如何列二元一次方程组解应用题
更新时间:2024-03-09 05:05:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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如何列二元一次方程组解应用题
众所周知,列方程解应用题既是学习方程的一个重点,又是学习方程的一个难点,而列方程组解应用题更是分析问题和解决问题的能力的具体体现,又中考中的常见题型,那么如何才能正确地列出方程组呢?具体地说,列方程组与列一元一次方程基本相似,即基本步骤是:审、设、列、解、答.常见题型有以下几种情形:①和、差、倍、分问题,即两数和=较大的数+较小的数,较大的数=较小的数×倍数±增(或减)数;②行程类问题,即路程=速度×时间;③工程问题,即工作量=工作效率×工作时间;④浓度问题,即溶质质量=溶液质量×浓度;⑤分配问题,即调配前后总量不变,调配后双方有新的倍比关系;⑥等积问题,即变形前后的质量(或体积)不变;⑦数字问题,即有若个位上数字为a,十位上的数字为b,百位上的数字为c,则这三位数可表示为100c+10b+a,等等;⑧经济问题,即利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数;税后利息=本金×利率×期数×(1-利息税率);商品的利润=商品的售价-商品的进价;商品的利润率=
商品的利润×100%.等等.
商品进价下面以列二元一次方程组解2006年中考应用题为例说明如下: 一、古代数学问题 例1(河北省)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图1,图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是
?3x?2y?19,类似地,图2所示的算筹图我们可以表述为( )A ??x?4y?23.A.?
?2x?y?11,
4x?3y?27?B.??2x?y?11,?3x?2y?19, C.?
4x?3y?22x?4y?23??D.??2x?y?6,
4x?3y?27?图1 图2
分析 抓住由图1所列出来的方程是??3x?2y?19,仔细分析系数3、2、19对应的图1
x?4y?23.?中的第一行和系数1、4、23对应的图2中的第二行的意义即可解答问题.
解 由图1所列出方程的意义,可知在图2中第一行表示的数分别为2、1、11,第二行表示的数分别为4、3、27.于是可以列出方程组??2x?y?11,故应选A.
?4x?3y?27.说明 求解本题一定要在图1的基础上弄清楚每一个图案所表示的具体数,才能准确地解答问题.
二、学校学生就餐问题
例2(济南市)某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅,经过测试:同时开放1个大餐厅、2个小餐厅,可供1680名学生就餐;同时开放2个大餐厅、1个小餐厅,可供2280名学生
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就餐.
(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐;
(2)若7个大餐厅同时开放,能否供全校的5300名学生就餐?请说明理由.
分析(1)仔细分析题意,题目中提供了两个等量关系,即一是开放1个大餐厅、2个小餐厅,可供1680名学生就餐;二是开放2个大餐厅、1个小餐厅,可供2280名学生就餐.这样若设1个大餐厅可供x名学生就餐,1个小餐厅可供y名学生就餐,就可以列出二元一次方程组求解了.(2)有了第(1)小问,只要算一下5个大餐厅和2个小餐厅共容纳的人数,再与5300比较即可.
解(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐,1个小餐厅可供y名学生就餐,则根据题意,得??x?2y?1680,
?2x?y?2280.?x?960,解这个方程组,得?
y?360.?答 1个大餐厅可供960名学生就餐,1个小餐厅可供360名学生就餐.
(2)因为960×5+360×2=5520>5300,所以如果同时开放7个餐厅,能够供全校的5300名学生就餐.
说明 本题中的两个等量关系是比较明显的,只是在处理第(2)小问时要借助于第(1)小问的结果,通过适当的计算,才能加以判断.
三、情景对话问题
例3(娄底市)小英和小强相约一起去某超市购买他们看中的随身听和书包.你能根据他们的对话内容(如图3),求出他们看中的随身听和书包单价各是多少元吗? 我知道随身听的单价我知道随身听和书 比书包的单价的4倍包的单价之和是452 少8元. 元.
图3
分析 根据对话知道两个等量关系,一是随身听和书包的单价之和是452元,二是随身听的单价比书包的单价的4倍少8元,这样若设书包的单价为x元,随身听的单价为y元,就可以根据题意列出一元一次方程组求解.
