献。总之，研究条件期望的性质和应用不仅有助于学生对数学的学习，而且还有利于进一步探索科学的其它领域。 1 条件期望的几种定义

1.1 条件分布角度出发的条件期望定义

从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。

由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。 定义1 离散随机变量的条件期望

设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为pij?P?X?xi,Y?yj?，

i?1,2,???,j?1,2,???.，对一切使P?Y?yj??p?j??pij?0的yj，称

i?1??pi|j?P(X?xiY?yj)?P?X?xi,Y?yj?P?Y?yj??pijp?j,i?1,2,???

为给定Y?yj条件下X的条件分布列。

此时条件分布函数为 Fxyj??P?X?xiY?yj)??pij；

xi?xxi?x??同理，对一切使P?X?xi??pi???pij?0的xi，称

j?1??pj|i?P?Y?yjX?xi??P?X?xi,Y?yj?P?X?xj??pijpi?,j?1,2,???

为给定X?xi条件下Y的条件分布列。

此时条件分布函数为 F?yxi??yj?y?P?Y?yjX?xi??yj?y?pji。

故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下

E?XY?y???xiP?X?xiY?y)或E?YX?x???yjP?Y?yjX?x?。

ij定义2 连续随机变量的条件期望

设二维连续随机变量（X,Y）的联合密度函数为p(x,y)，边际密度函数为

pX(x)和pY(y)。

对一切使pY(y)>0的y，给定Y?y条件下X的条件分布函数和条件密度函数 分别为F(xy)??x??p?x,y?p(u,y)du，p?xy??； pY(y)pY?y? 同理对一切使pX?x?>0的x，给定X=x条件下Y的条件分布函数和条件密度 函数分别为F(yx)??y??p?x,y?p(x,v)dv，p?yx??。 pX(x)pX?x??? 故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下

E?XY?y???????xp(xy)dx或E?YX?x?????yp(yx)dy。

1.2 测度论角度出发的条件期望定义

借助测度论这一数学工具，给出了随机变量在给定子?代数下条件期望的一 般性定义——公理化定义，通过讨论，还可同时发现它的两条等价性定义。 引理1 若X是可积(或积分存在)随机变量，则必存在惟一的(不计几乎处处相等的差别)可积(相应地，积分存在)的G可测随机变量Y，它满足

?YdP??AAXdP,?A?G (1)

定义3(公理化定义) 设X是概率空间(?,F,P)上的可积(或积分存在)随机 变量，G是F的子?代数，则X关于G的条件期望E(XG)是满足以下两条件的随机变量：

1

(i) E(XG)是G可测的；

(ii) ?E(XG)dP??XdP,?A?G。

AA特别地，当G??(Y)时，也称E(XG)为X关于随机变量Y的条件期望，记 为E(XY)。

由引理1，条件期望E(XG)=

dv就是由(1)式定义的符号测度v关于P的 dPRadon导数。

由定义 3看出，条件期望是通过积分等式(1)确定的，根据积分性质易知，两个几乎处处相等的函数的积分是相等的。 因此，条件期望的确定以及许多有关条件期望的论断都是不计几乎处处相等的差别的，从而涉及的关系式都是几乎处处相等意义下的。

由上面的讨论，我们有如下的等价定义：

G是F的定义4 设X是概率空间(?,F,P)上的可积(或积分存在)随机变量，

子?代数，则X关于G的条件期望Y是满足以下两条件的随机变量

(i)Y是G可测的；

(ii)?YdP??XdP,?A?G。

AA定义5 设X是概率空间(?,F,P)上的可积(或积分存在)随机变量，G是F 的子?代数，则X关于G的条件期望E(XG)是满足以下两条件的随机变量：

(i)E(XG)是G可测的；

(ii)E??E?XG?IA???E?XIA?,?A?G。

上述三个定义虽然表达式有所不同，但其本质是相同的，且都是以公理化的 形式给出的，显得比较抽象，增加了定义的理解难度。 1.3 几何角度出发的条件期望定义

从几何的角度，利用投影定理这一数学工具，给出条件期望的几何定义。 引理2(投影定理) 如果M是Hilbert空间H的一个闭线性子空间,且x?H,那么

??infx?y, (i) 存在惟一元素x?M,使得x?xy?M^??M且x?x??M,x?x??M?,其 ??infx?y成立的充分必要条件是x(ii)xy?M?为x在M上的正交投中?是Hilbert空间上的范数, M?是M的正交补。 称x影,记为PMx。

