力学第三章答案 -

3.5.1 质量为2kg的质点的运动学方程为

???(3t2?3t?1)?， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向r?(6t2?1)ij（单位：米，秒）

大小。

??6???12?解：∵a?d2r/dt2?12ij, F?ma?24ij 为一与时间无关的恒矢量，∴

质点受恒力而运动。

F=(242+122)1/2=125N，力与x轴之间夹角为：

??????arctgFy/Fx?arctg0.5?26?34'

3.5.2 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：

???bsin?t?r?acos?tij，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。

??bsin?t?证明：∵a?d2r/dt2???2(acos?tij)???2r ???F?ma??m?2r, ∴作用于质点的合力总指向原点。

3.5.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？

解：以地为参考系，设谷物的质量为m，所受到的最大静摩擦力为 f??omg，谷物能获得的最大加速度为

???a?f/m??og?0.4?9.8?3.92m/s2 ∴筛面水平方向的加速度至少等于3.92米/秒2，

才能使谷物与筛面发生相对运动。

μ1 m 1

m μ2 2

F

3.5.3 题图 3.5.4题图

3.5.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m1 ,m2,如图所示，m2和桌面间的摩擦系数为μ2，m1和m2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。

解：以地为参考系，隔离m1、m2，其受力与运动情况如图所示，

y N1 N2 f2 f1' aa1 2 F x f1 N1'

m2g m1g

其中，N1'=N1,f1'=f1=μ1N1,f2=μ2N2，选图示坐标系o-xy，对m1,m2分别应用牛顿二定律，有

?1N1?m1a1F??1N1??2N2?m2a2a1??1gN1?m1g?0N2?N1?m2g?0 解方程组，得

a2??F??1m1g??2m1g??2m2g?/m2

要把木板从下面抽出来，必须满足a2?a1，即

F??1m1g??2m1g??2m2g?m2?1g?F???1??2??m1?m2?g

3.5.5 质量为m2的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为α,质量为m1的运动员与斜面之间亦无摩擦，求运动员相对于斜面的加速度及其对斜面的压力。

x' y 解：

m1 N2 N1 a2 x m2 a' f*=m1a2 α α y' α N1'=N1 α m2g m1g 以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系（非惯性系，设斜面相对地的加速度为a2），取m1为研究对象，其受力及运动情况如左图所示，其中N1为斜面对人的支撑力，f*为惯性力，a'即人对斜面的加速度，方向显然沿斜面向下，选如图所示的坐标系o'-x'y',应用牛顿第二定律建立方程：

?N1?m1gcos??m1a2sin??0?(1)?(2)?m1gsin??m1a2cos??m1a'?

再以地为参考系，取m2为研究对象，其受力及运动情况如右图所示，选图示坐标o-xy,

应用牛顿第二定律建立方程：

?(3)?N1sin??m2a2 （1）、（2）、（3）联立，即可求得：??N2?m2g?N1cos??0?(4)N1?m1m2cos?g2m2?m1sin?a'?(m1?m2)sin?g 2m2?m1sin?

3.5.6在图示的装置中两物体的质量各为m1,m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。

解：以地为参考系，N1 N2

m1 f2 f1 F 隔离m1,m2，受力及运动T f1 T F m2 N1 m1g 情况如图示，其中：f1=m2g a

a μN=μmg，f=μN=

1

1

2

2

μ(N1+m2g)=μ(m1+m2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：

T??m1g?m1a①F??m1g??(m1?m2)g?T?m2a②

①+②可求得：a?F?2?m1g??g

m1?m2m1(F?2?m1g)

m1?m2将a代入①中，可求得：T?

3.5.7在图示的装置中，物体A,B,C的质量各为m1,m2,m3，且两两不相等. 若物体A,B与桌面间的摩擦系数为μ，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。

解：以地为参考系，隔离A,B,C，受力及运动情况如图示，其中：f1=μN1=μm1g，f2=μN2=μm2g，T'=2T，由于A的位移加B的位移除2等于C的位移，所以（a1+a2）/2=a3.

