初二数学上册第二章实数

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1 / 8 第二章：实数

本章的知识网络结构：

知识梳理

一．数的开方主要知识点：

【1】平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此：

4.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；

5.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

6.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

例1.

（1）的平方是64，所以64的平方根是；

（2）的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x=16

（4）当x 时，x 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？

【算术平方根】：

（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，

读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成

了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具

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2 / 8 有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例2.（1）下列说法正确的是（）

A ．1的立方根是1±；

B ．24±=；（

C ）、81的平方根是3±；（

D ）、0没有平方根；

（2）下列各式正确的是（）

A 、981±=

B 、14.314.3-=-ππ

C 、3927-=-

D 、235=-

（3）2)3(-的算术平方根是。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

（6）已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根。求A －B 的平方根。

（7）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值.

【立方根】

（1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。记做：3a ，读作，3次根

号a 。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有

平方根，只有非负数才能有平方根。

例3.（1）64的立方根是

（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（）A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000

（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。

其中正确的有（）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

【无理数】

（1）无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，

无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π

（2）有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不

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3 / 8 循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例 4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3

2-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）

（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个

A 2

B 3

C 4

D 5

【实数】

（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的

实数是0，最大的负整数是-1。

（2）实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1（a≠0）；实数a 的绝对值|a|=???<-≥)

0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

（3）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0

大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

（4）实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运

算顺序与有理数的一致。

例5.

（1）下列说法正确的是（）；

A 、任何有理数均可用分数形式表示；

B 、数轴上的点与有理数一一对应；

C 、1和2之间的无理数只有2；

D 、不带根号的数都是有理数。

（2）a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )

A 、b a -

B 、ab

C 、b a +

D 、a b -

（3）比较大小(填“>”或“<”).

3-320，76______67，215-2

1， （4

）数2,3--的大小关系是 (

)

a b

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A. 32<-<-

B. 32-<<-

C. 23-<<-

D.

32-<-<（5）将下列各数：51,3,8,23---，用“＜”连接起来；______________________________________。

（6）若2,3==b a ，且0<ab ，则：b a -=。

（7）计算：

3227

8115.041--+323811613125.0??? ??-+- （8）已知：()()064.01,121732-=+=-y x ，求代数式3245102y y x x ++--的值。

6.（提高题）观察下列等式：回答问题： ①2111111112111122=+-+=++②6111212113

121122=+-+=++ ③12111313114131122=+-+=++

，…… （1）根据上面三个等式的信息，请猜想225

1411++的结果； （2）请按照上式反应的规律，试写出用n 表示的等式，并加以验证。

课后练习

重点考查题型：

一、考查题型：

1．－1的相反数的倒数是

2．已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数（a+b ）的相反数

3．数－3．14与－Л的大小关系是

4．和数轴上的点成一一对应关系的是

5．和数轴上表示数－3的点A 距离等于2．5的B 所表示的数是

6．在实数中Л,－25 ,0, 3 ,－3．14, 4 无理数有（ ）

（A ）1 个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ）

（A ）非负数 （B ）非正数 （C ）负数 （D ）正数

8．若x ＜－3，则｜x ＋3｜等于（ ）

（A ）x ＋3 （B ）－x －3 （C ）－x ＋3 （D ）x －3

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