湖北省黄冈中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理

湖北省黄冈中学2015年秋季期中考试高二数学试卷（理科）

第Ⅰ卷选择题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是（）

A 、

B 、

C 、

D 、

2．已知直线，，若，则m的值是（）A 、 B、－2

C 、 D、2

3．某几何体的三视图如图所示，当a＋b取最大值时，该几何体体积为（）

A 、

B 、

1

C 、

D 、

4．如图正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝1则下列结论中错误的是（）

A、EF∥平面ABCD

B、AC⊥BE

C、三棱锥A—BEF体积为定值

D、ΔBEF与ΔAEF面积相等

5．已知{a n}是等差数列，a3＝8，S6＝57，则过点P（2，a7），Q（3，a8）的直线斜率为（）

A、3 B 、

C、—3

D、—13

6．若点（1，1）和点（0，2）一个在圆的内部，另一个在圆的外部，则正实数a的取值范围是（）

A 、

B 、

C、（0，1）

D、（1，2）

2

7．如图，在四面体A—BCD中，AC与BD互相垂直，且长度分别为2和3，平行于这两条棱的平面与边AB、BC、CD、DA分别相交于点E、F、G、H，记四边形EFGH的面积为y，设，则（）

A、函数f(x)的值域为（0，1]

B、函数y＝f(x)满足f(x)＝f(2－x)

C、函数y＝f(x)的最大值为2

D、函数y＝f(x)在上单调递增

8．正四面体ABCD的外接球半径为6，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（）A、9πB、4π

C、24π

D、16π

9．已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程可以是（）

A、x－y＋1＝0

B、x－y－2＝0

C、3x－2y＋1＝0

D、x＋y－1＝0

10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为（）

3

A 、

B 、

C 、

D 、

11．如果直线和函数的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么，的取值范围是（）

A 、

B 、

C 、

D 、

12．圆锥的轴截面SAB是边长为4的正三角形（S为顶点），O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为（）

A 、

B 、

C 、

D 、

第Ⅱ卷非选择题

二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）

13．在底面直径为4的圆柱形容器中，放入一个半径为1的冰球，当冰球全部融化后，容器中液面的高度为___________（相同体积的冰与水的质量比为9：10）

4

14．已知三个不同的平面α、β、γ和两条不同的直线m、n，有下列五个命题：

①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β

③若m⊥α，m∥n ，，则α⊥β④若则m∥n

⑤若且则

其中正确命题的编号是______________.

15．在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c ，若，则直线ax＋by－c＝0被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为__________.

16．设P（4，0），A、B是圆C：x2＋y2＝4上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交圆C于另一点E，直线AE与x轴交于点T，则|AT|×|TE|＝___________.

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤）

（10分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 是菱形，，17．

AB＝2，，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点.

（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；

（2）若三棱锥P—EAD 的体积为，求证：PD∥平面EAC.

5

6

18．（12分）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝2AD ，，AB ⊥BC ，如图把ΔABD

沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ，

（1）求证：CD ⊥平面ABD ；

（2）若M 为线段BC 的中点，求点M 到平面ACD 的距离

.

19．（12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，，AA 1

＝AC ＝CB ＝1.

（1）求异面直线AE 与BC 1所成角的余弦值；

（2）求二面角D —A 1C —A 的正切值

20．（12分）已知数列{a n}（n＝1，2，3，……），⊙C1：

和⊙C2：，若⊙C1与⊙C2交于A、B两点，且这两点平分圆C2的周长.

（1）求证数列{a n}是等差数列；

（2）若a1＝1，则当⊙C1面积最小时，求出⊙C1的方程.

21．（12分）已知圆C ：

（1）求m的取值范围

（2）当m＝1时，若圆C与直线x＋ay－2＝0交于M、N两点，且CM⊥CN，求a的值.

22．（12分）已知圆C 过点且与圆M ：关于直线x ＋y＋4＝0对称，定点R的坐标为（1，1）．

（1）求圆C的方程；

（2）设Q为圆C 上的一个动点，求的最小值；

（3）过点R作两条相异直线分别与圆C相交于A、B，且直线RA和直线RB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OR和直线AB是否平行，并说明理由.

7

8 答案与解析：

1、B 解析：圆，所以直

线方程为x ＋2y ＋2＝0.

2、B 解析：

3、A 解析：设

当且仅当时取最大值，所以体积为.

4、D 解析：对A 来说面ABCD ∥面A 1B 1C 1D 1，而EF

面A 1B 1C 1D 1，∴EF ∥面ABCD ，对B 来说AC ⊥面

BDD 1B 1，BE 面BDD 1B 1，∴AC ⊥BE. 对C 来说A 点到面BDD 1B 1的距离为定值，EF 为定值，点B 到EF 的距离为定值，所以三棱锥A －

BEF 的体积为定值.

5、A 解析：

6、C

解析：

.

