2主 阶跃信号和冲激信号

信号与系统

本节介绍函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数,统称为奇异信号或奇异 函数。 主要内容： 单位斜变信号 单位阶跃信号 单位冲激信号 冲激偶信号

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6.单位斜变信号1. 定义 0 r (t ) t t 0 t 0O 1r (t t0 )1 O

r (t ) 1 t

2.延迟的单位斜变信号 0 r (t t0 ) t t0 t t0 t t0

由变量t -t0=0 可知起始点为 t 0

t0

t0 1 t

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7. 单位阶跃信号1. 定义 0 (t ) 1 0 (t t0 ) 1 0 (t t0 ) 1 (t )

t 0 t 0

1 0点无定义或 2

1O t

2. 延迟的单位阶跃信号t t0 t t01

(t t0 )

,,

t0 0t0 0

O

t0 (t t0 )

t

t t0 t t0

1

由变量 t t 0 可知 t t , 即时 0 0 t ,函数有断点，跳变点 间为 t0时 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为00

O

t

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3. 阶跃函数性质： (1)可以方便地表示某些信号, 如任意阶梯信号,三角脉冲信号:f (t ) 2 (t ) 3 (t 1) (t 2)

K t f (t ) 0

0 t 其它KO

f (t )

f (t )

K

t[ (t ) (t )]

t

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(2)用阶跃函数表示信号的作用区间

3)阶跃函数的积分

t

( )d t (t )

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8.单位冲激信号1. 2. 3. 4. 定义1 定义2 冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质

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1. 定义1: (Dirac)函数 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作 用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特 殊的方式定义(由狄拉克最早提出) ( t ) d t 1 ( t ) 0 t 0

(t ) d t (t ) d t0

0

函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1;

(t )

(1)t

t =0 时， t ,为无界函数。

o

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2. 定义2: (Dirac)函数 为了对它有个直观认识,首先将它看作一个普通函数 如右图所示矩性脉冲函数:

1 1 0, t n 或t n pn ( t ) 1 1 n / 2, t n n (t ) lim pn (t )n

高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。

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1 (t ) lim p(t ) lim t t 0 0 2 2 (t )

(t t0 )

时移的冲激函数

(1)

(1)

o

t

o

t0

t

若面积为k,则强度为k。 三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数 取 0极限，都可以认为是冲激函数。

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3.冲激函数与阶跃函数的关系 0, t 0 def 1 (t ) lim n (t ) , t 0 n 2 1, t 0 冲激函数与阶跃函数关系：

提示：引入冲激函数之 后

,使得间断点的导数 也存在。如

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4. 冲激函数的性质 为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 t 义函数。就时间 而言， t 可以当作时域连续信号处理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于 t 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。

1.抽样性 2.奇偶性 3.冲激偶 4.标度变换

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1.

抽样性(筛选性)

如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有 ( t ) f ( t ) f (0) ( t )f (t )

(t ) f (t ) d t f (0)

f (0)

(1) t

o

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分

t 0

和

t 0

讨论

t 0 ( t ) 0 , f ( t ) ( t ) 0 (注意：仅当 t 0 时)

积分结果为0t 0 t 0 , f t t f 0 t (注意：仅当 t 0 时)

积分为

0

0

f (0) ( t )dt f (0) ( t )dt f (0)0

0

即

(t ) f (t )dt f (0)

对于移位情况：

f (t ) (t t 0) f (t0 ) (t )

(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )

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思考题:

1) sin(t 3 1 1 t

0

4

) (t 1)dt ?

2) 2 ( t )d ? 3) ( 1) ( )d ?2 1

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2. 奇偶性：偶函数 (t ) ( t )

(t ) f (t ) d t f (0)t

( t ) f (t ) d t

( ) f ( ) d( )

( ) f ( ) d f (0)

又因为 (t )只在t 0有值 ，故 (t ) ( t )

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3.冲激函数的导数,也称冲激偶s(t )1

(t ) (1)

1

o s (t )1

t

O

t

0

(t )

21

2 O 1 2 1

t

O

t

2

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冲激偶的性质

(t ) f (t ) d t f (0)

利用分部积分运算

( t ) f ( t )dt

f ( t ) ( t )

f ( t ) ( t )dt

f ( 0)X

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4. 对 (t)的尺度变换1 at t a

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冲激信号尺度变换的证明 从 (t )定义看：p t 1

p at 1

2 t

2

O

2a

O

a

2a

t

p(t)面积为1, t 强度为1 p(at)面积为1 a

, at 强度为

1 a

1 p(at ) ( t ) a

0时, p( t ) ( t ) ,

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用两边与f(t)的乘积的积分值相等证明， 分a>0 、a<0两种情况 (1)a 0, 令at 1 (at ) f (t )dt f a d a a f (0)

而

1 1 ( t ) f ( t )dt f (0) a a

两边相等

1 at t a

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t : (2) a 0, 令 a t : 1 1 (

a t ) f (t )dt ( ) f a d a

1 a

1 d 1 f (0) ( ) f a a

而

1 1 (t ) f ( t )dt f (0) a a 1 at t a

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