对A,B,C分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律： f1

A B C N1

T m1g

a3 m3g T' T m2g N2

f2 a2

T??m1g?m1a1①T??m2g?m2a2②m3g?2T?m3(a1?a2)/2③①,②,③联立，可求得：

a1

??2m2m3(1??)a1?????g?(m1?m2)m3?4m1m2???2m1m3(1??)a2?????g

?(m1?m2)m3?4m1m2??(m1?m2)m3(1??)?a3?????g?(m1?m2)m3?4m1m2?3.5.8天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m1,m2的物

体（m1≠m2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。

解：隔离m1,m2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律：

m1 m2 T'?m1g?m1a①m2g?T'?m2a②T?2T' 由①②可求T T' T' a a

得：

m1g

m2g T' T' T'?2m1m2g2m1m2g ,T?m1?m2m1?m2Fmax F(N) 所以，天平右端的总重量应该等于T，天平才能保持平衡。

0 3.5.11棒球质量为0.14kg，用棒击棒球的力随时间的变化0.05 0.08 t(s) 如图所示，设棒球被击前后速度增量大小为70m/s，求力的最大值，打击时，不计重力。

解：由F—t图可知：

当0?t?0.05时，F?t0.05Fmax0.08?t0.03当0.05?t?0.08时，F?Fmax

0.05Fmax0.0500.08Fmax0.030.05[斜截式方程y=kx+b，两点式方程 (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)]

0.08由动量定理：m?v?可求得Fmax = 245N

?Fdt??0tdt??(0.08?t)dt

3.5.12 沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为2kg，t=0时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力大于重力时才启动）。

解：根据推力F-t图像，可知F=4.9t F(N) 98 （t≤20）,令F=mg，即4.9t=2×9.8，t=4s

因此，火箭发射可分为三个阶段：t=0—4s

t(s) 为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，v=0,y=0；t=4—20s

20 为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设t=20s时，y = y1，v = vmax ；

t≥20s 为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最大高度时的坐标 y=y2.

第二阶段的动力学方程为：F- mg = m dv/dt

Y dv?F/mdt?gdt?4.9/2tdt?9.8dtY2 vtt?0dv?4.9/2?4tdt?9.8?4dt?t?20? Y1 v?4.9/4t2?9.8t?4?4.9?t?20? vmax?v(20)?314m/s0 ?dy?vdt?(4.9/4t2?9.8t?4?4.9)dt ??01dy?4.9/4?4t2dt?9.8?4tdt?4?4.9?4dty1?1672m第三阶段运动学方程

y202020v?314?9.8(t?20)(1),y?y1?314(t?20)?4.9(t?20)2(2)

令v=0,由（1）求得达最大高度y2时所用时间（t-20）=32，代入（2）中，得y2-y1=5030 y2=ymax=5030+1672=6702(m)

3.5.13抛物线形弯管的表面光滑，沿铅直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y=ax2，a为正常数，小环套于弯管上。⑴弯管角速度多大，小环可在管上任一位置相对弯管静止？⑵若为圆形光滑弯管，情况如何？

解：以固定底座为参考系，设弯管的角速度为ω，小环受力及运y 动情况如图示：α为小环处切线与x轴夹角，压力N与切线垂直，

ω N 加速度大小a=ω2x，方向垂直指向y轴。

在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式：

a Ncos(90???)?Nsin??m?2x①

Nsin(90???)?Ncos??mg②①/②得：tgα=ω2x/g ③；由数学知识：tgα=dy/dx=2ax；

α x

mg 所以，2ax??2x/g,?2?2ag,??2ag

若弯管为半径为R的圆形，圆方程为：x2 + (R-y)2 = R2，即

(R?y)2?R2?x2,R?y?(R2?x2)1/2,y?R?(R2?x2)1/2tg??dy/dx??(R?x)122222?1/2?(?2x)?x/R?x222

代入③中，得：x/R?x??x/g,??g/R2?x2

x α N

3.5.14北京设有供实验用的高速列车环形铁路，回转半径为9km，将要建设的京沪列车时速250km/h，若在环路上作此项列车实验且欲使铁轨不受侧压力，外轨应比内轨高多少？设轨距1.435m.