实Hilbert空间L2(?,F,P)内积定义为X,Y?E(XY)。

引理3 记LP(F):LP(?,F,?)； LP(G):LP(?,G,?)， 则LP(G)是LP(F)的子空

2

间。

于是,特别地, L2(G)是L2(F)的闭子空间。

22定义6(几何定义) 以L2(?,F,P)?X?E??XG???L(?,G,P)表示L(?,F,P)

到L2(?,G,P)中的正交投影， 则任给X?L2(?,F,P),E??XG??称为给定G时X的条件期望。 2 条件期望的性质 2.1 一般性质

因为条件数学期望是数学期望的一种特殊形式，所以它具有一般的非条件数 学期望的所有性质。

性质1 若c是常数，则E(c)?c； 性质2 对任意常数a，有E(aX)?aE(X)； 性质3 对任意的两个函数g1(x)和g2(x)，有

E?g1(X)?g2(X)??E?g1(X)??E?g2(X)?；

性质4 若X、Y相互独立，则E(X?Y)?E(X)?E(Y)。

根据此定理，运用归纳法，易得下列推论：

推论 1 E(a1X1?a2X2?????anXn?b)?a1E(X1)?a2E(X2)?????anE(Xn)?b，

其中a1,a2,???,an,b均是常数时，特别有

E(X1?X2?????Xn)?E(X1)?E(X2)?????E(Xn)。

推论 2 若X1,X2,???,Xn相互独立，则

E(X1?X2?...?Xn)?E(X1)?E(X2)?...?E(Xn)。

注意：对于“和” ，不要求X1,X2,???,Xn相互独立，对于“积” ，则要求

X1,X2,???,Xn相互独立。 2.2 特殊性质

从条件期望的这几种定义出发还可得到以下性质。

性质1 E(a1X1?a2X2G)?a1E(X1G)?a2E(X2G),其中a1,a2?R，且假定

E?a1X1?a2X2G?存在；

证明：根据条件期望的定义 5 ，由于E(X1G),E(X2G)都G可测，所以

a1E(X1G)?a2E(X2G)也G 可测；

3

其次，令G??A?GE?XiIA???,i?1,2，则

?A?G?,E??E?XiG?IA???E?XiIA??i?1,2?，

??E?所以 E???a1X1?a2X2?IA??,?A?G? ?(a1E(X1G)?a2E(X2G))IA???这表明a1E(X1G)?a2E(X2G)是a1X1?a2X2关于G的条件期望，从而证得

E(a1X1?a2X2G)?a1E(X1G)?a2E(X2G)。

性质2 如果X,Y关于G为??可积时，如果X?Y(a.s.)，则E?XG??E?YG?

(a.s.)；

证明：令A?[E?XG??E?YG?],Am?[E?XG??E?YG??1]，则A??Am。 mm 由于X,Y关于G为??可积，所以 ??n?G,?n??，EXI?n??, EYI?n??,因而

0??11P?An???EIAn?E?E(XG)?E(YG)?IAm? ???mm?????? ?E???E(XG)?E(YG)?IAm??n?? ?E??E(X?YG)IAm??n?? ?E??(X?Y)IAm??n???0

于是P?An??0，从而P?A??0。这表明

E?XG??E?YG? (a.s.)

性质3 如果X关于G为??可积时，E?XG??E?XG? (a.s.)；

证明：因为X,?X关于G为也??可积，且X?X,X??X，所以由条件 期望的特殊性质2可知， E(XG)?E(XG) (a.s.)，

E(XG)?E(?XG) (a.s.)

又由条件期望的特殊性质1可知， E(?XG)??E(XG) (a.s.) 所以， E?XG??E?XG? (a.s.)。

性质4 （全数学期望公式）E??E?XG????E(X)；

4

证明：若(XG)为离散型的随机变量时，

?? E??E?XG?????E?XG?bj?p(G?bj)

j?? ????aip(X?aiG?bj)?p(G?bj)

j?i? ??aip(X?ai,G?bj)

i,j ?E(X) 若(XG)为连续型的随机变量时，

E??E?XG???????E(XG?y)pG(y)dy ??[???????????xp(xy)dx]pG(y)dy

?? ???????????????xp(xy)pG(y)dxdy xp(x,y)dxdy

????? ??[?????????xp(x,y)dy]dx

??????xpX(x)dx

?E(X) 性质5 如果X为G可测，则E(XG)?X；

证明：这是条件期望的定义5的显然推论。 特别当X?C（常数）时，E(CG)?C (a.s.)。 性质6 如果X与?代数G独立，则E(XG)?E(X)； 证明：设?X,G?是二维连续型随机变量，由独立性有

p?x,y??pX?x?pG?y?，

其中p?x,y?，pX?x?，pG?y?分别是?X,G?的密度函数和边际密度函数，这时条件密度函数pXG?x,y??pX?x?，于是当G?y时，

E?XG?y???????xp?xy?dx

XG 5

??????xp?x?dx?E?X?，

X上式对一切y成立，所以E(XG)?E(X)。

在此仅就连续型的情况进行证明，而离散型的可类似证明。 性质7 若关于G为??可积，Y为G可测且有限时，则

E?XYG??YE?XG?(a.s.).

