2011年数模培训讲座

第一讲 数学模型和数学建模

一、 数学模型

数学模型就是使用数字、字母以及其它符号来体现和描述现实原型的各种因素形式以及数量关系的一种数学结构。它通常表现为定律、定理、公式、算法、以及图表等。

马克思曾说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。可以认为，数学在各门科学中被应用的水平标志着这门科学发展的水平。随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学、技术到工农业生产建设，从经济到社会的各个领域。一般的说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而如何将已有的数学成果应用于实际问题，就需要建立数学模型来解决。 二、数学建模

简单来说，就是用数学的语言和方法通过抽象、简化去近似地刻划实际问题，进而通过计算机分析得出结果，再回到实际中接受检验，逐步完善，最终解决实际问题，以求得更高的经济、社会效益。 三、建立数学模型的一般步骤和原则

建立数学模型是一种十分复杂的创造性劳动，因此不可能用一些条条框框规定出每种模型如何建立，这里所说的步骤只是一种大体上的规划，具体问题具体分析，灵活应用，边干边创造。 1、模型准备

当我们得到或接受一个现实原型，或者说一个实际问题要建立数学模型时，首先要对原型进行仔细的分析，明确建模的目的，特别是对生产实际问题，要到原型所处的环境中进行深入的调查研究，了解用户对问题的各种要求，搜集已有的各种资料和数据，为建立数学模型提供可靠的依据。 2、模型假设

根据原型的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化、并用精确的语言做出假设。一般的说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也难求解。不同的简化假设会得到不同的数学模型。假设做得太少，试图把复杂的原型的各方面因素都考虑得很周全，则或者模型无法建立，或者建立的模型在数学上取法求解；假设做得太多，把本应当考虑的因素都忽略掉，模型固然好建立并容易求解，但这时模型可能反映不了原型，也是失败。总之，模型假设要根据问题的要求，本着抓主要矛盾的方针合理的做出。 3、模型构成

根据所作的假设分析原型各环节之间的因果关系，利用其内在规律和适当的数学工具，建立各个量（常量与变量）之间的等式（或不等式）关系或其他数学结构。这里除需要一些相关学科的专门知识外，数学方面必要的知识是必需的。如果遇到所用工具不够，就要进行大胆的创造，这是建立数学模型最重要的一步。 4、模型求解

采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传

统的和近代的数学方法得到模型的结果，就是模型求解。这里需要特别提出的是，随着数学模型这门学科的不断发展，计算机技术成为了重要的甚至是必不可少的工具。 5、模型分析

对模型的结果进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有事实根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制。不论哪种情况还常常需要进行误差分析，模型对数据的稳定性或灵敏性分析等。 6、模型检验

把数学上分析的结果翻译回到实际问题中去，并和实际的现象、数据进行比较，以检验模型的合理性和实用性，模型检验的结果如果不符合或部分不符合实际，问题通常处在模型假设上，应该修改、补充假设、重新建模。有时模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意。 四、建立数学模型的逻辑思维方法

建立数学模型是一种创造性的思维活动,没有统一模式和固定的方法.建立数学模型需要较强的抽象概括能力,数学语言的翻译能力,善于抓住本质的洞察能力，联想及综合分析能力，掌握和使用当代科技成果的能力等。从逻辑思维的角度看，抽象、归纳、演绎、类比、模拟等方法被大量的采用，这些方法在数学建模的过程中起到重要的作用。

抽象就是忽略每个具体事物的特殊性，寻找事物发展变化的共性

和一般规律。

归纳就是在观察、经验或实验的基础上，依据若干已知的不完全的现象推断尚属未知的现象，即从特殊的、具体的认识推进到一般认识的一种思维方式。

演绎是由一般性的命题推出具体命题的推理方法，演绎法可以把特殊情况明晰化，把蕴涵的性质揭示出来，有助于科学的理论化和体系化。

类比是在两类不同的事物间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似处的一种思维方式，。类比是从人们已经掌握了的事物的属性推测被正在研究中的其他事物的属性，类比的结果只是猜测性的，不一定可靠，但它有发现的功能，是创造性思维的重要方法。

模拟是人们仿照事物发展变化的机理和过程去描述和研究其变化情况的一种方法，一般是用一个简化、迅速、经济、安全的系统对原系统的结构和行为进行动态演示，以评价或预测一个系统的行为效果，这是解决复杂实际问题的一条有效途径。