解：以地为参考系，把车厢视为质点，受力及运动情况如图示：y 车厢速度v=250km/h=69.4m/s，加速度a=v2/R；设轨矩为l，外轨比内轨高h, 有cos??a mg l α h l2?h2/l,sin??h/l

选图示坐标o-xy，对车箱应用牛顿第二定律：

Ncos??Nl2?h2/l?mg①，Nsin??Nh/l?mv2/R② ①/②得：l2?h2/h?gR/v2，两边平方并整理，可求得h：

h?v2l/v4?g2R2?69.42?1.435/69.44?9.82?90002 ?0.0782m?7.8cm

3.5.15汽车质量为1.2×10kN，在半径为100m的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜15°，沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为s=0.5t3+20t (m)，自t=5s开始匀速运动，问公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？

解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示： v=ds/dt=1.5t2+20，v| t=5 =1.5×52+20=57.5m/s，an=v2/R=57.52/100=33 设摩擦力f方向指向外侧，取图示坐标o-xy，应用牛顿第二定律： x α Ncos??fsin??mgf N Ncos??mg?fsin?①α

Nsin??fcos??manan mg y Nsin??man?fcos?②α=15°

②/①得：tg??(man?fcos?)/(mg?fsin?)

mgtg??fsin?tg??man?fcos?,f?m(gtg??an)

cos??sin?tg??gtg??an?9.8tg15??33??30.43?0,?f?0，说明摩擦力方向与我们事先假设方

向相反，指向内侧。

?3.5.16速度选择器原理如图，在平行板电容器间有匀强电场E?E?j，又有与之垂直的???。现有带电粒子以速度v?进入场中，问具有何种速度的粒子方能保持匀强磁场B?Bk?vi沿x轴运动？此装置用于选出具有特定速度的粒子，并用量纲法则检验计算结果。

解：带电粒子在场中受两个力的作用：电场力F1=qE，方向向下；磁场力F2=qvB，方向向上 x 粒子若沿x轴匀速运动，据牛顿定律：× × × × + v B y × × qE?qvB?0,?v?E/B?1× × E F2=qvB

ENA?1T?1?1dimv?MT,dim??MT ?1?1BNAMF1=qE

3.5.17带电粒子束经狭缝S1,S2之选择，然后进入速度选择器（习题3.5.16），其中电场强度和磁感应强度各为E和B. 具有“合格”速度的粒子再进入与速度垂直的磁场B0中，并开始做圆周运动，经半周后打在荧光屏上.试证明粒子质量为：m=qBB0r/E，r和q分别表示轨道半径和粒子电荷。

解：由3.5.16题可知，通过速度选择器的粒子的速度是v=E/B，该粒子在B0磁场中受

B 到洛仑兹力的作用做匀速圆周运动，其向心加速度为

● ● ● v ● ● an=v2/r，由牛顿第二定律：

B0 ● ● ● s ● ●

qvB0?mv2/rssE 1 2

m?qB0r/v?qrB0B/E● r ●

● ●

3.5.18某公司欲开设太空旅馆。其设计为用32m长的绳联结质量相等的两客舱，问两客舱围绕两舱中点转动的角速度多大，可使客舱感到和在地面上那样受重力作用，而没有“失重”的感觉。 解：mg?m?2r,??

3.5.20 圆柱A重500N，半径RA=0.30m，圆柱B重1000N,半径RB=0.50m，都放置在宽度L=1.20m的槽内，各接触点都是光滑的，求A、B间的压力及A、B柱与槽壁和槽底间的压力。 NAB A NA y

A α AB=RA+RB=0.8 NB' α B α

o x C mAg NB NBA B

α CB=L-RA-RB=0.4

L mBg

解：隔离A、B,其受力情况如图所示，选图示坐标，运用质点平衡方程，有

g/r?9.8/16?0.78rad/s

(!)?NA?NABsin??0(3)?NABsin??NB?0??N'?mg?Ncos??0(2)??mAg?0(4)BAB?B?NABcos 通过对△ABC的

分析，可知，sinα=0.4/0.8=0.5 ∴α=30o, cosα=3/2,分别代入（1）、（2）、（3）、（4）中，即可求得：

NB = 288.5 N , NB'= 1500 N , NA = 288.5 N , NAB = 577 N.

3.5.21图表示哺乳动物的下颌骨，假如肌肉提供的力F1和F2均与水平方向成45°，食物作用于牙齿的力为F，假设F,F1和F2共点，求F1和F2的关系以及与F的关系。

解：建立图示坐标o-xy，应用共点力平衡条件：y F1 α ?Fx?0,?Fy?0

x F2 x方向，F1cosα-F2cosα=0, F1= F2

α y方向，F1sinα+F2sinα- F=0， F F?2F1sin??2sin45?F1?2F1

3.5.22四根等长且不可伸长的轻绳端点悬于水平面正方形的四个顶点处，另一端固结于一处悬挂重物，重量为W，线与铅垂线夹角为α，求各线内张力。若四根线均不等长，知诸线之方向余弦，能算出线内张力吗？

