2012-2013学年度第一学期期末考试浦东高三数学试卷（理科）

浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试

高三数学试卷（理科） 2013.1

注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．若集合A?{0,m}，B?{0,2}，A?B?{0,1,2}，则实数m? . ?a1x?b1y?c1?12．已知二元一次方程组?的增广矩阵是??1??a2x?b2y?c2?111??，则此方程组的解是 . 3??3．函数y?log2(x?2)的定义域为 . 4．已知x,y?R，且x?4y?1，则x?y的最大值为 . 5．函数y?1?x（x?0）的反函数是 .

6．函数f(x)?2sin????????x?sin??x?的最小正周期为 . ?4??4?7．等差数列?an?中，a6?a7?a8?12，则该数列的前13项和S13? . 8．已知数列?an?是无穷等比数列，其前n项和是Sn，若a2?a3?2，a3?a4?1，则milSn

n??的值为 .

9．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 cm.

1?10．二项式?的展开式前三项系数成等差数列，则n? . x???2x??n211．已知甲射手射中目标的频率为0.9，乙射手射中目标的频率为0.8，如果甲乙两射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的频率为 .

???????????12．已知向量a与向量b，a?2，b?3，a、b的夹角为60，当1?m?2,0?n?2时，??ma?nb的最大值为 .

— 1 —

13．动点P在边长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的对角线BD1上从B向D1移动，点P作垂直于面BB1D1D的直线与正方体表面交于M,N，BP?x,MN?y，则函数y?f(x)的解析式为 .

14．1,2,?,n共有n!种排列a1,a2,?,an（n?2,n?N?），其中满足“对所有k?1,2,?,n都有ak?k?2”的不同排列有 种.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15．已知△ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b，则“A?B”是“acosA?bcosB ” 的 （ ）

(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件

16．已知函数f(x)?(A)?1214?2x，若函数y?f(x?m)?14为奇函数，则实数m为

12 (B) 0 (C) (D) 1

?)17． 若x1，x2，x3,?，x2013的方差为3，则3(x123(x2?2)，3(x3?2),?，3(x2013?2)，

的方差为 （ ）

(A)3 (B)9 (C)18 (D)27

????????????18．定义域为?a,b?的函数y?f(x)图象的两个端点为A,B，向量ON??OA?(1??)OB，

M(x,y)是f(x)图象上任意一点，其中x??a?(1??)b,???0,1?. 若不等式MN?k恒成立，则称函数f(x)在?a,b?上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数

的线性近似阀值．下列定义在?1,2?上函数中，线性近似阀值最小的是 （ ）

(A)y?x (B)y?22x?1 (C)y?sinx (D)y?x?

3x

— 2 —

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC?AA1?2,?ABC?45?.

A1（1）求点A到平面A1BC的距离； （2）求二面角A?A1C?B的大小.

BAB1c1C20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形

ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知?ACB?60且|AC|?30米，AM=x，x?[10,20].

B（1）试用x表示S，并求S的取值范围；

?（2）设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为

37kS，再把矩形

AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为

12kS（k为正

NP常数），求总造价T关于S的函数T?f(S)；试问如何选取|AM|的长使总造价T最低（不要求求出最低造价）.

21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

??已知复数z1?2sin??3i,z2?1?(2cos?)i，??[,].

32AMC（1）若z1?z2为实数，求角?的值；

??????（2）若复数z1,z2对应的向量分别是a,b，存在?使等式(?a?b)?(a??b)?0成立，

求实数?的取值范围.

— 3 —

22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

定义数列{xn}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有(xn?1?p)(xn?p)?0成立，那么我们称数列{xn}为“p?摆动数列”．

（1）设an?2n?1，bn?qn（?1?q?0），n?N?，判断数列{an}、{bn}是否为“p?摆动数列”，并说明理由；

（2）已知“p?摆动数列”{cn}满足cn?1?1cn?1，c1?1，求常数p的值；

（3）设dn?(?1)n?(2n?1)，且数列{dn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn}是“p?摆动数列”，并求出常数p的取值范围.

