高中文数例题汇总

【练10】（1）（黄岗三月分统考变式题）设a间。 答案：当0?0，且a?1试求函数y?loga4?3x?x2的的单调区

3?3???3???a?1，函数在??1,?上单调递减在?,4?上单调递增当a?1函数在??1,?上单调

2?2???2??递增在

?3?

,4?上单调递减。 ??2?

（2）若函数

1f?x??loga?x3?ax??a?0,a?1?在区间(?,0)内单调递增，则a的取值范围是（）A、

21399[,1) B、[,1) C、(,??) D、(1,) 44442则g'?x??3x?a当a?1时，要使得f?x?是增函数，则需有g'?x??0?x??x3?ax，

2答案：B.（记g3?1?恒成立，所以a?3????.矛盾.排除C、D当0?a?1时，要使f?x?是函数，则需有g'?x??0恒

4?2?3?1?成立，所以a?3????.排除A）

4?2?2【易错点11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．

12求siny?cosx的最大值 31【易错点分析】此题学生都能通过条件sinx?siny?将问题转化为关于sinx的函数，进而利用换

3元的思想令t?sinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成

例11、已知sinx?siny?错解，

解析：由已知条件有siny??2?sinx?13，而

11?sinx且siny??sinx???1,1?（结合sinx???1,1?）得33122令siyn?cxo=s?sinx?cos2x=?sin2x?sinx?33即

22?2??2?t?sinx???t?1?则原式=t2?t????t?1?根据二次函数配方得：当t??33?3??3?sinx??23时，原式取得最大值

49。

【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

【练11】（1）设a>0，000求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。

2答案：f(x)的最小值为－2a－2

2?12(0?a?)?1?22 2a－，最大值为?212?2?2a?22a?(a?)?22?（2）不等式x>ax＋答案：a3的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。

21?,b?36（提示令换元x?t原不等式变为关于t的一元二次不等式的解集为2,b8??）

【易错点12】已知Sn求an时, 易忽略n＝１的情况． 例12、数列

（1）求a2,a3,a4的值及数列?an?的通项公式。 ?an?前n项和sn且a1?1,an?1?3sn。

1【易错点分析】此题在应用sn与an的关系时误认为an的情况的验证。易得出数列

?sn?sn?1对于任意n值都成立，忽略了对n=1

?an?为等比数列的错误结论。

解析：易求得

141611a2?,a3?,a4?。由a1?1,an?1?sn得an?sn?1?n?2?故

39273311141an?1?an?sn?sn?1?an?n?2?得an?1?an?n?2?又a1?1，a2?故该数列从第

33333?1?n?1??二项开始为等比数列故an??14n?2。

??????n?2??3?3???s1?n?1?【知识点归类点拔】对于数列an与sn之间有如下关系：an??利用两者之间的关系??sn?sn?1?n?2?可以已知sn求an。但注意只有在当a1适合an的形式。

【练12】已知数列

?sn?sn?1?n?2?时两者才可以合并否则要写分段函数

??n?1?an?1?n?2?则数列?an??an?满足a1?1,an?a1?2a2?3a3?的通项为 。

?1?n?1??答案：（将条件右端视为数列?nan?的前n-1项和利用公式法解答即可）an??n!

??n?2??2【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始） 例13、等差数列

?an?的首项a1?0，前n项和sn，当l?m时，sm?sl。问n为何值时sn最大?

【易错点分析】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。 解析：由题意知sn=

f?n??na1?n?n?1?2d?d2?d?n??a1??n此函数是以22??n为变量的二次函

数，因为a1?0，当l?m时，sm?sl故d?0即此二次函数开口向下，故由f?l??f?m?得当

时

x?当ll?m2f?x?取得最大值，但由于n?N?，故若l?m为偶数，当n?l?m?1时sn最大。 2l?m2时，sn最大。

?m为奇数时，当n?【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项，反之满足形如sn?an2?bn所对应的数列也必然是等差数列的前n项和。此时由sn?s??an?b知数列中的点?n,n?是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如n?n?前n项和sn【练13】设