解 设他们看中的书包的单价为x元,随身听的单价为y元.则根据题意,得
?x?y?452,?x?92,解得 ??y?4x?8.y?360.??答 他们看中的随身听和书包单价各是360元和92元. 四、奥运“福娃”和徽章
例4(海南省)某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品,根据如图4提供的信息,求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元?
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共计145元 共计280元 图4
分析 通过观察分析图2所提供的信息可以知道两个等量关系:一是1盒“福娃”和2枚徽章共计价格是145元,二是2盒“福娃”和3枚徽章共计价格是280元,这样根据题意即可列出二元一次方程组求解.
解 设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元.
x?2y?145,则根据题意,得? ?2x?3y?280.?x?125解这个方程组,得? ??y?10.答 一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元.
说明 本来情景对话型的应用题已经让同学们感兴趣了,加之又赋予时代气息的奥运“福娃”和徽章,这样可以大大激发和提高同学们的解题能力. 五、表格信息
例5(乐山市)经营户小熊在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容:
蔬菜品种 批发价(元/公斤) 零售价(元/公斤) 红辣椒 4 5 黄瓜 1.2 1.4 西红柿 1.6 2.0 茄子 1.1 1.3 他共用116元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖,当天卖完.请你计算出小熊能赚多少钱?
分析 要求小熊用116元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖能赚多少钱,就得先求出红辣椒和西红柿各批多少公斤,由表中提供的信息红辣椒和西红柿的价格分别是4元/公斤和1.6元/公斤,而红辣椒和西红柿共44公斤,这样即可根据题意即可列出二元一次方程组求解.
解 设小熊在市场上批发了红辣椒x公斤,西红柿y公斤.
则根据题意,得??x?y?44
?4x?1.6y?116 解这个方程组,得x=19,y=25. 25×2+19×5-116=29(元).
答 他卖完这些西红柿和红辣椒能赚29元.
说明 当一个问题直接求解有困难时,不妨换一种思维,间接求解.本题中通过先分别求出红辣椒和西红柿的重量即可使问题获解. 六、开放型问题
例6(吉林省)如图5,在3×3的方格内,填写了一些代数式和数.
(1)在图(1)中各行、各列及对角线上三个数之和都相等,请你求出x,y的值;
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(2)把满足(1)的其它6个数填入图(2)中的方格内.
2x 3 2 3 2
y -3 -3
4y
(1) (2)
图5
分析 依题意可知图(1)中有两个等式:2x+3+2=2+(-3)+y,2x+3+2=2x+y+4y.由此可以列出二元一次方程组求解.
解(1)由已知条件可得:?,?2x?3?4y?3,?x??1解得?
y?4y?5.y?1.??-2 3 5 0
2
(2)由(1)可得如图6所示的表.
1 -3 -1 4
图6
说明 本题列方程组时有不同的列法,具有一定开放性,虽然所列的方程组可能不同,但结果仍然是一的.
练习题: 1,(益阳市)八年级三班在召开期末总结表彰会前,班主任安排班长李小波去商店买奖品,下面是李小波与售货员的对话:
李小波:阿姨,您好!
售货员:同学,你好,想买点什么?
李小波:我只有100元,请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.
售货员:好,每支钢笔比每本笔记本贵2元,退你5元,请清点好,再见. 根据这段对话,你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗? 2,(湘西自治州)在社会主义新农村建设中,某村积极响应党的号召,大力发动农户扩大烟叶和蔬菜的种植面积,取得了较好的经济效益.今年该村烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加了800亩,其中烟叶种植面积增加了20%,蔬菜种植面积增加了30%,从而使该村的烟叶和蔬菜种植面积共达到了4200亩.问该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是多少亩?
参考答案:1,设该村去年种植烟叶和蔬菜面积各为x亩,y亩,根据题意有:
?x?y?4200?800?x?2200解得?答:该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是2200亩,?20%x?30%y?800y?1200??1200亩.
2,设钢笔每支为x元,笔记本每本y元,据题意得?答:钢笔每支5元,笔记本每本3元.
?x?y?2?x?5解方程组得??10x?15y?100?5?y?3
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