证明：为了证明E?XYG?有意义，首先须证XY关于G为??可积。 由于X关于G为??可积，所以?An?G,An??,EXIAn??。由于Y为G可测且有限，所以令Bn??Y?n?时Bn?G且Bn??。令?n?An?Bn，则?n?G，

???n??，并且

E?XYI???nEYIAn??

??因此，XY关于G为??可积。

于是存在a.s.唯一的G可测随机变量E?XYG?，使得

?A?G?,E??E?XYG?IA???E?XYIA?，

这里G??A?GE?XYIA???，于是?A?G?，

E??E?XYG?I?nIA???EXYI?nIA。

???? 又因E?XYG?I?n为G可测，所以由上式知，E?XYG?I?n是XYI?n关于G的 条件期望。于是E?XYG?I?n?EXYI?nG (a.s.)

由于XYI?n?XI?nYI?n，XYI?n?XI?nYI?n,EXI?n??，YI?n为G可测，所以

????E(XYI?nG)?YI?nE(XI?nG) (a.s.)。

对于X，由于它关于G为??可积，所以同样可以得到 E(XG)I?n?E(XI?nG) (a.s.)， 于是，YI?nE(XI?nG)?YI?nE(XG) (a.s.)。

综上所证，得E(YXG)I?n?YI?nE(XG) (a.s.)， 令n??，则由上式得E?XYG??YE?XG? (a.s.)。

性质8 如果G1是?代数G的子?代数，则E??E?XG?G1???E(XG1)；

6

证明：显然，X关于G也??可积。为了证明E??E?XG?G1??有意义须证

E?XG?关于G1为??可积。

由于X关于G1为??可积，所以??n?G1,?n??，EXI?n??。又因

E??E?XG?IA???E(XIA)，这里A?A?GE?XIA???，并注意到G1?G，所

????以

?E??E?XG?I?n??E(XI?n)??。

这表明E?XG?关于G1为??可积。

既然E(XI?n)??，所以由条件期望的特殊性质4可知，

E(XI?nG1)?E?EXI?nGG1? (a.s.)

????因I?n为G1可测，所以由条件期望的特殊性质7，

E(XG1)I?n?E(XI?nG1)?E?EXI?nGG1????E??I?nE?XG?G1???E??E?XG?G1??I?n (a.s.)

??

令n??，则由上式得E??E?XG?G1???E(XG1) (a.s.)

引理4 随机变量X和Y的相关系数??X,Y?在坐标平移变换中保持不变。 证明：设平移变换X?X1?a,Y?Y1?b，（a,b为常数） 由期望和方差的性质易知

??X,Y??E?X?E(X)???Y?E?Y???D?X?D?Y???

? ?E?X1?a?E(X1?a)???Y1?b?E?Y1?b???D?X1?a?D?Y?b1?E?X1?E(X1)???Y1?E?Y1???D?X1?D?Y1?? ??? ???X1,Y1? 性质9 （增减性）设X和Y是随机变量，

(i)当E?YX?x?是x的减函数时，则??X,Y??0； (ii)当E?YX?x?是x的增函数时，则??X,Y??0； (iii)当E?YX?x?是常数时，则??X,Y??0。

证明：由引理知相关系数??X,Y?在平移变换中保持不变，故不妨设

E(X)?E(Y)?0。

7

因为??X,Y??号。

E(XY)?E(X)E(Y)，故??X,Y?的符号只决定于E(XY)的符

D(X)D(Y)(i)若E(YX?x)是x的减函数，任取非零实数x1?x2，

如果 x1?0，有E(YX?x1)?E(YX?0) (2) 如果 x2?0，有E(YX?x2)?E(YX?0) (3) 若(2)式成立，当x?x1?0，则有

E(YX?x)?E(YX?x1)?E(YX?0)

故也有xE(YX?x)?xE(YX?0)。

又当x?x1，即x1?x?0，则有E(YX?x)?E(YX?0)；

x1?0?x，则有E(YX?x)?E(YX?0)。

故也有xE(YX?x)?xE(YX?0)。

使用Lebesgue-Stieltges积分表示则有

E(XY)??????xE(YX?x)dFX(x)

??x1??xE(YX?x)dFX(x)??xE(YX?x)dFX(x)

??x1x1 ??xE(YX?0)dFX(x)??????x1xE(YX?0)dFX(x)