值得指出的是，数学建模是一种创造性的劳动，除了以上提出的各方面的能力之外，直觉和灵感有时在建模过程中会产生意想不到的效果。历史上不乏在科学家的直觉和灵感的火花中诞生的假说、论证和定律。所以在建模过程中，相互讨论和思想交锋，特别是不同专业的成员之间的探讨，借以激发直觉和灵感是非常必要的，有时起着决定性的作用。

第二讲 初等模型建模的一些例子

例1四个工厂A、B、C、D，且AB=a（公里）、BC=a(公里)、CD=a(公里)、?ABC?45?、?BCD?120?，现在要找一个供应站H的位置，使它到四个工厂距离和HA+HB+HC+HD为最小，说明理由，1223并求出最小值。

解、根据题意，作图有两种情况：

（1） 凸多边形 2）凹多边形

（

位所代表的人数，这两个值越大，对第i方越不公平。而Qi恰是它们的几何平均值的平方，故Qi能反应对第i方的不公平程度，增加的一席应分给Q值最大的一方。

练习题5

学校共1000名学生，235住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数。

（1）

按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。

（2） （3）

例5中的Q值法。

D. Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用1，2，3，??正整数相除，其商如下表

A B C 1 2 3 4 5 ?? 235 117.5 78.3 58.75 ?? 333 166.5 111 83.25 ?? 432 216 144 180 86.4 ?? 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2、3、5，这就是3个宿舍分配的席位，你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10人增至15人，分配名额如何改变。 例7磁带问题

当录音机的磁带转动时，两个绕带盘的

半径是变化的，一个半径增大，一个半径减 小，我们还知道磁带是匀速地通过磁头的， 即两绕带盘边缘的线速度是常数。试问：

磁带绕盘的半径与时间的关系。 设磁条厚度为a，转轮轴半径为R0，所 有磁条绕在一个轮上时的半径为R1,磁条通 1

过磁头时的线速度为v，放完磁带一面所需 的时间为T，开始时（t=0）磁条都绕在转轮

模型假设

1上，经过时间T，磁条都绕在转轮2上。

设t时刻转轮2的半径为R(t)（轴半径加上所绕磁条的总厚度），则有关系式：

R(t??t)?R(t)?v?t2?R(t)?a 令?t?0得

dR(t)vadt?2??1R(t) 解之得

12R2(t)?va2?t?C 注意到

R(0)=R0 于是

2

R2(t)?（*）

va?t?R02

此即转轮2的半径与时间的关系。

模型检验

由于磁条每圈长度是由2?R0均匀的增加至2?R1，所以每圈的平均长度为(2?R0?2?R1)??(R0?R1)，故放完磁带一面时的总圈数为

vaTvTvT，于是磁条总厚度为R1?R0?。?a，即R12?R02???(R0?R1)?(R0?R1)12这和利用（*）式得到的结果是一样的。

用类似的方法可得到转轮1的半径和时间的关系为 R2(t)?? 例8追线问题

我缉私舰雷达发现距c公里处有一艘走私船正以匀速a沿直线行驶。缉私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。 选取走私船逃跑方向为y轴方向，缉私舰在（c，0）位置发现走私船在（0，0）处，显然缉私舰、走私船的大小比他们运动的范围小得多，可视为两个质点。设从缉私舰发现走私船时算起的时间为t，走私船到达R=(0,at)点，缉私舰到D=(x,y)，因直线DR与路线相切，由几何关系得

dyy?at?tan??x dxdyx?y??at或 dx

va?t?R12

上式两端对x求导，有

d2ydtx2??adx dxds?bdt代入得到

dtdtds1dy????1?()2bdx dxdsdx其中的负号是因为s随x的减小而增大，于是

?d2ydy?x2?k1?()2?dxdx? ?y(c)?0,y?(0)?0

adyd2ydpk??p?2bdxdx，则上式可化为 dx其中上式不显含y，令及

dp

1?p2?kdxx

两端积分并利用初始条件：x=c时p=0,得到

xln(p?1?p2)?ln()kc

从而

要继续求y是x的怎样一个函数，必须进一步确定k。 （1） 若a

c1x1?k1x1?kck(()?())?21?kc1?kc1?k2

ckabcy??2b2?a2,即走私船被缉私舰捕捉前所跑过的距离当x=0时，1?ky?p?dy1xkc?(()?()k),y(c)?0dx2cx

为

abcybct??ab2?a2 b2?a2，所用的时间是

（2） 若a=b,即k=1,则

1x2?c2xy?(?cln)22cc

显然x不能取零值，缉私舰不可能追上走私船。 （3） 若x>b，即k>1,显然缉私舰不可能追上走私船。 练习题6

设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目的编造了一个谣言。该城市具有初中以上文化程度的人占总人数一半，这些人只有1/4相信这一谣言，而其他人约有1/3会相信。又设凡相信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反映谣言传播的数学模型。

