(试题2)2.2直线、平面平行的判定及其性质

高中数学 必修二

第1题. 已知 a， m， b，且m// ，求证：a//b．

答案：证明：

m// m//a a//b． a 同理 m//b

m

第2题. 已知： b，a// ，a// ，则a与b的位置关系是（ ） Ａ．a//b Ｃ．a，b相交但不垂直

答案：Ａ．

第3题. 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EA BF∶FD，求证：EF//平面PBC．

Ｂ．a b

Ｄ．a，b异面

答案：证明：连结AF并延长交BC于M．连结PM，

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∵AD//BC，∴

BFFD

MFFA

，又由已知

PEEA

BFFD

，∴

PEEA

MFFA

．

由平面几何知识可得EF//PM，又EF PBC，PM 平面PBC，

∴EF//平面PBC．

第4题. 如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，E1F1是平面A1C1上的线段，求证：E1F1//平面AC．

答案：证明：如图，分别在AB和CD上截取AE A1E1，DF D1F1，连接EE1，FF1，

EF．

∵长方体AC1的各个面为矩形，

∴A1E1平行且等于AE，D1F1平行且等于DF，

故四边形AEE1A1，DFF1D1为平行四边形．

∴EE1平行且等于AA1，FF1平行且等于DD1． ∵AA1平行且等于DD1，∴EE1平行且等于FF1，

四边形EFF1E1为平行四边形，E1F1//EF．

∵EF 平面ABCD，E1F1 平面ABCD， ∴E1F1//平面ABCD．

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的圆心是A，第5题. 如图，在正方形ABCD中，BD半径为AB，BD是正方形ABCD的

对角线，正方形以AB所在直线为轴旋转一周．则图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得几何体的

体积之比为 ．

答案：1∶1∶1

第6题. 如图，正方形ABCD的边长为13，平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都是13，M，N分别是PA，DB上的点，且PM∶MA BN∶ND 5∶8． （１） 求证：直线MN//平面PBC； （２） 求线段MN的长．

（１） 答案：证明：连接AN并延长交BC于E，连接PE，

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则由AD//BC，得

∵BNND

PMMA

BNNDNEAN

NEANPM

． ．

MA

∴MN//PE，又PE 平面PBC，MN 平面PBC，

，∴

∴MN//平面PBC．

（２） 解：由PB BC PC 13，得 PBC 60þ； 由

BEAD

BNND

58

，知BE

918

58

13

658813

，

PE 7．

由余弦定理可得PE

，∴MN

第7题. 如图，已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点， 求证：PD//平面MAC．

答案：证明：连接AC、BD交点为O，连接MO，则MO为△BDP的中位线，

∴PD//MO．

∵PD 平面MAC，MO 平面MAC，∴PD//平面MAC．

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第8题. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF//平面BB1D1D．

答案：证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB，

∵OF 平行且等于

12

B1C1，BE平行且等于

12B1C1，

∴OF 平行且等于BE，则OFEB为平行四边形，

∴EF//BO．

∵EF 平面BB1D1D，BO 平面BB1D1D， ∴EF//平面BB1D1D．

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第9题. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，试作出过AC且与直线D1B平行的截面，并说明理由．

答案：解：如图，连接DB交AC于点O，取D1D的中点M，连接MA，MC，则截面MAC即为所求作的截面．

∵MO为△D1DB的中位线，∴D1B//MO．

∵D1B 平面MAC，MO 平面MAC，

∴D1B//平面MAC，则截面MAC为过AC且与直线D1B平行的截面．

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第10题. 设a，b是异面直线，a 平面 ，则过b与 平行的平面（ ）

