2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学(文史类)

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2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（文史类）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的. 1．直线x y 2=关于x 轴对称的直线方程为

（ ）

A ．x y 2

1-

= B ．x y 2

1=

C ．x y 2-=

D ．x y 2= 2．已知==

-∈x tg x x 2,54

cos ),0,2

(则π

（ ）

A ．

24

7 B ．－24

7

C ．

7

24 D ．－7

24 3．抛物线2

ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为

（ ）

A ．

8

1 B ．－

81 C ．8 D ．－8 4．等差数列{a n }中，已知为则n a a a a n ,33,4,3

1

521==+=

（ ）

A ．48

B ．49

C ．50

D ．51

5．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠ F 1MF 2=120°则双曲线的离心率为 （ ）

A ．3

B ．

2

6

C ．

3

6 D ．

3

3 6．设函数0021

,1)(0

,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>???

??>≤-=-的取值范围是 （ ）

A ．（－1，1）

B ．（—1，+∞）

C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）

D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 7．已知==)2(,lg )(5

f x x f 则

（ ）

A ．2lg

B ．32lg

C ．32

1

lg

D ．2lg 5

1 8．函数R x y 是)0)(sin(π??≤≤+=上的偶函数，则?= （ ）

A ．0

B ．

4

π C ．

2

π D ．π

9．已知点03:)0)(2,(=+->y x l a a 到直线的距离为1，则a =

（ ）

第 2 页 共 11 页 A ．2 B ．－2 C ．12- D ．12+

10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为

43R ，该圆柱的全面积为

（ ） A ．22R π B ．249

R π C ．238

R π D ．225

R π

11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）一质点从AB 的中点P 0沿与

AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.若P 4与P 0重合，则tg θ= （ ）

A ．31

B ．52

C ．21

D ．1

12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

A ．π3

B ．4π

C ．π33

D ．π6

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

13．不等式x x x <-24的解集是 .

14．992)21(x x

x 展开式中-的系数是 . 15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”

拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正

确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 .”

16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地

图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，

现有4种颜色可供选择，则不同的着色方

法共有 种.（以数字作答）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点.

（I ）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；

（II ）求点D 1到面BDE 的距离.

18．（本小题满分12分）

已知复数z的辐角为60°，且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中项，求|z|.

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19．（本小题满分12分）

已知数列|n a |满足)2(3,11121≥+==--n a a a n n （I ）求;,32a a

（II ）证明2

13-=n n a

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20．（本小题满分12分）

已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=.

（I ）函数数)(x f 的最小正周期和最大值;

（II ）在给出的直角坐标系中，画出函数]2,2[)(ππ-=在区间x f y 上的图象.

第

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21．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南

)10

2(cos =θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

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22．（本小题满分14分）

已知常数,0>a 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且,DA

DC CD CF BC BE ==P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

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数学（文史类）参考答案

一、

1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 二、13．]4,2( 14．2

21- 15．2222BCD ADB ACD ABC S S S S ????=++ 16．72 三、

17．（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，

∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=

21D 1D 又EC=2

1CC 1，且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1

又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1

∵BD 1?面DBD 1，

∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线

（II ）解：连结ED 1，有V

由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的距离为d ，

则S △DBC ·d=S △DCD 1·EF.

∵AA 1=2·AB=1.

2

2,2====∴EF ED BE BD 2

3)2(2321,2222121=??==??=∴??DBC DBD S S 故点D 1到平面BDE 的距离为

332. 18．解：设z=2),60sin 60(cos r z i r 的实邻为则复数οο+

2,r z z r z z ==+∴ 由题设|2||||1|2-?=-z z z

即||)1)(1(=--z z 42122+-=+-r r r r r

12120122--=-==-+r r r r 解得（舍去）

即|z|=12-

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（I ）解∵1343,413,12321=+==+=∴=a a a

（II ）证明：由已知故,311--=-n n n a a

112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ =.2

13133321-=++++--n n n Λ 所以2

13-=n n a 20．解（I ）x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=

)42sin(21)4sin 2cos 4cos

2(sin 21πππ-+=-?+=x x x 所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知

x 8

3π- 8π- 8π 83π 85π y 1 21-

1 21+ 1 故函数)(x f y =在区间]2

,2[-上的图象是

21．解：如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向. 在时刻：t （h ）台风中心),(y x P 的坐标为

第 10 页 共 11 页 ???

?????+?-=?-?=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是222)]([)()(t r y y x x ≤-+-，

其中10)(=t r t+60，

若在t 时，该城市O 受到台风的侵袭，则有

,)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即,)6010()22201027300()2220102300(222+≤?+?-+?-?

t t t 即0288362≤+-t t ， 解得2412≤≤t .

答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭

22．解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得

点P 到定点距离的和为定值.

按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ） 设)10(≤≤===k k DA

DC CD CF BC BE ， 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）.

直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ， ①

直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a . ②

从①，②消去参数k ，得点P （x ，y ）坐标满足方程0222

22=-+ay y x a ， 整理得1)(2

12

2

2=-+a a y x . 当2

12

=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长. 当2

12

>a 时，点P 到椭圆两个焦点)21021,0(22-+--a a a a ，），（的距离之 和为定值a 2.

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