（解答）设在t时刻听说此谣言的人数为N(t)，比例系数设为k，则有下列等式

1111N(t??t)?N(t)?k(???)N(t)(n?1?N(t))?t

2423两边同除以

?t，在令?t?0得

N?(t)?7kN(t)(n?1?N(t)) 24考虑到N(0)?1，可得到

7k(n?1)t24N(t)?(n?1)en?e7k(n?1)t24

当t?0时，N(t)?n?1，即所有人都将听说这一谣言。

练习题7

某河有一小船已被水冲走，现要将其拉回岸边。已知水流速度为

u，拉绳子的速度为v，求小船在河中行驶的轨迹。

（解答）如图建立直角坐标系和极坐标系，其中 拉船的人群位于坐标系的原点（0,0），船被 冲走的瞬间位置在y轴上一点（0，h），

A （至于在其他位置并不影响建模和求解的

难度）

由于水流速度为u（方向向右），人拉绳 子的速度为v，方向总是指向原点，所以不难 建立如下的微分方程模型：

??u?vco?s?x ? （1）

?y??vsin??并有初始条件

r(0)?h,?(0)?利用直角坐标和极坐标之间的关系

?2或x(0)?0,y(0)?h （2）

?x?rcos? （3） ?y?rsin??（1）式变为

?sin??u?vcos??r?cos??r? （4） ???sin??r?cos???vsin??r从（4）中解出

???v??r?ucos?????usin? （5） ?r?（r?0）

由（5）得

drcos?v??r?r （6） d?sin?usin?（6）是一个可分离变量的微分方程，解之得

lnr??lnsin??再由（2）得??vln(csc??cot?)?C （C为任意常数） u?2时，r?h，可确定C?lnh，所以模型的解为

rsin??h(csc??cot?) （7）

评注：若在某一时刻T，船被拉到岸边（即原点），此时，r?0,??0，（7）式左端为0 ，（7）式右端因为

lim(csc??cot?)?lim??0vu1?cos??0

??0sin?而趋于0。另外，若u?0，则是在静水中，此时原方程退化为

??0?x ????v?y此时船被直线拉回。

练习题8

取n值容量相等的杯子，充满水，并且一只放在另一只下面排列。向第一只（即最高位置）杯子以常速度倒入与杯子容量相等的葡萄酒，溢出液体刚好流到第二只杯子，第二只杯子溢出液体流到第三只杯子??。假设水和葡萄酒的混和是瞬时发生。求在任意时刻t及过程结束时每只杯子所含葡萄酒量。

（解答）假设单位时间倒入的葡萄酒数量为m，则倒完一杯所用时间就是1/m，设

u1(t),u2(t),?,un(t)分别为n只水杯中t时刻所含的葡萄酒数量，则有

mm2m2u1(t??t)?u1(t)?m?t??t??t，注意到u1(0)?0所以u1(t)?t。

1?m1?m1?mm2?m:x， 另设在单位时间内有x数量的葡萄酒倒入第二只杯子，则按比例应有1:1?mm3m3m31?m?解之得x?，而从第二只杯子中流出去的葡萄酒数量是，于是 1?m1?m(1?m)2m3m3m4u2(t??t)?u2(t)??t??t??t，由于u2(0)?0，所以221?m(1?m)(1?m)m4m2nu2(t)?t。同理un(t)?t。 2n(1?m)(1?m)（15分）

过程结束时，每个水杯中的葡萄酒数量则分别为

1m1m31m2n?1 u1()?,u2()?,un()?m1?mmm(1?m)2(1?m)n

例9现有一风险投资机会，成功和失败的概率都是0.5。你每投资1美元，若成功，可以得到1.6美元的利润（注：原投资本金仍归还给你）；若失败，则损失1美元（注：仅失去投资额）。投资次数和投资额不限。你为了不把钱输光，采取了如下策略：总是拿你所持有的钱的一半去投资（注：若钱是可以无限可分的，你可以一直投资下去，不会破产）。你开始的资金是一百万美元。

在如此吸引人的投资环境中按照上述的投资策略其结果如何呢?具体说，平均说来你是赢还是输？如果你投资了10000次，你最后有多少钱？你有多大的可能在最后拥有的钱少于开始的一百万美元？

附：原文

《The Art of Decision-Mak-ing》

You know of a venture that succeeds half the time. For each invested $1, you make $ 1.60 when the venture succeeds; you lose $1.00 when the venture fails. You may invest as often as you like; you may risk as you please. To avoid that you lose all your money ,you adopt the following rule: Always invest exactly half the money in your possession. Suppose your starting capital were $1 000 000 .