?can?c所对应的数列必为一等比数列的前n项和。 ?an?是等差数列，sn是前n项和，且s5?s6，s6?s7?s8，则下列结论错误的是（）A、

d?0B、a7?0C、s9?s5 D、s6和s7均为sn的最大值。

答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答） 【易错点14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。 例14、已知关于的方程x2?3x?a?0和x2?3x?b?0的四个根组成首项为

34的等差数列，求

a?b的值。

【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。 解析：不妨设

34是方程x2?3x?a?0的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程

2x2?3x?a?0的另一根是此等差数列的第四项，而方程x?3x?b?0的两根是等差数列的中间两

项，根据等差数列知识易知此等差数列为：

2735313579,b?,,故a?从而a?b=。 1616844,44【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列?an?，若n?m?p?q，则an?am?ap?aq；对于等比数列?an?，若n?m?u?v，则an?am?au?av；若数列?an?是等比数列，Sn是其前n项的和，k?N，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比数列；若数列项的和，k*?an?是等差数列，Sn是其前n?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等差数列等性质要熟练和灵活应用。 2【练14】已知方程x?2x?m?0和x2?2x?n?0的四个根组成一个首项为

34 C、

14的等差数列，则

m?n=（） A、1 B、

12 D、

3 8答案：C

【易错点15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况 例15、数列{an}中，a1（I）求使anan?1?1，a2?2，数列{an?an?1}是公比为q（q?0）的等比数列。

（II）求数列{an}的前2n项的和S2n． ?an?1an?2?an?2an?3成立的q的取值范围；

【易错点分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列{an?an?1}是公比为q（q?0）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数

列而找不到解题突破口。使思维受阻。 解：（I）∵数列{an由anan?1?an?1}是公比为q的等比数列，∴an?1an?2?anan?1q，an?2an?3?anan?1q2，

?an?1an?2?an?2an?3得anan?1?anan?1q?anan?1q2?1?q?q2，即

1?52．

，解得0?q?q2?q?1?0（q?0）

（II）由数列{an?an?1}是公比为q的等比数列，得

an?1an?2a?q?n?2?q，这表明数列{an}的

anan?1an?1，a2?2，∴当q?1时，

所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，又a1S2n?a1?a2?a3?a4???a2n?1?a2n

?(a1?a2?a3???an)?(a2?a4?a6???a2n)a1(1?qn)a2(1?qn)3(1?qn)，当q?1时，???1?q1?q1?qS2n?a1?a2?a3?a4???a2n?1?a2n?(a1?a2?a3???an)?(a2?a4?a6???a2n)?(1?1?1???1)?(2?2?2???2)?3n．

【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中an?2?q是解题的关键，这种给出数列an的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为1这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。 【练15】设等比数列答案：

?an?的公比为q，前n项和sn?0（1）求q的取值范围。

??1,0??0,???

【易错点16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。 例16、已知数列（1）求数列

?an?是等差数列，且a1?2,a1?a2?a3?12

?an?的通项公式（2）令bn?anxn?x?R?求数列?bn?前项和的公式。

?an?的通项公式再由数列?bn?的通项公式分析可知数列?bn?是一

【思维分析】本题根据条件确定数列

个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。 解析：（1）易求得an（2）由（1）得bn?2n

?2nxn（Ⅰ）则

?2nxn令sn?2x?4x2?6x3?xsn?2x2?4x3?（注意错过一位再相减）得?2?n?1?xn?2nxn?1（Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）

?1?x?sn?2x?2x2?2x3?x?1时sn?2?4?6?综上可得：

?x?1?xn??2n?1nn?1??nx?当?2x?2nx当x?1sn?1?x?1?x????2n?n?n?1?

n?2?x?1?x?n?1?当x?1sn??nx?当x?1时sn?2?4?6?1?x?1?x????2n?n?n?1?

【知识点归类点拔】一般情况下对于数列

?cn?有cn?anbn其中数列?an?和?bn?分别为等差数列和等

比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。 【练16】已知un求数列

?an?an?1b?an?2b2??abn?1?bn?n?N?,a?0,b?0?当a?b时，

?an?的前n项和sn

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