23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）

1?2x,0?x???2设函数T(x)??

1?2(1?x),?x?1??2????x)?和y?sin?T(x)?的解析式； 2?2???（2）是否存在非负实数a，使得aT(x)?T(ax)恒成立，若存在，求出a的值；若不存

（1）求定义在?0,1?上的两个函数y?T?sin(??在，请说明理由；

（3）定义Tn?1(x)?Tn(T(x))，且T1(x)?T(x) ?n?N?? ① 当x??0,??1?时，求y?Tn(x)的解析式； n?2?已知下面正确的命题： 当x??i?i?1i?1??nT(x)?T(?x)恒成立. (i?N，1?i?2?1)时，都有,nnn-1nn?22??2② 对于给定的正整数m，若方程Tm(x)?kx恰有2m个不同的实数根，确定k的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列?xn??1?n?2m?，求数列?xn?所有2m项的和.

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浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试

高三数学试卷（理科） 2013.1

注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．1； 2．??x?2?y?1； 3．[3,??)； 4．

163116； 5．y?(x?1)2（x?1）；

6．?； 7．52； 8．； 9．8?； 10．8； 11．0.98；

??263?x,x?0,???32???12．219； 13．y??； 14．2?3n?2.

?3?26?22?x,x?,3????23???

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项

是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15．A； 16．C； 17．D； 18．D．

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 解：（1）?AB?AC?2,?ABC?45,??BAC?90，

?VA1?ABC?43??A1c1.

B1?A1B?BC?A1C?22,?S?A1BC?23. …3分

设点A到平面距离为h， 由

13h?S?A1BC?VA1?ABC,?h?233AC.

B?点A到平面距离为

233. ……………………………………………………6分

— 5 —

（2）设A1C的中点为M，连结BM,AM.

?BA1?BC,AA1?AC,?BM?A1C,AM?A1C.

??AMB是二面角A?A1C?B的平面角.……………………………………8分

tan?AMB?2,??AMB?arctan2 ?二面角A?A1C?B的大小为arctan2.………………………………12分

20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）在Rt?PMC中，显然|MC|?30?x，?PCM?60?，

?|PM|?|MC|?tan?PCM?3(30?x)，…………2分

NPB矩形AMPN的面积

S?|PM|?|MC|?3x(30?x)，x?[10,20] ………4分

于是2003?S?2253为所求.………………………6分

AMC（2） 矩形AMPN健身场地造价T1?37kS ………………………………………7分

又?ABC的面积为4503，即草坪造价T2?12kS3S(4503?S)，……………8分

由总造价T?T1?T2，?T?25k(S?216)，2003?S?2253.…10分

?S?216S3?1263，……………………………………………………11分

当且仅当S?216S3即S?2163时等号成立，……………………………12分

此时3x(30?x)?2163，解得x?12或x?18，

所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低.………………………14分

— 6 —

21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）z1?z2?(2sin??3i)?1?(2cos?)i?

3)i?R，…………………………2分

?(2sin??23cos?)?(2sin2??32 ?sin2?? 又

2?3，……………………………………………………………………4分

23?2???，?2???，即???3.……………………………………6分

?2?2（2）a?b?8，………………………………………………………………………8分

??a?b?2sin??23cos?，………………………………………………………10分

?????2?2(?a?b)?(a??b)??(a?b)?(1??)a?b?0.

2??得8??(1??2)(2sin??23cos?)?0，整理得因为??只要?122?1??2??sin(???3).……12分

?3??[0,2?1???62]，所以sin(???1)?[0,]. 32?0即可，…………………………………………………………13分

解得???2?

