2015-2016学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷(理科)(b卷)解析

2015-2016学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）

（B卷）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．

1．（5分）（2016春?东莞市期末）复数z=i+i的实部与虚部分别是（ ） A．﹣1，1 B．1，﹣1 C．1，1 D．﹣1，﹣1 2．（5分）（2016春?东莞市期末）对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），则下列说法中不正确的是（ ） A．若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适

22

D．用相关指数R来刻画回归效果，R越小说明拟合效果越好 3．（5分）（2016春?东莞市期末）向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（ ）

A．“若ac=bc（c≠0），则a=b”类比推出“若?=?（≠），则=” B．“在实数中有（a+b）c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）?=?+?” C．“在实数中有（ab）c=a（bc）”类比推出“在向量中（?）?=?（?）” D．“若ab=0，则a=0或b=0”类比推出“若?=0，则=或=”

4．（5分）（2014?潮安县校级模拟）用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）

2

A．方程x+ax+b=0没有实根

2

B．方程x+ax+b=0至多有一个实根

2

C．方程x+ax+b=0至多有两个实根

2

D．方程x+ax+b=0恰好有两个实根 5．（5分）（2016春?东莞市期末）已知随机变量ξ服从正态分布N（5，9），若p（ξ＞c+2）=p（ξ＜c﹣2），则c的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（5分）（2016春?东莞市期末）已知具有线性相关关系的变量y与x之间的一组数据： x 1 2 3 4 5 y 2 4 6 8 5 若由最小二乘法原理得到回归方程=x+0.5，则的值为（ ） A．0.5 B．1

C．1.5 D．2

2

2

2

7．（5分）（2016春?东莞市期末）抛物线y=3﹣x与直线y=2x与所围成图形（图中的阴影部分）的面积为（ ）

A．10

B．

C．11

D．

n

*

8．（5分）（2016春?东莞市期末）若（3x+）（n∈N）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则正整数n的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（5分）（2016春?东莞市期末）有3位老师和3 个学生站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的排法总数为（ ） A．36 B．72 C．144 D．288

10．（5分）（2016春?东莞市期末）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P（ξ=k）取得最大值时k的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（5分）（2016春?东莞市期末）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的

3

“异驻点”．若函数g（x）=2016x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x﹣1的“异驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（ ）

A．α＞β＞γ B．β＞α＞γ C．β＞γ＞α D．γ＞α＞β 12．（5分）（2016春?东莞市期末）已知函数f（x）=

在点（1，2）

处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（ ） A．[﹣8，﹣4+2） B．（﹣4﹣2，﹣4+2） C．（﹣4+2，8] D．（﹣4﹣2，﹣8]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上． 13．（5分）（2016春?东莞市期末）用1，2，3，4这四个数字能组成 个没有重复数字的四位数．

3

14．（5分）（2016春?东莞市期末）已知函数f（x）=3x﹣x，当x=a时f（x）取得极大值为b，则a﹣b的值为 ．

15．（5分）（2016?梅州二模）（x+﹣2）的展开式中的常数项为 （用数字作答） 16．（5分）（2016春?东莞市期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测： （1）b5= ； （2）b2n﹣1= ．

5

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（2016春?东莞市期末）已知复数z1=2+a+i，z2=3a+ai（a为实数，i虚数单位）且z1+z2是纯虚数．

2

（1）求a的值，并求z1的共轭复数； （2）求

的值．

2

18．（12分）（2016春?东莞市期末）某市教育局委托调查机构对本市中小学学校使用“微课掌上通”满意度情况进行调查．随机选择小学和中学各50所学校进行调查，调查情况如表：

☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ 评分等级 ☆ 2 7 9 20 12 小学 3 9 18 12 8 中学 （备注：“☆”表示评分等级的星级，例如“☆☆☆”表示3星级．） （1）从评分等级为5星级的学校中随机选取两所学校，求恰有一所学校是中学的概率； （2）规定：评分等级在4星级以上（含4星）为满意，其它星级为不满意．完成下列2×2列联表并帮助判断：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为使用是否满意与学校类别有关系？ 学校类型 满意 不满意 总计 50 小学 50 中学 100 总计 19．（12分）（2016春?东莞市期末）“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件． （1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X，求X的分布列及数学期望；

（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．

2

20．（12分）（2016春?东莞市期末）已知f（x）=lnx+ax﹣ax+5，a∈R． （1）若函数f（x）在x=1处有极值，求实数a的值；

（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围． 21．（12分）（2016春?东莞市期末）已知f（n）=1+

*

+++…+，g（n）=﹣，

n∈N．

（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系； （2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．

22．（12分）（2016春?东莞市期末）设f（x）=e﹣ax（a∈R），e为自然对数的底数． （1）若a=1时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程； （2）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．

x

2015-2016学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理

科）（B卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．

2

1．（5分）（2016春?东莞市期末）复数z=i+i的实部与虚部分别是（ ） A．﹣1，1 B．1，﹣1 C．1，1 D．﹣1，﹣1

【分析】利用复数的幂运算以及复数的基本概念求解即可．

【解答】解：复数z=i+i=﹣1+i． 复数的实部与虚部分别是：﹣1；1． 故选：A．

【点评】本题考查复数的基本概念，考查计算能力． 2．（5分）（2016春?东莞市期末）对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），则下列说法中不正确的是（ ） A．若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，则y与x具有正相关关系 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适

