林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题14共顶点模型（附答案）

专题14 共顶点模型

破解策略

1．等边三角形共顶点

等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线．

AFDHCEGB

连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，则： （1）△BCD≌△ACE； （2）AE＝BD；

（3）∠AFB＝∠DFE＝60°； （4）FC平分∠BFE；

（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC； （6）△CGH为等边三角形．

?CA?CB?证明 （1）由已知条件可得?∠ACE?∠BCD，则△BCD≌△ACE．

?EC?DC?（2）由（1）得AE＝BD；

（3）由（1）得∠GAF＝∠GBC，而∠AGF＝∠BGC，所以∠DFE＝∠AFB＝∠ACB＝60°． （4）方法一 如图1，过点C分别作BD、AE的垂线，垂足分别为M、N． 由（1）知S△ACE＝S△BCD，即

11BD·CM＝AE·CN，所以CM＝CN，故FC平分∠BFE． 22AMFDNBCE图1

方法二 由∠CAF＝∠CBF，可得A、B、C、F四点共圆，所以∠BFC＝∠BAC＝60°． 同理可得∠CFE＝∠CDE＝60°．所以FC平分∠BFE．

（5）如图2，作∠FCI＝60°，交BD于点I，则△CFI为等边三角形． 易证△BCI≌△ACF，所以BI＝AF，IF＝CI＝FC． 从而BF＝BI＋IF＝AF＋CF．同理可得EF＝DF＋FC．

AMFDNBCE图1

（6）易证△ACH≌△BCG（ASA） 可得CG＝CH，而∠GCH＝60°，所以△CGH为等边三角形．

2．等腰直角三角形共顶点

等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．

AAIFDDHCCBEBGJE图1

图2

如图1，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE，则： （1）△BCD≌△ACE； （2）AE＝BD； （3）AE⊥BD； （4）FC平分∠BFE； （5）AB2＋DE2＝AD2＋BE2

（6）BF＝AF＋2FC，EF＝DF＋2FC；

（7）如图2，若G、I分别为BE、AD的中点，则GC⊥AD、IC⊥BE（反之亦然）；

（8）S△ACD＝S△BCE

证明（1）（2）（3）（4）证明见“等边三角形共顶点”；

（5）因为AE⊥BD，由勾股定理可得AB2＋DE2＝（AF2＋BF2）＋（DF2＋EF2）， AD2＋BE2＝（AF2＋DF2）＋（BF2＋EF2） 所以AB2＋DE2＝AD2＋BE2

（6）如图3，过点C作CK⊥FC，交BD于点K，则△CFK为等腰直角三角形． 易证△BCK≌△ACF，所以BK＝AF．从而BF＝BK＋KF＝AF＋2FC， 同理可得EF＝DF＋2FC．

AFKCBDE图3

（7）①如图4，延长GC，交AD延长线于点H，延长CG至点K，使得GK＝GC，连结BK． 易证∠KBG＝∠CEG，BK＝EC＝CD．

由题意可得∠ACD＋∠BCE＝∠CBE＋∠CEB＋∠BCE＝180°， 所以∠ACD＝∠CBE＋∠CEB＝∠CBG＋∠GBK＝∠CBK． 可得△ACD≌△CBK（SAS） 则∠CAD＝∠BCK，

所以∠ACH＋∠CAH＝∠ACH＋∠BCK＝90°，故GC⊥AD．

ADHCBKGE图4

②如图5，CJ⊥BE，延长JC交AD于点T，分别过点A，D作IJ的垂线，垂足分别为M、

N．由已知可得△AMC≌△CJB；△DNC≌△CJE，

所以AM＝DN＝CJ，故有△AMI≌△DNI，所以AI＝DI，即可证．

AMINDCBJE图5

（8）在（7）中的证明过程中可得到S△ACD＝S△BCE；也可以用下面的方法来证明 如图6，过点D作DP⊥AC于点P，过点E作EQ⊥BC，交BC延长线于点Q． 易证△DPC≌△EQC（AAS）．所以DP＝EQ，故

ADPQBCE11DP·AC＝ EQ·BC，即S△ACD＝S△BCE 22图6

3．等腰三角形共顶点

等腰△ACB与等腰△DCE中，AC＝BC，DC＝CE，且∠ACB＝∠DCE．

AFEDBC

连结BD，AE交于点F，则： （1）△BCD≌△ACE； （2）AE＝BD；

（3）∠AFB＝∠ACB； （4）FC平分∠BFE．

4．相似三角形共顶点 △ACB与△ECD中，

ACBC?，∠ACB＝∠ECD． ECDCDAGBCFE

连结BD，AE交于点F，则： （1）△BCD∽△ACE； （2）∠AFB＝∠ACB．

?BCAC??证明（1）由已知可得?DCEC

??∠BCD?∠ACE所以△ACE∽△BCD．

（2）由（1）可得∠CAF＝∠CBF．

设AC与BD的交点为G，则∠AGF＝∠BGC， 所以∠AFB＝∠ACB． 例题讲解

例1 如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连结DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝?．

（1）如图2，当∠CDE＝45°且?＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；

（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连结BF，AF． ①若?＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长； ②请直接写出线段AF的长（用含?的式子表示）

解 （1）AD＋DE＝4．

（2）①如图4，连结AE交BC于点G，设DE与BC的交点为H． 由“等腰直角三角形共顶点”可得 △ADE≌△BDC（SAS）

所以AE＝BC，∠EGC＝∠EDC＝90° 因为线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF．

所以AE＝BC＝FE＝4，AE⊥EF． 所以AF＝2EF＝42． ②AF＝8sin

?2．

如图5，连结AE交BC于点G．

由“等腰直角三角形共顶点”可得FE＝BC＝AE ∠AEF＝∠EGC＝∠EDC＝? 过点E作EH⊥AF于点H 则∠AEH＝

11∠AEF＝? 22 所以AF＝2AH＝2AEsin

?2＝8sin

?2．

解 （1）AD＋DE＝4．

（2）①如图4，连结AE交BC于点G，设DE与BC的交点为H． 由“等腰直角三角形共顶点”可得 △ADE≌△BDC（SAS）

所以AE＝BC，∠EGC＝∠EDC＝90° 因为线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF．

所以AE＝BC＝FE＝4，AE⊥EF． 所以AF＝2EF＝42． ②AF＝8sin

?2．

如图5，连结AE交BC于点G．

由“等腰直角三角形共顶点”可得FE＝BC＝AE ∠AEF＝∠EGC＝∠EDC＝? 过点E作EH⊥AF于点H 则∠AEH＝

11∠AEF＝? 22 所以AF＝2AH＝2AEsin

?2＝8sin

?2．

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