?E(YX?0)?????xdFX(x)

?E(YX?0)E(X)

?0

故??X,Y??0

当不等式(3)成立时，用类似的方法同样可证。 为节省篇幅，不再赘述。 (ii) 若E(YX?x)是x的增函数，任取非零实数x1?x2，

如果x1?0，有若E(YX?x)是x的减函数，任取非零实数x1?x2。 如果 x1?0，有E(YX?x1)?E(YX?0) (4) 如果 x2?0，有E(YX?x2)?E(YX?0) (5) 若(4)式成立，当x?x1?0，则有

8

E(YX?x)?E(YX?x1)?E(YX?0)

故也有

xE(YX?x)?xE(YX?0)。

又当x?x1，即x1?x?0，则有E(YX?x)?E(YX?0)；

x1?0?x，则有E(YX?x)?E(YX?0)。

故也有xE(YX?x)?xE(YX?0)。

使用Lebesgue-Stieltges积分表示则有

E(XY)??????xE(YX?x)dFX(x)

??x1?? ??xE(YX?x)dFX(x)????x1x1xE(YX?x)dFX(x) xE(YX?0)dFX(x)

??xE(YX?0)dFX(x)????x1 ?E(YX?0)?????xdFX(x)

?E(YX?0)E(X) ?0

故??X,Y??0

当不等式(5)成立时，用类似的方法同样可证。 (iii)当E(YX?x)?const?k

E(XY)??????xE(YX?x)dFX(x) xdFX(x)

?k????? ?kE(X) ?0

故?(X,Y)?0。

综上所述，可知条件期望E(YX?x)关于变量x的增减性，决定了相关系数

?(X,Y)的符号。 3 条件期望的重要定理

定理1 （单调收敛定理） 若Xn?Xa.s.，则在{E(X1G)???}上，有

E(XG)?limE(XnG)；

n??证明：显然，Xn关于G为??可积。由条件期望的特殊性质2可知，

9

0?E?XnG???a.s.?，所以a.s.存在limE(XnG)。

n?? 在极限不存在的???上补定义为0，这样就得倒一个G可测的随机变量

limE(XnG),令G??A?GE?XIA???， 由积分单调收敛定理，?A?G?，

n???? E[limE(XnG)IA]?limE[E(XnG)IA]

n??n?? ?limE(XIA)

n?? ?E[(limXn)IA]

n?? ?E?XIA?

这表明limE(XnG)是?关于G的条件期望，因而

n?? limE(XnG)?E(XG)

n??定理2 （控制收敛定理） 若Xn?Y，a.s，Y可积，且Xn?X，a.s或p，则

limE(Xn?XG)?0；

n??证明：显然，Xn,X关于G为??可积。 令?n??supXn?k，?n??infXn?k，则

k?0k?0 0?Y??n??Y?X 且 0?Y??n??Y?X (a.s.) 由条件期望的单调收敛定理可知

E?Y??n?G??E?Y?XG?且E?Y??n?G??E?Y?XG? (a.s.) 因而由条件期望的特殊性质1可知

E??n?G??E?XG? 且 E??n?G??E?XG? (a.s.) 又由条件期望的特殊性质2可知

E??n?G??E?XnG??E??n?G? (a.s.) 所以，E?XnG??E?XG? (a.s.) 故 limE(Xn?XG)?0

n??定理3 （均方误差最小定理） 设Y是(?,F,P)上的任一随机变量，EY2??，G是F的一个子?代数，则对每个G上可测函数Z?EZ2???有

22?? （6）??EY?Z?EY?EYG ? ??????????? 10

式中等号当且仅当Z?E?YG?，a.s.时成立。

证明：因为EZ?E?YG???，是G可测的，故有

??E?Z?E?YG?Y?E?YG?G??Z?E?YG?E?Y?E?YG?G??0?????????????? a.s.

222?????E?Y?Z??EY?E?YG??EZ?E?YG???2E?Y?E?YG?Z?E?YG?? ???????????????????22 ?E?Y?E?YG???E?Z?E?YG??

????????22故得 E??Y?Z???E?Y?E?YG??

???????????2这也证明了（6）式成立的充要条件是E?Z?E?YG???0，

??????即Z?E?YG? ，a.s.