What is the effect of combining such an attractive investment with this capital-preserving strategy? In particular, do you gain or lose money on average? If you invested in 10 000 ventures like this how much money would you have on average? How likely is it that you will have less than

the $1 000 000 with which you started when your 10 000th investment is completed?

直观上来看，这应是一个好的投资机会，投资者会发大财。依据如下：

设投资者初始资本为a元，经一次投资后的资本有两种可能： （1） 若成功，资本为a1=a+1.6(a/2)=1.8a （2） 若失败，资本变为a1=0.5a

一次投资后的资本期望值为E1=0.5(1.8a+0.5a)=1.15a

可以证明，第二次投资后的期望值为E2=1.152a,第三次投资后的期望资本值为E3=1.153a,??，以此类推，投资10000次后的资本期望值为E10000=1.1510000a元。这可是个天文数字，只要看1.15100=1174313>1000000,即投资100次后期望资本就大于10000亿元。若投资10000次，期望资本值将大于10606元。即使太阳系的每个分子都变成100元的人民币，恐怕也不能凑够这么多钱。

然而，细细分析，你会发现：由于投资的胜率为0.5，在10000次投资中赢和输的次数很可能都接近5000。由于在赢时，资本会由a变为1.8a；在输时，资本会从a变为0.5a。根据乘法的交换律和结合律，在胜负次数确定的情况下，投资胜负的顺序如何是没有关系的。

若假设总投资次数为N，胜负次数各半，投资N此后的资本额变为a(1.8)N/2(0.5)N/2=a(0.9)N/2.为了说明这一数值的大小，我们假设投资次数N=360,a=1000000,则可以得出：

a360=a(1.8)180(0.5)180=a(0.9)180=0.0058(元)

只剩下不到1分钱。

下面我们来进行分析

设N次中有n次赢，N-n次输，开始有a元，最后有aN=a(1.8)n(0.5)N-n

我们先考虑要使投资者不输，需要赢得次数： 要使aN=a(1.8)n(0.5)N-n>=a, 只需（1.8）n(0.5)N-n>=1 (1.8)n>=2N-n nlog1.8>=(N-n)log2 n>=Nlog2/(log3.6) 即n>=0.5411N

若n=10000，需要n>=5411才能保本或获利。然而，其概率微乎其微。在试验次数充分大时，我们可以用正态分布作为伯努力试验概率分布的近似估计。由于p=q=0.5,可知??Npq?50，成功次数大于5411的概率为：

P(n?5411)?P(x?8?x~N(0,?2))?10?15

为了理解次概率有多小，我们可以设想全世界有100亿人，每人有10万根头发，合计有1015。如果在某一个人的头上选一根头发，刻上记号，然后把所有人的头发剃下来，放在太平洋里均匀搅拌，再让一个人随机的抓一根头发，抓到的头发正好是预先做记号的那一根的概率就是你投资能保本或盈利的概率。换句话说，抓不到那根头发的概率就是你会赔本的概率。

是这样进行的：设某个团体中具有某种敏感特征人的比例为α，称具有这种特征的人为团体A。直接向被调查者询问你是否属于团体A是会引起反感的。瓦纳设计的方法是提出两个问题

问题1：你属于团体A； 问题2：你不属于团体A。

调查者准备好一叠题号卡，其中百分比p的卡标有数字1，百分比1-p的卡标有数字2。调查时，调查人请被调查人从题号卡众任抽一张，并告诉被调查人不要把抽到的结果告诉调查人，若抽到标有1的卡就回答问题1，若抽到标有2的卡应回答问题2，请他们选择“是”或“非”。由于被调查人认为调查人并不知道他究竟回答那一个问题，所以做出真实回答的可能性比较大。

社调查了n个人，其中有m人回答“是”，我们要用概率论的方法估算总体中属于团体A的比例。

由概率的加法公式和乘法公式，我们计算回答“是”的概率： P{回答“是”}=P{抽到标有1的卡且回答“是”}+P{抽到标有2的卡且回答“是”}=P{抽到标有1的卡}P{回答“是”/抽到标有1的卡}+P{抽到标有2的卡}P{回答“是”/抽到标有2的卡}。