Ａ．不存在 Ｂ．有1个 Ｃ．可能不存在也可能有1个 Ｄ．有2个以上

答案：Ｃ．

第11题. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求证：平面A1BD//平面CD1B1．

∥ B1BA1A

∥DD 答案：证明： B1B 1 ∥AADD 11

四边形BB1D1D是平行四边形

D1B1//DB

DB 平面A1BD

DB 平面ABD

1 11 D1B1//平面A1BD

同理B1C//平面A1BD DB BC B

11 11

平面B1CD1//平面A1BD．

第12题. 如图，M、N、P分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD上的点，且

AM∶MB CN∶NB CP∶PD． 求证：（１）AC//平面MNP，BD//平面MNP；

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（２）平面MNP与平面ACD的交线//AC．

答案：证明：（１） AMMB

CNNB

MN//AC

AC//平面MNP．

AC 平面MNPMN 平面MNP

CNNB

CPPD

PN//BD

BD//平面MNP．

BD 平面MNPPN 平面MNP

（２）

设平面MNP 平面ACD PE

AC 平面ACD PE//AC，

AC//平面MNP

即平面MNP与平面ACD的交线//AC．

第13题. 如图，线段AB，CD所在直线是异面直线，E，F，G，H分别是线段AC，CB，BD，DA的中点．

（１） 求证：EFGH共面且AB∥面EFGH，

CD∥面EFGH；

（２） 设P，Q分别是AB和CD上任意一点，

求

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证：PQ被平面EFGH平分．

答案：证明：（１）∵E，F，G，H分别是AC，CB，BD，DA的中点．， ∴EH//CD，FG//CD，∴EH//FG．因此，E，F，G，H共面． ∵CD//EH，CD 平面EFGH，EH 平面EFGH， ∴CD//平面EFGH．同理AB//平面EFGH．

（２）设PQ 平面EFGH＝N，连接PC，设PC EF M．

△PCQ所在平面 平面EFGH＝MN，

∵CQ//平面EFGH，CQ 平面PCQ，∴CQ//MN．

∵EF 是△ABC是的中位线，

∴M是PC的中点，则N是PQ的中点，即PQ被平面EFGH平分．

第14题. 过平面 外的直线l，作一组平面与 相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为（ ） Ａ．都平行

Ｂ．都相交且一定交于同一点 Ｃ．都相交但不一定交于同一点 Ｄ．都平行或都交于同一点

答案：Ｄ．

第15题. a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（ ） Ａ．过A且平行于a和b的平面可能不存在 Ｂ．过A有且只有一个平面平行于a和b Ｃ．过A至少有一个平面平行于a和b Ｄ．过A有无数个平面平行于a和b

答案：Ａ．

第16题. 若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为 ． 答案：20．

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第17题. 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上的一点，且EFGH为菱形，若AC//平面EFGH，BD//平面EFGH，AC m，BD n，则AE：BE ．

答案：m∶n．

第18题. 如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60þ的角，且AD BC a，平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H． （１）求证：四边形EGFH为平行四边形；

（２）E在AB的何处时截面EGFH的面积最大？最大面积是多少？

答案：（１）证明：∵BC//平面EFGH，BC 平面ABC， 平面ABC 平面EFGH EF， ∴BC//EF．同理BC//GH，

∴EF//GH，同理EH//FG， ∴四边形EGFH为平行四边形．

（２）解：∵AD与BC成60þ角，

þ或120þ，设AE:AB x，∵∴ HGF 60

BC a，∴EF ax，由

EHAD

BEAB

EFBC

AEAB

x，

1 x，

得EH a(1 x)．

þ ∴S四边形EFGH EF

EH sin60

ax a(1 x)

2

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2

( x x)

22

121 2

a (x ) ． 224

当x

12

时，S最大

值

8

，

2

即当E为AB

8

．

2

第19题. P为△ABC所在平面外一点，平面 //平面ABC， 交线段PA，PB，PC于A'B'C'，PA'∶A'A 2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC ． 答案：4∶25

第20题. 如图，在四棱锥P ABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．

求证：MN//平面PAD．

答案：证明：如图，取CD的中点E，连接NE，ME

∵M，N分别是AB，PC的中点，

∴NE//PD，ME//AD，

可证明NE//平面PAD，ME//平面PAD． 又NE ME E，

∴平面MNE//平面PAD，

又MN 平面MNE，∴MN//平面PAD．

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第21题. 已知平面 //平面 ，AB，CD是夹在两平行平面间的两条线段，A，C在 内，B，C在 内，点E，F分别在AB，CD上，且A