说明：在最小二乘（均方）意义下，已知G的条件下，E?YG?，a.s.是Y的 最佳预测。通常当观察到G??X?x?时，E?Yx?是一切对Y的估计值中均方误差最小的一个，则称之为Y关于X的回归。特别当X??X1,???,Xn?，G???X?则在Rn?R的一切可测函数g中，在最小二乘意义下，E?YX1,???,Xn?是Y的最佳预测。

4 条件期望的求法

在现代概率论体系中，条件期望的概念只是一种理论上的工具，在其定义中没有包含算法，所以求条件期望概率往往很难，需要技巧。本文对几种不同情形下的条件期望的求法做出讨论。

方法一：利用问题本身所具有的某种对称性求解

例1 设X1,X2,???,Xn是独立同分布随机变量，EX1??,记S??Xk，求

k?1nE(XkS),k?1,2,???,n。

解：首先证E(XiS)?E(XjS),i?j。

E(XiS)关于??S?可测，E(XjS)关于??S?可测，为此只需证 ?A???S?,?E(XiS)dp??E(XjS)dp即可。

AA由

?AE(XiS)dp??Xidp??Xjdp??E(XjS)dp，

AAA可知i?j 时，E(XiS)?E(XjS)几乎处处成立。 从而E(X1?X2?????XnS)?nE(XkS)?S，即

11

E(XkS)?S,a.s.k?1,2,???,n。 n方法二：利用线性变换将随机变量分解为关于作为条件的?域可测或独立的随机变量之和, 利用条件期望的性质求和。

例 2 设有正态样本X1,X2,???,Xn~N(0,?)，统计量T??Xk，求E(Xk2T)。

2k?1n解：令S??Xk2，则E(Xk2T)?k?1n1E(ST)。 n?Y1??X1?????Y?2??X2?1??1作正交变换：Y?????C???，其中C为正交阵，第一行为? ,???,?，

????n??n???????Y??X??n??n?则有EY?0，Cov(X,Y)?CC?In，即T与?Yk2独立，Yk~N(0,?2),k?2,???,n，

Tk?2nT2n2从而S??X??Y???Yk。

nk?2k?1k?1n2kn2kT2关于?(T)可测，所以E?Xk2T??1E(ST) n1T2n2T21 ?E[(??Yk)T]?(1?)?2

nnk?2nn方法三：通过猜想，再利用公理化定义证明。

1例 3 设X服从标准正态分布，其概率函数F?x??2?E(XX)。

?x??edt,x?R，求

?t22 解：设A??{X}?1(??,x)x?R?,则A是一个?类。

?A?A,?EXXdP??I?X?x?XdP?0

A??? 令B??AA???X???1?EXdP?0??A?2??,则A?B。 ??? 下面先证B是一个?类， （i）若A?B，则

Ac?B。

12

?AcE(XX)dP??E(XXdP)??EX(XdP)??A0即，

（ii）若A?B，B?B，且AB??，则

?A?BE(XX)dP??E(XX)dP??E(XX)dP?0即A?B?B。

ABn?? （iii）若An?，且An?B，则?E(XX)dP??I?lim?Ak?E(XX)dP

limAnn?n??k?1?n ??limI?AkE(XX)dP

n??k?1 ?lim?IAnE(XX)dP

n?? ?0 即limAn?B。

n 综合（i）、（ii）、（iii）可知B是一个?类，由???定理可知，B???X?. 从而?A???X?，?E(XX)dP??0dP，又0关于??X?可测，即

AA E(XX)?0,a.s.

从以上例题可以看出，条件期望的求法是一个复杂的问题，在具体的情形下我们必须从问题本身出发去寻求解决问题的方法，通过化简，将其转化为可测或独立于?代数的随机变量，然后运用条件期望的性质求解。以上从三个方面给出了求解条件期望的三种途径，也是较多时候可以采用的三种途径。 5 条件期望的应用

5.1 利用条件期望计算数学期望

由条件期望的定义1可知，要计算E?X?，可取在条件Y?y下，X的条件期 望的加权平均，加在每一项E(XY?y)的权重等于作为条件的那个事件的概率， 这是一个极为有用的结果，采用这种对适当的随机值先“条件化”的方法，往往 能够较容易地把数学期望计算出来。下面举例说明其用法。

例4 假设一天内进入某景点的游客人数均值为50的随机变量，进一步假设 每个游客消费的钱数为6元的独立的随机变量，且每个顾客消费的钱数与一天内 进入景点的游客数也是独立的，求某天游客总消费钱数的期望值。

解：令N表示进入这个景点的游客人数，令Xi表示第i个游客在这个景点消费的钱数，则所有游客消费的钱数为?Xi，现在有

i?1N??N??E(?Xi)?E?E??XiN?? i?1????i?1N 13

?N?而E(?XiN?n)?E?E?Xi??nE?X? (由Xi与N的独立性知)

i?1?i?1?其中E?X??E?Xi?。这意味着E(?XiN)?NE?X?，因此

i?1NNE(?Xi)?E??NE?X????E?N?E?X??50?6?300

i?1N 故由上面的结果可知，某天有课总消费钱数的期望值为300元。

例5 一矿工被困在有三个门的矿井中，第一个门通过一坑道，沿此坑道走3 小时可使他到达安全地点；第二个门通到使他走5小时后又转回原地的坑道；第 三个门通到使他走7小时后回原地的坑道。如设这矿工在任何时刻都等可能地选 定其中一个门，试问他到达安全地点平均要花多长时间？

解：令X表示该矿工到达安全地点所需时间（单位：小时），Y表示他最初 选定的门，应用全数学期望公式，有 E?X??E??E?XY???