3或?2?3???0.……………………………………………14分

22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 解：（1）假设数列{an}是“p?摆动数列”，

即存在常数p，总有2n?1?p?2n?1对任意n成立，

不妨取n?1时则1?p?3，取n?2时则3?p?5，显然常数p不存在， 所以数列{an}不是“p?摆动数列”； ……………………………………………2分

n2n?1?0对任意n成立，其中p?0. 由bn?q，于是bnbn?1?q所以数列{bn}是“p?摆动数列”. ………………………………………………4分 （2）由数列{cn}为“p?摆动数列”， c1?1?c2?即存在常数

1212，

?p?1，使对任意正整数n，总有(cn?1?p)(cn?p)?0成立；

即有(cn?2?p)(cn?1?p)?0成立.

则(cn?2?p)(cn?p)?0，…………………………………………………………6分

— 7 —

所以c1?p??c3?p???c2n?1?p.……………………………………7分 同理c2?p?c4?p???c2n?p.…………………………………………8分 所以c2n?p?c2n?1?同理

1c2n?11c2n?1?1?c2n?1，解得c2n?1?5?125?125?12即p?.…9分

?c2n，解得c2n?；即p?5?12.…………………………10分

综上p?5?12.……………………………………………………………………11分

（3）证明：由dn?(?1)n?(2n?1)?Sn?(?1)n?n，…………………………………13分

显然存在p?0，使对任意正整数n，总有SnSn?1?(?1)2n?1?n(n?1)?0成立， 所以数列{Sn}是“p?摆动数列”； …………………………………………………14分 当n为奇数时Sn??n递减，所以Sn?S1??1，只要p??1即可 当n为偶数时Sn?n递增，Sn?S2?2，只要p?2即可

综上?1?p?2，p的取值范围是(?1,2).………………………………………16分

23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）

??2sinx???2（1）解：函数y?T(sinx)??2?2?2sin?x?2?函数y?sin?

??0?x?1313

?x?1?T(x)??sin?x（0?x?1）……………………………………4分 ?2?1?1?2ax,0?x?2ax,0?ax????2?2（2）y?aT(x)??，y?T(ax)??……6分

1?2a(1?x),?x?1?2(1?ax),1?ax?1???2?2

当a?0时，则有a(T(x))?T(ax)?0恒成立.

当a?0时，当且仅当a?1时有a(T(x))?T(ax)?T(x)恒成立.

综上可知当a?0或a?1时，a(T(x))?T(ax)恒成立；………………………8分

（3）① 当x??0,??11?j?0?2x?j?N，1?i?n?1时，对于任意的正整数，都有 n?22?2jn?1故有y?Tn(x)?Tn?1(2x)?Tn?2(2x)???Tn?j(2x)???T(2x)?2x…13分

n— 8 —

② 由①可知当x?0,???1?n时，有T(x)?2x，根据命题的结论可得， nn?2?1?12??02??01??02?x?,?,?x?,?当 ?2n2n??2n2n?时，有2n?1?2n2n??2n,2n?，

????????故有Tn(x)?Tn(12n?1?x)=2(n12n?1?x)??2x?2.

n因此同理归纳得到，当x?in?ii?1?n(i?N，0?i?2?1)时， ,?2n2n???1n?i是偶数?2x?i，……………………15分 Tn(x)?(?1)(2x?i?)?=?n22???2x?i?1，i是奇数1对于给定的正整数m，x?解方程Tm(x)?kx得，x??ii?1?m(i?N，0?i?2?1)时， ,mm?22????2i?1??(?1)i2m?1?(?1)2ki，

要使方程Tm(x)?kx在x??0,1?上恰有2m个不同的实数根， 对于任意i?N，0?i?2?1，必须解得k?(0,2mmmi2m??2i?1??(?1)i2m?1?(?1)2ki?i?12m恒成立，

2?12m?1), 若将这些根从小到大排列组成数列?xn?，

m ?n?N?，1?i?2?.……………………17分

由此可得xn??2n?1??(?1)n?(?1)2kn故数列?xn?所有2m项的和

S?x1?x2??x2m?1?x2m

mmm?1m?0?2?4???(2?2)2?km?2?4?6???22?km?2(4?2k)m24?k.……18分

— 9 —

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dg76.html