22

D．用相关指数R来刻画回归效果，R越小说明拟合效果越好

【分析】可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．

【解答】解：若最小二乘法原理下得到的回归直线方程=0.52x+，b=0.52＞0，则y与x具有正相关关系，正确；

残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确； 可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故正确；

2

相关指数R取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故不正确． 故选：D． 【点评】本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．属于基础题． 3．（5分）（2016春?东莞市期末）向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（ ）

A．“若ac=bc（c≠0），则a=b”类比推出“若?=?（≠），则=” B．“在实数中有（a+b）c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）?=?+?” C．“在实数中有（ab）c=a（bc）”类比推出“在向量中（?）?=?（?）”

2

D．“若ab=0，则a=0或b=0”类比推出“若?=0，则=或=”

【分析】对四个选项，利用向量的数量积的定义与性质，分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：由条件，得出（﹣）?=0，

∴（﹣）与垂直，则=，不一定成立，故A不正确； 向量的乘法满足分配律，故B正确；

在向量中（?）?与共线，?（?）与共线，故C不正确； 若?=0，则⊥，=或=不一定成立，故D不正确．

故选：B．

【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．

4．（5分）（2014?潮安县校级模拟）用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）

2

A．方程x+ax+b=0没有实根

2

B．方程x+ax+b=0至多有一个实根

2

C．方程x+ax+b=0至多有两个实根

2

D．方程x+ax+b=0恰好有两个实根

【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．

【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，

∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设

2

是：方程x+ax+b=0没有实根． 故选：A．

【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查． 5．（5分）（2016春?东莞市期末）已知随机变量ξ服从正态分布N（5，9），若p（ξ＞c+2）=p（ξ＜c﹣2），则c的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】随机变量ξ服从正态分布N（5，9），得到曲线关于x=5对称，根据P（ξ＞c+2）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c+2与点c﹣2关于点5对称的，从而解出常数c的值得到结果．

【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（5，9）， ∴曲线关于x=5对称，

∵P（ξ＞c+2）=P（ξ＜c﹣2）， ∴c+2+c﹣2=10， ∴c=5， 故选：B．

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．

2

2

6．（5分）（2016春?东莞市期末）已知具有线性相关关系的变量y与x之间的一组数据： x 1 2 3 4 5 y 2 4 6 8 5 若由最小二乘法原理得到回归方程=x+0.5，则的值为（ ）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2

【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：∵=3，=5，

∴这组数据的样本中心点是（3，5） 把样本中心点代入回归直线方程=x+0.5 ∴5=3+0.5， ∴=1.5

故选：C．

【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．

7．（5分）（2016春?东莞市期末）抛物线y=3﹣x与直线y=2x与所围成图形（图中的阴影部分）的面积为（ ）

2

A．10

B．

C．11

D．

【分析】联解方程组，得直线与抛物线交于点A（﹣3，﹣6）和B（1，2），因此求出函数

2

3﹣x﹣2x在区间[﹣3，1]上的定积分值，就等于所求阴影部分的面积，接下来利用积分计算公式和法则进行运算，即可得到本题的答案．

2

【解答】解：由抛物线y=3﹣x与直线y=2x联立， 解得交于点A（﹣3，﹣6）和B（1，2） ∴两图象围成的阴影部分的面积为S=

3

2

（3﹣x﹣2x）dx=

3

2

2

=（3×1﹣×1﹣1）﹣[3×（﹣3）﹣×（﹣3）﹣（﹣3）] =

，

故选：D． 【点评】本题求直线与抛物线围成的阴影部分图形的面积，着重考查了定积分计算公式和定积分的几何意义等知识，属于基础题．

8．（5分）（2016春?东莞市期末）若（3x+）（n∈N）的展开式中各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则正整数n的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7

nn

【分析】令x=1，可得4=P，又2=S，P+S=272，联立解出即可得出．

nn

【解答】解：令x=1，可得4=P，又2=S，P+S=272， nn

∴4+2﹣272=0，

n

解得2=16， 解得n=4． 故选：A．

【点评】本题考查了由二项式定理性质及展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．（5分）（2016春?东莞市期末）有3位老师和3 个学生站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的排法总数为（ ） A．36 B．72 C．144 D．288

【分析】可以考虑到用插空法求解，先把3位老师排好，然后有4个空排学生，然后列出式子，根据分步计数原理求解即可．

【解答】解：考虑3位学生不相邻排法，可以考虑到用插空法求解， 先把3位老师排好，然后有4个空排学生，

33

故有A3?A4=144排法． 故选：C

【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，站队问题是一个典型的排列组合问题，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解．本题是一个基础题

10．（5分）（2016春?东莞市期末）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P（ξ=k）取得最大值时k的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】随机变量ξ～B（5，），P（ξ=k）=