?E?XY?1?P?Y?1??E?XY?2?P?Y?2??E?XY?3?P?Y?3?

1E?XY?1??E?XY?2??E?XY?3?? ??， ??3 易知E?XY?1??3；

现在考虑计算E?XY?2?。设该矿工选择第二个门，他沿地道走5小时后又 转回原地，而一旦他返回原地，问题就与当初他还没有进第二个门之前一样。因此，他要到达安全地点平均还需要E?X?小时，故 E?XY?2??5?E?X?； 类似地，有 E?XY?3??7?E?X?，

13?5?E?X??7?E?X??从而 E?X????。 3? 解得 E?X??15。 所以他到达安全地点平均要花15小时。

此类问题同游客在旅途中平安脱险所用时间的解决方法类似，不再一一做一 说明。

例 6 箱内有a个白球和b个黑球，每次从中随机地取出一球，直到首次取得 白球为止，求被取出的黑球的平均数。

解：设X表示被取出的黑球数，记Ma,b?E?X?，定义

14

Y?1，如第一个被抽出的球是白色；

Y?0，如第一个被抽出的球是黑色。

则 Ma,b?E?X??E?XY?1?P?Y?1??E?XY?0?P?Y?0?。 但是 E?XY?1??0， E?XY?0??1?Ma,b?1， P?Y?0?? 于是 Ma,b?b a?bb1?Ma,b?1?， ?a?b111?M? Ma,1??a,0?a?1, a?1221?Ma,1?? Ma,2?。 ?a?2a?1b 用归纳法易证 Ma,b?。

a?15.2 利用条件期望求随机变量的方差

因为对任一随机变量X，有公式D?X??E?X2???因此可用条件期 ?E?X???，

2望来计算方差。

例 7 若保单持有人在一年保险期内发生意外事故死亡，赔付额为100000元； 若属于非意外死亡，赔付额为50000元；若不发生死亡则不赔付。根据历史数据 记录，发生意外和非意外死亡的概率分别是0.0005和0.0020，试讨论第i张保单

理

赔的概率分布。

解：用I表示理赔次数，I?1表示有死亡事故发生需要赔付；

I?0则表示事故发生不需要赔付。

若用A表示需要赔付的数额，A不再是一个常数，而是一个与I有关的随 机变量，依题意有

P?I?1,A?100000??0.0005，P?I?0,A?50000??0.0020 而且令q?P?I?1?，

则q?P?I?1??P?I?1,A?100000??P?I?0,A?50000??0.0025，

1?q?P?I?0??1?P?I?1??0.9975。

因此，记Xi?IA，其中A的条件分布概率为

P?A?50000I?1??0.8，P?A?100000I?1??0.2

15

且有 E?Xi??E??E?XiI???

?P?I?0?E?XiI?0??P?I?1?E?XiI?1? ??1?q??0?qE?AI?1?

?q??50000P?A?50000I?1??100000P?A?100000I?1??? ?0.0025??50000?0.8?100000?0.2? ?150

则 D?Xi??E?Xi2????E?Xi???

22EXI?? ?E??i?E?Xi??? ????2 ?P?I?0?E?Xi2I?0??P?I?1?E?Xi2I?1????E?Xi???

2 ?qE?A2I?1??1502

?0.0025??500002?0.82?1000002?0.2??1502 ?4977450

例 8 接连做一独立重复试验，每次试验成功的概率为p。设X表示出现首 次成功所需的试验次数，求D?X?。 解：设Y?1，如第一次实验结果成功； Y?0，如第一次实验结果失败。

2EXY?? 因为 E?X2??E????

E?X2Y?1??1

2 E?X2Y?0??E?E?1?X??

??因此 E?X??E?X2Y?1?P?Y?1??E?X2Y?0?P?Y?0?

2 ?p??1?p?E??1?X??

?? ?1??1?p?E?2X?X2?

