高二数学人教A版选修4-5教案：3.1二维形式的柯西不等式 Word版含

3.1二维形式的柯西不等式

一、教学目标

1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点

认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．四、教学难点

通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．五、教学过程 （一）导入新课 复习基本不等式。 （二）讲授新课

教材整理 二维形式的柯西不等式 内容 代数形式 等号成立的条件 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥ 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β| 当且仅当 时，等号成立 [来源学科网Z,X,X,K][来源学§科§网Z§X§X§K]

向量形式 当且仅当 ，或，等号成立 设x1，y1，x2，y2∈R，那么三角形式 222x21＋y1＋x2＋y2≥ 当且仅当时，等号成立 （三）重难点精讲

题型一、二维柯西不等式的向量形式及应

例1已知p，q均为正数，且p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.

【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量． 1133

22

【自主解答】 设m＝p2，q2，n＝(p，q)，则

31312222

p2＋q2＝pp＋qq＝|m·n|≤|m||n| ＝p3＋q3·p＋q＝2p＋q. 又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，

(p?q)222∴≤p＋q≤2p＋q，

2(p?q)2∴≤2·p＋q，则(p＋q)4≤8(p＋q)．

2又p＋q>0，

∴(p＋q)3≤8，故p＋q≤2. 规律总结：

使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝x2＋y2对数学式子变形的影响．

[再练一题]

1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立？ 【解】 设m＝(p，q)，n＝(1,1)，

则p＋q＝p·1＋q·1＝|m·n|≤|m|·|n|＝p2＋q2·12＋12. 又p2＋q2＝2. ∴p＋q≤2·2＝2. 故仍有结论p＋q≤2成立.

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题型二、运用柯西不等式求最值

例2 若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．

【精彩点拨】 由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12

＋12)作为一个因式而解决问题．

【自主解答】 由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1. 1∴4x2＋9y2≥，

2当且仅当2x×1＝3y×1， 11

即x＝，y＝时取等号．

461∴4x2＋9y2的最小值为. 2规律总结：

1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．

2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．

[再练一题]

[来源学&科&网]

2．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.

【解】 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4. 4

所以x2＋y2≥，

25

3x＋4y＝2，??xy

当且仅当＝时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组?xy

34

??3＝4，

?

∴?8

y＝?25.6x＝，25

68684

，?. 因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为??2525?252525题型三、二维柯西不等式代数形式的应用 例3已知|3x＋4y|＝5，求证：x2＋y2≥1.

【精彩点拨】 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明． ?3x＋4y?2

【自主解答】 由柯西不等式可知(x＋y)(3＋4)≥(3x＋4y)，所以(x＋y)≥2. 3＋422

2

2

2

2

2

2

又因为|3x＋4y|＝5， ?3x＋4y?2

所以2＝1，

3＋42即x2＋y2≥1. 规律总结：

1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．

2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．

[再练一题]

a2b2

3．设a，b∈R＋且a＋b＝2.求证：＋≥2.

2－a2－b【证明】 根据柯西不等式，有

ab?a?＋?b?

[(2－a)＋(2－b)]?2－a＋2－b?＝[(2－a)2＋(2－b)2]???????2－a??2－b?

2

ab??2－a·＋2－b·≥?＝(a＋b)2＝4. ?2－a2－b??

2

2

22

a2b24∴＋≥＝2，2－a2－b?2－a?＋?2－b?当且仅当2－a·[来源学科网ZXXK]

ba

＝2－b·， 2－b2－a

即a＝b＝1时等号成立． a2b2

∴＋≥2. 2－a2－b（四）归纳小结

?

—向量形式?二维柯西不等式—

?—三角形式

?—柯西不等式求最值

—代数形式

（五）随堂检测

1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为( ) A.13 B．169 C．13 D.0 【解析】 (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. 【答案】 C

2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(4a＋1＋4b＋1)2的最大值是( ) A．26 B.6 C．6 D.12 【解析】 (4a＋1＋4b＋1)2 ＝(1×4a＋1＋1×4b＋1)2

≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12， 当且仅当4b＋1＝4a＋1， 1

即a＝b＝时等号成立．故选D.

2【答案】 D

3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝________. 【解析】 |a|＝4+（-3）＝5，且 |b|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|，

因此，b与a共线，且方向相同，

22

43，－?. ∴b＝?5??543

，－? 【答案】 ?5??5六、板书设计

3.1二维形式的柯西不等式 教材整理 二维形式的柯西不等式 七、作业布置

同步练习：3.1二维形式的柯西不等式 八、教学反思

例1： 例2： 例3： 学生板演练习

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