9 7、D 解析：由，

由函数解析式可看出只有D 答案是正确的.

8、C

解析：把正四面体ABCD 放到正方体中，设正方体的棱长为a ，则

，当圆的面积最小时，AB 为直径，所以圆的面积为 9、B

解析：圆O 1的圆心为（0，0），O 2的圆心为（2，－2），O 1O 2的中点为（1，－1），

所以直线的方程为x ―y ―2＝0.

10、B

解析：以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1方向分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 则D （0，0，0），A 1（1，0，1），B （1，1，0），C 1（0，1，1），易求得面A 1BD 的一个法向量为，， 11、C

解析：函数

的图像过定点（－1，3），故直线3ax －by ＋15＝0也过该点，所以 a ＋b ＝5. 又（－1，3

）始终在圆

的内部或圆上，故，即a 2＋b 2≤16.分别以a 、b 为横轴和纵轴作出坐标系，并

10 在坐标系中作出直线a ＋b ＝5和圆a 2＋b 2

＝16的内部（包括圆上），其公共部分为一线段，如图.

表示经过原点与线段上点直线的斜率，结合图形可知，.

12、D

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则则，所以P 点轨迹为圆O 一条弦，且弦心距为由垂径定理可知弦长为

13

、

14、①②③⑤ 解析：画图可知①②③⑤正确，④错误

15、

11

16．答案：

3

法2：易证：O ，E ，B ，T 四点共圆

12 17、（1)证明： ∵PD ⊥平面ABCD ，平面ABCD

∴AC ⊥PD ……2分

∵四边形ABCD 是菱形

∴AC ⊥BD ……3分 又

∴AC ⊥平面PBD ……

4分

∴平面EAC ⊥平面PBD ……5分

(2)取AD 中点M ，连接BM 、PM ，在ΔPBM 内，过点E 作EH ∥BM 交于PM 于H …6分 ∵PD ⊥平面ABCD ，平面PAD

∴平面PAD ⊥平面ABCD ……7分

∵ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°

∴ΔABD 为正三角形……8分

于是BM ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD

∴BM ⊥平面PAD ……

9分

……10分

EH ∥BM ，BM ⊥平面PAD 故EH

⊥平面PAD ，……11分

13 ∴E 为PB 中点，故平面EAC ，OE 平面EAC

∴PD ∥平面EAC

……12分

18、(1)证明：

∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD

∴CD ⊥平面ABD （，1分；，1分；，2分；,1分； 以下1分，共6分）

（2）由（1）CD ⊥平面ABD ，知CD ⊥AD ，故

又,，故

∴BA ⊥AC ， 又BA ⊥AD ，∴BA ⊥平面ACD

取AC 中点N ，则 又BA ⊥平面ACD

∴MN ⊥平面ACD ，点M 到平面ACD 的距离为

14

（，，BA ⊥平面ACD ，，MN ⊥平面

ACD ，每个点1分） 19、（1）取B 1C 1中点F ，连接EF ，AF ，A 1F ……2分

于是

……

4分

∠AEF 或其补角为异面直线所成角， 故∠AEF 为异面直线所成角，其余弦值为……6分

（2）取AC 中点M ，在ΔA 1AC 内，过点M 作MN ⊥A 1C 于N ，连结DN ，则∠DNM 为二面角D —A 1C —A 的平面角……8分

由平几知识得……11分

在Rt ΔDMN 中，……12分

20、(1)证明： 联立……1分

①—②并化简得：此即为AB 直线方程……3分 依题意，直线AB 过点，故……4分

即

从而{a n}为等差数列……6分

（2）由（1）知，d＝2，又a1＝

1

……8分

化⊙C 1为标准方程：……9分

则……10分

⊙C1面积最小时，r也最小，此时，……11分

故此时⊙C1的方程为……12分

21、（1）化圆C为标准方程：……2分

于是由5－m>0得m<5……4分

（2）时，⊙C……5分

设M(x1，y1)，N(x2，y2)

由

消去x 并化简得：……6分

是①……7分

又

即

15

16 故……9分

，

故……10分 即解得……11分 适合①式，故……12分 22、（1）设C （a ，b ），CM 交直线x ＋y ＋4＝0于H ，则H 于是……2分

解得……3分

故⊙

，又⊙C 过点

从而圆C 方程为 (4)

分 （2）设

则

……5分

于是……7分

故的最小值为……8分

（3）直线OR和直线AB平行

理由如下：

方法一：

由题意知，直线RA和直线RB斜率均存在，且互为相反数，

故可令……9分

由得

∵点R 的横坐标一定是该方程的解，故……11分

故直线OR和直线AB平行……12分

方法二：设x轴交⊙C于M、N，

AB交x轴于G，RA，RB分别交x轴于E、F

则

即

17

于是

故∴AB∥OR

注：这里等是其所对圆心角弧度数的简记.

18

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