，由式子的意义知：概

n

*

率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近．由Eξ=5×=3.75，知k=4是极值，由此能求出p（ξ=k）取最大值时k的值． 【解答】解：由题意，随机变量ξ～B（5，）， ∴P（ξ=k）=

，

由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近． ∵Eξ=5×=3.75，

∴k=4是极值，

∴P（ξ=k）取最大值时k的值是4．

故选：C．

【点评】本题考查二项分布的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

11．（5分）（2016春?东莞市期末）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的

3

“异驻点”．若函数g（x）=2016x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x﹣1的“异驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（ ）

A．α＞β＞γ B．β＞α＞γ C．β＞γ＞α D．γ＞α＞β

【分析】由题设中所给的定义，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出α，β，γ的值或存在的大致范围，再比较出它们的大小即可选出正确选项． 【解答】解：①∵g（x）=2016x，∴g′（x）=2016，由g（x）=g′（x），解得2016x=2016，∴α=1．

②∵h（x）=ln（x+1）， ∴h′（x）=

，由h（x）=h′（x），得到ln（x+1）=

，则h′（x）=

+

，

，因此函数h（x）在（﹣1，+∞）

令h（x）=ln（x+1）﹣单调递增．

∵h（0）=﹣1＜0，h（1）=ln2﹣＞0，∴0＜β＜1．

③∵φ（x）=x﹣1，∴φ′（x）=3x，由φ（x）=φ′（x），得x﹣1=2x，

23∵2x＞0，（x=0时不成立），∴x﹣1＞0，∴x＞1，∴γ＞1． 综上可知：γ＞α＞β． 故选：D．

【点评】本题考查了导数的运算法则、新定义“新驻点”、对数函数的单调性，属于中档题．

12．（5分）（2016春?东莞市期末）已知函数f（x）=

在点（1，2）

3

2

3

2

处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则b的取值范围是（ ） A．[﹣8，﹣4+2） B．（﹣4﹣2，﹣4+2） C．（﹣4+2，8] D．（﹣4﹣2，﹣8]

【分析】先利用导数研究在点（1，2）处的切线方程，然后作出函数图象，随着b减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象都有三个公共点，只需求出零界位置的值即可．

2

【解答】解：当x＞0时，f（x）=x+1， 则f′（x）=2x， ∴f′（1）=2×1=2，

则在点（1，2）处的切线方程为y=2x， 当x≤0时，y=f（x）=

即（x+2）+（y﹣b）=4（y≥b） 作出函数图象如右图

2

2

+b，

随着b减小时，半圆向下移动，当点A（﹣4，b）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，即b=2×（﹣4）=﹣8，

再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象有三个公共点，相切时与f（x）的图象有两个交点 即

=2，解得b=﹣4﹣2

＜﹣8

∴b的取值范围是（﹣4﹣2故选：D．

，﹣8]．

【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数图象，同时考查了数形结合的数学思想和分析问题的能力，属于难题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上． 13．（5分）（2016春?东莞市期末）用1，2，3，4这四个数字能组成 24 个没有重复数字的四位数．

【分析】本题属于排列问题，全排即可得到答案．

4

【解答】解：把1，2，3，4全排列，故有A4=24个， 故答案为：24．

【点评】本题考查了简单的排列问题，属于基础题．

14．（5分）（2016春?东莞市期末）已知函数f（x）=3x﹣x，当x=a时f（x）取得极大值为b，则a﹣b的值为 ﹣1 ．

【分析】求导数得到f′（x）=3﹣3x，根据二次函数符号的判断便可判断导函数的符号，从而得出函数f（x）的极大值点和极大值，从而求出a﹣b的值．

【解答】解：f′（x）=3﹣3x；

∴x＜﹣1时，f′（x）＜0，﹣1＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0； ∴x=1时，f（x）取得极大值2； 即a=1，b=2； ∴a﹣b=﹣1． 故答案为：﹣1．

2

2

3

【点评】考查基本初等函数的求导公式，二次函数符号的判断，熟悉二次函数的图象，以及函数极大值的定义及求法．

15．（5分）（2016?梅州二模）（x+﹣2）的展开式中的常数项为 ﹣252 （用数字作答） 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【解答】解：（x+﹣2）=（﹣1）?x， 故展开式的常数项为

?（﹣1）=﹣252，

5

5

5

5

5

= 的展开式中，分子中含x的项为

5

?

故答案为：﹣252．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，配方是关键，属于中档题． 16．（5分）（2016春?东莞市期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测： （1）b5= 105 ； （2）b2n﹣1=

．

【分析】（1）由题设条件及图可得出an+1=an+（n+1），由此递推式可以得出数列{an}的通项为，an=n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…

，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b5；

（2）由（1）中的结论即可得出b2n﹣1═（5n﹣1）（5n﹣1+1）． 【解答】解：（1）由题设条件可以归纳出an+1=an+（n+1），

故an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=n（n+1） 由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，… 由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，

∴b5=105；

（2）由于2n﹣1是奇数，由（I）知，第2n﹣1个被5整除的数出现在第n组倒数第二个，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dfy3.html