解：设四根绳子的张力为T1，T2，T3，T4，由于对称，显然，T1=T2=T3=T4=T；设结点下边的拉力为F，显然F=W. 在竖直方向上对结点应用平衡条件：

4Tcosα-W=0，T=W/(4cosα)

若四根线均不等长，则T1≠T2≠T3≠T4，由于有四个未知量，因此，即

使知道各角的方向余弦，也无法求解，此类问题在力学中称为静不定问题。

3.6.1 小车以匀加速度a沿倾角为α的斜面向下运动，摆锤相对θ 小车保持静止，求悬线与竖直方向的夹角（分别自惯性系和非惯性系求解）。

α 解：（1）以地为参考系（惯性系），小球受重力W和线拉力T

的作用，加速度a沿斜面向下，建立图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律：

?Tsin??macos? ?mg?Tcos??masin??解得 tg??acos?/(g?asin?)

T x θ f*=ma α a W=mg y （2）以小车为参考系（非惯性系），小球除受重力W、拉力T外，还受惯性力f*的作

用(见上图虚线表示的矢量)，小球在三个力作用下静止，据牛顿第二定律：

?Tsin??macos??0acos?tg?? 解得 ?g?asin?mg?Tcos??masin??0?

3.6.2 升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为m1,m2且m1≠m2,若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度a（方向向下）运动时，两物体的加速度各是多少？绳内的张力是多少？

解：以升降机为参考系,隔离m1,m2,受力及运动情况如图示,T为绳中张力，f1*=m1a,f2*=m2a, a1'=a2'=a'为m1、m2相对升降机的加速度.

以向下为正方向，由牛顿二定律，有：

(m1?m2)a?(m2?m1)g?a'??m1g?T?m1a??m1a'?m1?m2解得：? ??m2g?T?m2a?m2a'?T?2mm(g?a)/(m?m)1212?设m1、m2的加速度分别为a1、a2，根据相对运动的加速度公式，

??????a1?a1'?aa2?a2'?a 写成标量式：a1??a'?a,a2?a'?a，将a’代入，求得：

2m2a?(m2?m1)g?a??1m1?m2? ??a?2m1a?(m2?m1)g2?m1?m2)?3.6.3图示为柳比莫夫摆，框架上悬挂小球，将摆移开平衡位置而后放手，小球随即摆动起来。⑴当小球摆至最高位置时，释放框架使它沿轨道自由下落，如图a，问框架自由下落时，摆锤相对于框架如何运动？⑵当小球摆至平衡位置时，释放框架，如图b，小球相对框架如何运动？小球质量比框架小得多。

解：以框架为参考系，小球在两种情况下的受力如图所示：设小球质量为m, 框架相对地自由落体的加速度为g，因此小球所受的惯性力f*=mg，方向向上，小球所受重力W=mg. 在两种情况下，对小球分别应用牛顿第二定律：

a b ⑴小球摆至最高位置时释放框架,小球相对框架速度v=0，

? n所以法向加速度an=v2/l=0（l为摆长）；由于切向合力Fτ=Wsinn? f* T θ-f*sinθ=0，所以切向加速度aτ=0. 小球相对框架的速度为

f* T 零，加速度为零，因此小球相对框架静止。 ??

θ ⑵小球摆至平衡位置时释放框架，小球相对框架的速度不?? W W

为零，法向加速度an=v2/l≠0，T=man ；在切向方向小球不受

外力作用，所以切向加速度aτ=0，因此，小球速度的大小不变，即小球在拉力T的作用下相对框架做匀速圆周运动。

3.6.4摩托车选手在竖直放置圆筒壁内在水平面内旋转。筒内壁半径为3.0m，轮胎与壁面静摩擦系数为0.6，求摩托车最小线速度（取非惯性系做）

解：设摩托车在水平面内旋转的最小角速度为ω，以摩托车

f=μ0N 本身为参考系，车受力情况如图示，运动状态静止。

N f*=mω2r

在竖直方向应用平衡条件，μ0N = mg ① mg 2

在水平方向应用平衡条件，N = mωr ②

①/②得：?0?g?r2,??g?0r

最小线速度 v??r?rg/?0?3.0?9.8/0.6?7m/s

3.6.5一杂技演员令雨伞绕铅直轴转动，一小圆盘在雨伞上滚动但相对地面在原地转动，即盘中心不动。⑴小盘相对于雨伞如何运动？⑵以伞为参考系，小盘受力如何？若保持牛顿第二定律形式不变，应如何解释小盘的运动？