E∶EB CF∶FD m∶n． 求证：EF//平面 ．

答案：证明：分AB，CD是异面、共面两种情况讨论． （１） 当AB，CD共面时，如图（a） ∵ // ，∴AC//BD，连接E，F．

∵AE∶EB C

F∶FD，∴EF//AC//BD且EF ，AC ，∴EF//平面 ．

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（２） 当AB，CD异面时，如图（b），过点A作AH//CD 交 于点H．

∶n在H上取点G，使AG∶GH m，连接EF，由（１）证明可得GF//HD，又

AG∶GH A∶EE得BEG//BH．∴平面EFG//平面 //平面 ．

又EF 面EFG，∴EF//平面 ．

第22题. 已知 a， m， b，且m// ，求证：a//b．

答案：证明：

m// m//a a//b． a 同理 m//b

m

第23题. 三棱锥A BCD中，AB CD a，截面MNPQ与AB、CD都平行，则截面． MNPQ的周长是（ ）Ａ．4a Ｃ．

3a2

Ｂ．2a

Ｄ．周长与截面的位置有关

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答案：Ｂ．

第24题. 已知： b，a// ，a// ，则a与b的位置关系是（ ）． Ａ．a//b

Ｂ．a b Ｄ．a、b异面

Ｃ．a、b相交但不垂直

答案：Ａ．

第25题. 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E、F分别是PA、BD上的点且PE:EA

BF:FDPBC

答案：证明：连结AF并延长交BC于M． 连结PM， ∵AD//BC，∴

BFFDB

F

MFFAPEEA

，

MFFA

又由已知

PEEA

FD

，∴．

由平面几何知识可得EF//PM， 又EF PBC，PM 平面PBC， ∴EF//平面PBC．

第26题. 如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，平面ABCD．

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答案：证明：如图，分别在AB和CD上截得AE A1E1，DF D1F1，连接EE1，FF1，

EF．

∵长方体AC1的各个面为矩形，

∴EE1平行且等于AA1，FF1平行且等于DD1． ∵AA1平行且等于DD1，∴EE1平行且等于FF1，

四边形EFF1E1为平行四边形，

E1F1//EF．

∵EF 平面ABCD，E1F1 平面ABCD， ∴E1F1//平面ABCD．

第27题. 已知正方体ABCD A1B1C1D1， 求证：平面AB1D1//平面C1BD．

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答案：证明：因为ABCD A1B1C1D1为正方体， 所以D1C1//A1B1，D1C1 A1B1． 又AB//A1B1，AB A1B1， 所以D1C1//AB，D1C1 AB， 所以D1C1BA为平行四边形．

所以D1A//C1B．由直线与平面平行的判定定理得

D1A//平面C1BD．

同理D1B1//平面C1BD，又D1A D1B1 D1， 所以，平面AB1D1//平面C1BD．

第28题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．

如图，已知直线a，b平面 ，且a//b，a// ，a，b都在 外． 求证：b// ．

答案：证明：过a作平面 ，使它与平面 相交，交线为c． 因为a// ，a ， c， 所以a//c．

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因为a//b， 所以b//c．

又因为c ，b ，

所以b// ．

第29题. 如图，直线AA'，BB'，CC'相交于O，AO A'O，BO B'O，CO C'O． 求证：ABC//平面A'B'C'．

答案：提示：容易证明AB//A'B'，AC//A'C'． 进而可证平面ABC//平面A'B'C'．

第30题. 直线a与平面 平行的充要条件是（ ） Ａ．直线a与平面 内的一条直线平行 Ｂ．直线a与平面 内两条直线不相交

Ｃ．直线a与平面 内的任一条直线都不相交 Ｄ．直线a与平面 内的无数条直线平行

答案：Ｃ．

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