上述公式实际上是概率论中的全概率公式。

由于样本数位n，回答“是”的总数为m，回答“是”的概率可以用

m来估计。设属于团体A的概率为α，于是上式可写成 nm?p??(1?p)(1??) n从中解出

??1m1(p?1?).p? 2p?1n2其中?是总体中属于团体A的概率的估计值。

3、模型的应用

为调查大学生中某一年级学生参加外语考试作弊的比例，用随机回答法进行调查，设计的两个问题为

问题1：你在这次考试中有作弊行为； 问题2：你在这次考试中无作弊行为。

设计得题号卡共100张，其中75张标有数字1，25张标有数字2。请200名学生根据任意抽得的卡上的标号对问题1或问题2用“是”或“否”回答（抽出的卡再放回），结果有60名回答为“是”，求该年级学生外语考试作弊的比例。

有n=200,p=0.75,m=60,用公式

??1m(p?1?). 2p?1n计算，得

??160(0.75?1?)?0.1

2?0.75?1200因此，估计作弊的人数比例为10%。

这一方法无法推算某一个人是否具有某种特性，只能估计总体中具有这种特性的人数比例。瓦纳证明，随机问答法在很多情形下均优于直接询问法。

4、模型的改进

瓦纳的随机问答法中所设计的两个问题都是与敏感特性直接有关

的，很有可能引起人们的戒备。有人对此方法作了改进，将第二个问题改为与敏感特性不相关的问题，其余的做法与上述随机问答法相同。

第二个问题可以是：你是冬季出生的吗？你的学生证号码末位是奇数码？你出生在长江以南？等等。这些问题都可使抽象为：你属于团体B。这些问题涉及的关键是，回答“是”的概率要么是已知的，要么是以前已作出过估计的，设它为?B

这样改进方法中的两个问题成为 问题1：你属于团体A； 问题2：你属于团体B。

仍设样本容量为n，卡中标有1的比例为p，m人回答“是”。

类似于随机问答法，有

m?p??(1?p)?B n从而 ??1m((p?1)?B?).p?0 pn例如，某高级中学要调查学生谈恋爱的比例。设计了一叠题号卡，其中75张标有1，25张标有2。调查100个学生，提以下两个问题

问题1：你谈过恋爱吗？

问题2：你学生证末位号码是偶数吗？

让被调查学生任意抽取1张卡（随即放回并不让调查者看到所标的数字）,对卡上的标号所对应的问题用“是”或“否”加以回答，有18人回答“是”，要估计该校学生谈过恋爱的人数比例。

显然n=100,p=0.75,m=18。学生证号码奇、偶各占一半，因此

?B=0.5。所以

??1m1((p?1)?B?)?(?0.25?0.5?0.18)?0.073 pn0.75基谈过恋爱的学生占7%略多一些。 例12假设检验方法在广告效果监测中的应用 一、案例背景

武汉市一家从事民营保健品生产的K公司在过去的几年中获得快速成长，其拳头产品在内地有着很高的知名度。该公司打算将其开发的一种新型药剂口服液推向全国。K公司打算投入50万元广告费用开拓沿海某地市场。沿海地区一家广告公司（简称M公司）得到信息后，主动联系K公司并宣称其在沿海地区有较强的实力并承诺：发布广告半年后，武汉K公司的这种新型口服液在当地的知晓率可以达到25%。K公司负责广告的经理经过实地考察，决定将该广告业务交给M公司。

双方经过协商达成如下协议：

K公司于当年11月11日先期支付30万元给M公司，M公司自12月1日开始广告宣传，半年后即翌年5月31日，由K公司联系并经M公司同意，邀请某中立调查咨询公司（简称N公司）进行广告效果检测，N公司要求监测费用为5万元。若监测结论支持M公司的承诺，即产品知晓率在当地达到25%，由K公司将剩余的20万元一次性支付给M公司，并支付N公司5万元监测费用。若调查结论不支持M公司的承诺，则M公司一次性支付K公司10万元违约金，

并支付N公司5万元的广告监测费用。

半年后，中立公司（N公司）从当地的目标客户群中随机不重复地抽取了一个样本容量为400人的样本进行调查。

接受调查的400人中，有88人对该种口服液知晓，详细资料见表1，表2、表3。

表1 样本的性别结构

性别结构 男 女 总计

表2 样本的年龄结构

年龄结构 老 中 青 总计

表3 样本的收入结构

收入结构 高 抽查人数 88 知晓人数 24 知晓率（%） 27．3 抽查人数 220 120 60 400 知晓人数 46 32 10 88 知晓率（%） 20．9 26．67 16．67 22 抽查人数 240 160 400 知晓人数 56 32 88 知晓率（%） 23．3 20．00 22

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