解：⑴可把小盘当作质点，小盘相对雨伞做匀速圆周运动，与伞相对地的转向相反。

f0 N ⑵以伞为参考系，小盘质点受5个力的作用：向下的重力

fC* fK* W，与扇面垂直的支持力N，沿伞面向上的静摩擦力f0，此外

还有离心惯性力fC*和科氏惯性力fk*，方向如图所示。把这些

W 力都考虑进去，即可保持牛顿第二定律的形式不变，小盘正是ω 在这些力的作用下相对伞做匀速圆周运动。

3.6.6设在北纬60°自南向北发射一弹道导弹，其速率为400m/s，打击6.0km远的目标，问该弹受地球自转影响否？如受影响，偏离目标多少（自己找其它所需数据）?

解：以地球为参考系，导弹除受重力作用外，还要受离心惯性力和

ω 科氏惯性力的作用。离心惯性力的方向在速度与重力加速度平面内，不

会使导弹前进方位偏离，而科氏惯性力的方向垂直速度、重力加速度平v fk* × 面（指向纸面），要使导弹偏离前进方向。 f* C60° 由于导弹速度较大，目标又不是很远，可近似认为导弹做匀速直线运动，导弹击中目标所需时间t=6000/400=15s，在此时间内导弹在科氏惯性力作用下偏离目标的距离：

121fk*212mv?sin60?2at??t??t?v?sin60?t222m2m

2?3?400???152?5.7m24?60?602S?

???2?3.7.1就下面两种受力情况：⑴F?2ti， j（N,s）??(1?t)?⑵F?2tij（N,s）分别求出t=0,1/4,1/2,3/4,1时的力并用

图表示；再求t=0至t=1时间内的冲量，也用图表示。

?y F(0) F(1/4) F(1/2) F(3/4) F(1) 2 1 ???2?解：⑴F?2tij,代入t值得：

???11????? F(0)?2j,F(4)?2i?2j,F(12)?i?2j??33????2?F(4)?2i?2j,F(1)?2ij

????tdt?2???2?I??Fdt?2ij?dt?ij

111000x 0 1 2 y 2 1 I α 0 1 2 x I?12?22?5Ns,与x轴夹角

α= arctgIy/Ix = arctg2 = 63.5°

y 1 F(0) F(1/4) F(1/2) F(3/4) F(1) ???(1?t)?⑵ F?2tij,代入t值得：

???3?11???1? F(0)?j,F(4)?2i?4j,F(12)?i?2j??33?1?? F(4)?2i?4j,F(1)?2i111?1??????1? I??Fdt?2i?tdt?j?dt?j?tdt?i2j00000 1 2 x y 2 1 I?12?0.52?5/2Ns,与x轴夹角

α= arctgIy/Ix = arctg0.5 = 26.5°

0

3.7.2一质量为m的质点在o-xy平面上运动，其位置矢量为：

α 1 I 2 x

???bsin?t?r?acos?tij，求质点的动量。

???bcos?t?解：质点速度：v?dr/dt???asin?tij ??m?bcos质点动量：p?mv??m?asin?ti?t?j

大小：p?????px?py?m?a2sin2?t?b2cos2?t

22方向：与x轴夹角为θ，tgθ= py/px = - ctgωt·b/a

3.7.3自动步枪连发时每分钟可射出120发子弹，每颗子弹质量为7.9g，出口速率为735m/s，求射击时所需的平均力。

解：枪射出每法子弹所需时间：Δt=60/120=0.5s，对子弹应用动量定理：

F?t??p,F??p/?t?mv/?t?7.9?10?3?735/0.5?11.6N

3.7.4 棒球质量为0.14kg,棒球沿水平方向以速率50m/s投来，经棒击球后，球沿水平成30o飞出，速率为80m/s，球与棒接触时间为0.02s，求棒击球的平均力。 v

解：以地为参考系，把球视为质点， 30o v0 ???由动量定理，F?t?mv?mv0，画出矢

量图，由余弦定理，代入数据，可求得F=881N.F?t?(m2v2?m2v0?2m2v0vcos30?)1/2，由正弦定理 mv FΔt

mv/sin??F?t/sin30?，代入数据， 30o α 2,??18?32' mv0 求得sin??0.3179

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