2?1?p? ?1???1?p?E?X2?

p 或 E?X2??2?p p2 16

故 D?X??E?X2?????E?X??222

2?p?1?1?p ?2????2

pp?p? 在实际生活中条件数学期望的应用也比较广泛，这需要仔细观察。 5.3 条件期望在商业决策中的应用

在商业竞争中，商家必须对某种商品未来一段时间内的销售状况作出合理的 预测，才能使自己获得最大利润，或使得损失最小。这就要求决策者们根据以往 的销售情况及最新的信息资料进行综合分析作出决策。利用贝叶斯公式??计算条

9件数学期望，就是商业决策中的一种方法，下面以具体实例来介绍此方法的运用。 例 9 三部自动的机器生产同样的汽车零件，其中机器甲生产的占40%，机 器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%。 平均说来，机器甲生产的零件有10% 不合格，对于机器乙和丙，相应的百分数分别是5%和1%。如果从总产品中任意 的抽取一个零件，发现为不合格，试问： （1）它是由机器甲生产出来的概率是多少? （2）它是由哪一部机器生产出来的可能性最大?

分析：本例是在“取得的零件为不合格品”已经发生的条件下，计算该零件 由机器甲、乙、丙生产的概率，即由“结果”“推断”“原因”发生的概率。考虑 用贝叶斯公式，令

B?“取得的零件为不合格品”，

A1?“取得的零件由机器甲生产的”，

A2?“取得的零件由机器乙生产的”， A3?“取得的零件由机器丙生产的”，

则 P?A1??0.40, P?A2??0.25, P?A3??0.35,

PBA1?0.10, PBA2?0.05, PBA3?0.01。

??????（1）根据题意指的是计算P?A1B?,由贝叶斯公式，有 P?A1B??P?A1?P?BA1?

P?A1?P?BA1??P?A2?P?BA2??P?A3?P?BA3? ??0.40??0.10?

0.400.10?0.250.05?0.350.01????????????0.04?0.714。

0.056 ?（2）类似（1）的计算，可得

17

P?A2B?? P?A3B??0.25??0.05??0.223，

0.0560.35??0.01????0.063。

0.056可见，机器甲生产的可能性最大。

例10某服装商场根据以往的资料，预测服装在未来一段时间内畅销的概率为0.4，滞销的概率为0.6，现有两种销售方案（1）打折处理：预计在商品畅销时可获利6万元，在商品滞销时可获利2万元；（2）对商品重新包装，做广告宣传，仍按原价销售，预计在商品畅销时可获利10万元，在商品滞销时将损失4万元。

为了做出正确决策，先进行了一段时间的试销，发现原来认为畅销的商品实际畅销的概率为0.6，实际滞销的概率为0.4；原来认为滞销的商品实际畅销的概率为0.3，实际滞销的概率为0.7，根据这些资料我们来分析一下，采用哪种销售方案最佳。

分析：我们用A1表示预测商品畅销，A2表示预测商品滞销，B1表示实际商品畅销，B2表示实际商品滞销，X表示采取第一方案所取得的利润，Y表示采取第二方案所取得的利润。

则X取值为6，2，Y取值为10，-4。且X?6与Y?10表示预测商品畅销，即事件A1；X?2与Y??4表示预测商品滞销，即事件A2。

于是P?A1??0.4，P?A2??0.6，P?B1A1??0.6, P?B2A1??0.4,

P?B1A2??0.3, P?B2A2??0.7, 由贝叶斯公式知

P?A1B1??P?A1?P?B1A1??P?A2?P?B1A2?0.4?0.64?，

0.4?0.6?0.6?0.37P?A1?P?B1A1?

?P?A2B1?? ?P?A1?P?B1A1??P?A2?P?B1A2?0.6?0.33?，

0.4?0.6?0.6?0.37P?A2?P?B1A2?

P?A1B2?? ?P?A1?P?B2A1??P?A2?P?B2A2?0.4?0.48?，

0.4?0.4?0.6?0.729P?A1?P?B2A1?

18

P?A2B2?? ?P?A1?P?B2A1??P?A2?P?B2A2?0.6?0.721?。

0.4?0.4?0.6?0.729P?A2?P?B2A2?

因此，实际畅销商品采取第一方案的利润均值为 E?XB1??6P?X?6B1??2P?X?2B1?

?6PA1B1?2PA2B1?6?????43?2??4.29， 77 实际滞销商品采取第一方案的利润均值为

E?XB2??6P?X?6B2??2P?X?2B2?

?6PA1B2?2PA2B2?6?????821?2??3.10， 2929 实际畅销商品采取第二方案的利润均值为

E?YB1??10P?Y?10B1????4?P?Y??4B1?

?10PA1B1?4PA2B1?10?????43?4??4, 77 实际滞销商品采取第二方案的利润均值为 E?YB2??10P?Y?10B2????4?P?Y??4B2?

