定点、定值、探索性问题

定点、定值、探索性问题 考点一 定点问题 x2y2[典例] (2014·扬州期末)如图，已知椭圆E1的方程为2＋2＝1(a>b>0)，圆E2的方程为

abx2＋y2＝a2，斜率为k1的直线l1过椭圆E1的左顶点A，且直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于点B，C.

(1)若k1＝1，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E1的离心率e；

1

(2)若椭圆E1的离心率e＝，F2为椭圆的右焦点，当BA＋BF2＝2a时，求k1的值；

2k1b2

(3)设D为圆E2上不同于点A的一点，直线AD的斜率为k2，当＝2时，试问直线BD

k2a是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

[解] (1)当k1＝1时，点C在y轴上，且C(0，a)， aa－，?. 则B??22?由点B在椭圆上得

?－a?2?a?2

?2??2?

a2＋b2＝1，

b212c2b226所以2＝，e＝2＝1－2＝，所以e＝.

a3aa33

(2)设椭圆的左焦点为F1，由椭圆定义知BF1＋BF2＝2a，所以BF1＝BA，则点B在线段AF1的中垂线上，

a＋c所以xB＝－.

2

c113又e＝＝，所以c＝a，b＝a，

a222

3a721所以xB＝－，代入椭圆方程得yB＝±b＝±a，

448yB21

所以k1＝＝±. 2xB＋a

xy?

(3)法一：由?y＝k1?x＋a?，a2＋b2＝1消去y得

?

2

x2－a2k21?x＋a?

＋＝0， a2b22

2

2

a?b2－k21a?

所以x＝－a或x＝222.

b＋ak1

2

a?b2－k21a?

因为xB≠－a，所以xB＝222，

b＋ak1

2ab2k1

则yB＝k1(xB＋a)＝222.

b＋ak1

?y＝k2?x＋a?，?2由?222消去y得x2－a2＋k22(x＋a)＝0， ??x＋y＝a

a?1－k22?解得x＝－a或x＝2. 1＋k2a?1－k22ak22?同理xD＝. 2，yD＝1＋k21＋k22

b42

a?b－2·k?

a2a?a2－b2k2k1b22?

当＝2时，xB＝＝222， 4k2ab2a＋bk2

b2＋2·k2

a

2

2ab2k2yB＝2，

a＋b2k22

2ab2k22ak2222－2a＋bk21＋k21

则kBD＝2＝－，所以BD⊥AD. 2k2a?a－b2k22?a?1－k2?

－a2＋b2k21＋k222

因为E2为圆，所以∠ADB所对圆E2的弦为直径，从而直线BD过定点(a,0)． 法二：直线BD过定点(a,0)． 证明如下：

x2y2BB设P(a,0)，B(xB，yB)，则2＋2＝1(a>b>0)，

ab

2

a2a2yByBa2y2a2?b?B所以kADkPB＝2·kk＝··＝·2＝2·－2＝－1， b1PBb2xB＋axB－ab2x2b?a?B－a

所以PB⊥AD.

又PD⊥AD，所以P，B，D三点共线，即直线BD过定点P(a,0)．

[备课札记] [类题通法]

1．求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的

点就是直线或曲线所过的定点．

2．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．

[针对训练]

x2y23

(2014·苏北四市摸底)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(0,1)．

ab2(1)求椭圆的方程；

(2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN恒过定点3

0，－?. P?5??

c3

解：(1)由题意知，e＝＝，b＝1，所以a2－c2＝1，解得a＝2，所以椭圆C的标准

a2x22

方程为＋y＝1.

4

(2)设直线AM的方程为y＝kx＋1. x?2

联立方程组?y＝kx＋1，4＋y＝1

?得(4k2＋1)x2＋8kx＝0， 8k

解得x1＝－2，x2＝0，

4k＋11－4k28k

所以xM＝－2，yM＝2.

4k＋14k＋1k2－48k

同理可得xN＝2，yN＝2. k＋4k＋41－4k238k28＋4k2＋15－5＋5k2－1

则kMP＝＝＝，

8k5k－8k－24k＋1k2－438k28

＋k2＋455－5k2－1kNP＝＝＝，

8k8k5kk2＋4

30，－?. 所以kMP＝kNP，故直线MN恒过定点P?5??

考点二 定值问题 2

[典例] (2013·常州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝1与x轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为x＝m.记以AB为直径的圆为圆C.记以点F为右焦点，短半轴长为b(b>0，b为常数)的椭圆为D.

(1)求圆C和椭圆D的标准方程；

(2)当b＝1时，求证：椭圆D上的任意一点都不在圆C的内部；

(3)已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P，Q两点(点P 在x轴上方)，点P关于x轴的对称点为N，设直线QN交x轴于

?????????OL是否为定值，并证明你的结论． 点L，试判断OM·

[解] (1)由题意知F(1,0)，圆心C(m,0)(－1

椭圆D的标准方程为2＋2＝1.

b＋1b

x22

(2)证明：当b＝1时，椭圆D的方程为＋y＝1.

2设椭圆D上任意一点S(x0，y0)，

2x0x2022

则＋y0＝1，解得y0＝1－. 22

因为SC＝(x0－m)

22

x20122

＋y0＝(x0－m)＋1－＝(x0－2m)2＋1－m2≥1－m2＝r2，所以SC≥r.

2

2

所以椭圆D上的任意一点都不在圆C的内部．

?????????OL＝b2＋1为定值． (3) OM·证明如下：

设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由题意，得 N(x1，－y1)，x1≠x2，y1≠±y2. 所以直线PQ的方程为

(y2－y1)x－(x2－x1)y＋x2y1－x1y2＝0. x1y2－x2y1

令y＝0，得xM＝.

y2－y1又直线QN的方程为

(y2＋y1)x－(x2－x1)y－x1y2－x2y1＝0. x2y1＋x1y2

令y＝0，得xL＝.

y2＋y1因为点P，Q在椭圆D上， x2y2x2y21122所以2＋2＝1，2＋2＝1，

b＋1bb＋1b所以

b2＋1222b2＋1222

x1＝b＋1－2y1，x2＝b＋1－2y2，

b

b

x1y2－x2y1x2y1＋x1y2

故xM·xL＝· y2－y1y2＋y1

＝

12?2?2b＋12?2?b2＋1－b＋yy2y1y2－b＋1－bb22?1???

2y2－y21

22

2

?b2＋1??y22－y1?＝＝b2＋1. 22y2－y1?????????OL＝xM·所以OM·xL＝b2＋1为定值．

[备课札记] [类题通法]

1．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．

2．求定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． [针对训练]

在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．

(1)求曲线C1的方程；

(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

解：(1)法一：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝?x－5?2＋y2－3.易知曲线C1上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2>0，所以?x－5?2＋y2＝x＋5.

化简得曲线C1的方程为y2＝20x.

法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．

因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线． 故其方程为y2＝20x.

(2)当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±2，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0，

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