?10PA1B2?4PA2B2?10?????821?4???0.07。 2929由此可以看出，不论是实际畅销还是实际滞销的商品，采取第一销售方案的利润均值（条件期望）都大于第二方案，故应采取第一方案进行销售。 5.4 条件期望在预测中的应用

条件期望在预测问题中有重要作用，主要是通过“均方误差最小”解决一类 最优预测问题。

例 11 设身高为x?cm?的男子其成年儿子的身高服从均值为x?3，方差为10的正态分布，问身高为175cm的男子，其成年儿子的身高的最佳预测值是多少?

分析：令X表示父亲身高，Y表示儿子身高，则Y?X?3??，其中

?~N?0,10?，?与X独立，由条件期望的“均方误差最小”定理可知，Y

的最佳预测是

E?YX?175??E?X?3??X?175?

?175?3?E??X?175??178?E??178(cm)

例 12 设到达某车站的顾客数为参数是?的泊松流，求在时间间隔?0,t?中，

19

所有到达顾客等待的时间和的平均值。如果每分钟有5个顾客到达该车站，每20分钟有一列车通过该车站，求一天（24小时）在该车站由于等待乘车而浪费的平均时间和。

分析：设在?0,t?中到的顾客数为X?t?，Wj为第j个顾客到达的时刻，?为第

j个顾客的等车时间，则?X?t?,t?0?为参数是?的泊松流，??t?Wj，所有到达

顾客到时刻t的等待时间和的平均值为E因为对任意0?s?t，有 PWj?sX?t??n???t?W?

jj?1X?t???P?Wj?s,X?t??n?P?X?t??n?P?X?t??n?

?P?X?S??j,X?t??n?

??X?S??k,X?t??X?S??n?k? ?

P?X?t??n?k?jn?P?X?S??k??P?X?t?S??n?k? ?

P?X?t??n?k?jn?e??ns??s?k!k?e???t?s? ?k?j????t?s????n?k?!n?n?k?e??t??t?n!

ss ??C1?ttk?jknnkn?k，j?1,2,???,X?t?。

由上式可知，在X?t??n下，Wj就相当于n个独立同服从区间?0,t?上的均匀 分布随机变量的第j个顺序统计量。设?1,?2,???,?n为独立同分布随机变量，且

**为?1,?2,???,?n的顺序统计量，则由于 ,???,?n?1~U?0,t?并设?1*,?2X?t?j?1X?t?j?1E??t?W??EE??t?W?X?t?

jj 且 E??t?W?X?t??n?E??t?W?X?t??n

jjj?1j?1X?t?n 20

?nt?E?Wj?1nj?1njX?t??n?nt??EWjX?t??n?nt??E??*j?

j?1j?1nn ?nt?E???nt?E??j?nt?*jj?1jnntnt? 22所以 E??t?W?j?1X?t?tX?t?X?t??

2t?X??t??t2?E?

22从而 E??t?W?jj?1X?t?因为??5人/分，所以一天（24小时）顾客由于等车而浪费的平均时间和为：

5?20260??24?72000（分钟）?1200（小时） 220由上可知，如果增加车次，顾客浪费的时间少。例如，假设每10分钟有一 列车通过该站，即t?10（分钟），则一天顾客由于等车浪费的平均时间和为600（小时），但是车次增加，满载率将减少也会造成浪费，即钱的浪费。而如何确定车次，使时间、金钱的浪费最小，这是运筹学所要研究的优化问题。

小结：通过“均方误差最小”可以解决一系列的预测问题，在当前的社会， 经济发展是重要问题。通过条件期望可以预测小至一个公司的日常运作，大至世界经济的发展方向，并且可以根据它所做出的预测作出相应的决策。所以，条件期望的经济应用将会越来越为人们所关注。

结束语

通过本文的讨论可以看出，条件期望定义和性质的学习是有一定难度的，但是它在数学与其他领域都有着广泛的应用。如果我们能对其进行系统的学习和总结，而且在适当时候应用上述定理对问题加以分析，那我们就可以对问题有更加深入更加广泛的了解。

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The nature and application of the conditional expectation

(School of Mathematics and Computer Engineering,Xi'an University of Arts and

Science,Shaanxi Xi'an, 710065)

Abstract: The conditional mathematical expectation (hereinafter referred to as the conditional

expectation) is a very important concept in the theory of stochastic analysis and has important applications in the theory and practice. In this paper, several definitions of the conditional expectation and nature are analyzed at first. Then the several evaluations of the conditional expectations are studied. At last, the cases in the actual problem are combined to analyze the application of conditional expectation.

Key words: conditional expectation; definition; nature; application

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dh4p.html