三角函数典型高考题精选精讲

三角函数典型考题归类解析

三角函数是中学数学学习中重要的基本初等函数之一，与代数、几何有着

密切的联系，是解决数学问题的一种有利工具.三角函数作为中学数学的基础内容，在高考试题中年年呈现，多数以中低档题出现，可以独立命题，也可以与其它知识综合渗透.

1．根据解析式研究函数性质

例1（天津理）已知函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1，x?R．

π3π?（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函数f(x)在区间??，?上的最小值和最

?84?大值．

π?π?π???【相关高考1】（湖南文）已知函数f(x)?1?2sin2?x??2sinx?cosx???????．

?8??8??8?求：（I）函数f(x)的最小正周期；（II）函数f(x)的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数f(x)?cos2??x??1π?g(x)?1?sin2x． ，?212?（I）设x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值．（II）求函数

的单调递增区间． h(x)?f(x)?g(x)2．根据函数性质确定函数解析式

0?≤例2（江西）如图，函数y?2cos(?x??)(x?R，?>0，≤π)的图象与y轴相交于点2(0，3)，且该函数的最小正周期为?．

y（1）求?和?的值；

π?（2）已知点A?0?，点P是该函数图象上一?，2??3 O A P x 点，点

Q(x0，y0)是PA的中点，当y0?3π?，x0??时，求x0的值． ，π??22??1

π?π??2?x【相关高考1】（辽宁）已知函数f(x)?sin??x??sin?x??2cos，x?R（其中?????6??6?2??0），（I）求函数f(x)的值域； （II）（文）若函数y?f(x)的图象与直线y??1的两个相邻交点间的距离为π，求函数y?2f(x)的单调增区间．

（理）若对任意的a?R，函数y?f(x)，x?(a，a?π]的图象与直线y??1有且仅有两

个不同的交点，试确定?的值（不必证明），并求函数y?? f(x)，x?R的单调增区间．

【相关高考2】（全国Ⅱ）在△ABC中，已知内角A??，边BC?23．设内角B?x，周长为y． （1）求函数y?f(x)的解析式和定义域；（2）求函数y?f(x)的最大值．

3．三角函数求值

例3（四川）已知cosα=1,cos(α-β)＝13，且0<β<α<π,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求

7142β.

【相关高考1】（重庆文）已知函数f(x)=若角a在第一象限，且cosa?3,求f（a）。

5???2cos?2x??4??sin(x??2.（Ⅰ）求f(x)的定义域；（Ⅱ）

)【相关高考2】(重庆理)设f (x) = 6cos2x?3sin2x（1）求f(x)的最大值及最小正周

4期；（2）若锐角?满足f(?)?3?23，求tan?的值.

54．三角形中的函数求值

a?2bsinA．例4（全国Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

os（Ⅰ）求B的大小；（文）（Ⅱ）若a?33，c?5，求b．（理）（Ⅱ）求cAnsi?C的取值范围．

【相关高考1】（天津文）在△ABC中，已知AC?2，BC?3，cosA??．

??（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin?2B???的值．

?6?452

【相关高考2】（福建）在△ABC中，tanA?1，tanB?3．（Ⅰ）求角C的大小；文

45（Ⅱ）若AB边的长为17，求BC边的长．理（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长． 5．三角与平面向量

例5（湖北理）已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB?AC≤6，设AB和AC的夹角为?．（I）求?的取值范围；

π?（II）求函数f(?)?2sin2???????4?3cos2?的最大值与最小值．

【相关高考1】（陕西）设函数f?x??a?b，

??其中向量a?(m,cos2x),b?(1?sin2x,1),x?R，且函数y=f(x)的图象经过点??,2?，

?4

?

（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.

【相关高考2】（广东）已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．

（文）(1)若AB?AC?0，求c的值；（理）若∠A为钝角，求c的取值范围；(2)若c?5，求sin∠A的值． 6三角函数中的实际应用

例6（山东理）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西

120方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？

北

3

120 A2

B2 B1 乙

105 A1甲

【相关高考】（宁夏）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB．

7．三角函数与不等式

π?例7（湖北文）已知函数f(x)?2sin2??x????4??ππ?3cos2x，x??，?．（I）求f(x)的最大

?42?值和最小值；

ππ?（II）若不等式f(x)?m?2在x???，?上恒成立，求实数m的取值范围．

?42?8．三角函数与极值

例8（安徽文）设函数f?x???cos2x?4tsinxxcos?4t3?t2?3t?4,x?R 22其中t≤1，将f?x?的最小值记为g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)讨论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值. 三角函数易错题解析

例题1 已知角?的终边上一点的坐标为（sin（ ）。

A、

5?62?2?,cos33），则角?的最小值为

B、

2?3 C、

5?3 D、

11?6

例题2 A，B，C是?ABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x2?5x?1?0的两个实

数根，则?ABC是（ ）

A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角

4

形

例题3 已知方程x2?4ax?3a?1?0（a为大于1的常数）的两根为tan?，tan?，

??????tan且?、???，则的值是_________________. ,????22?2例题4 函数f(x)?asinx?b的最大值为3，最小值为2，则a?______，b?_______。 例题5 函数f(x)=例题6 若2sin2α

sinxcosx的值域为______________。

1?sinx?cosx?sin2??3sin?,则sin2??sin2?的取值范围是

例题7 已知??????，求y?cos??6sin?的最小值及最大值。

例题8 求函数f(x)?

例题9 求函数f(x)?sin2x?22cos(2tanx的最小正周期。

1?tan2x?4?x)?3的值域

例题10 已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0≤?≤?)是R上的偶函数，其图像关于点

3?M(?,0)对称，且在区间[0，]上是单调函数，求?和?的值。 42基础练习题

1、在?ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=

63663，则?C

的大小应为( )

3 A．? B．? C．?或5? D．?或2?

32、已知tan? tan?是方程x+3

3332

3x+4=0

的两根，若?，??(-?,?)，则?+?=（ ）

22 A．? B．?或-2? C．-?或2? D．-2?

3333、若sin??cos??1，则对任意实数n，sinn??cosn?的取值为（ ） A. 1

4、在?ABC中，3sinA?4cosB?6，3cosA?4sinB?1，则?C的大小为（ ） A.

5

B. 区间（0，1） C.

12n?1 D. 不能确定

?6 B. ?

56C.

?5或? 66 D.

?2或?33

5、函数y?2sin(A. [0,?3]

?6?2x)(x?[0,?])为增函数的区间是……………… ( )

B. [?2??12,7?] 12C. [?3,5?] 6 D. [5?,?] 6??6、已知?,????,??且cos??sin??0，这下列各式中成立的是（ ）

A.????? B.????3?2 C.????3?2 D.????3?2

） D、?16

657、△ABC中，已知cosA= A、16

655，sinB=3，则cosC的值为（ 135B、56 C、16或56

6565658、在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为（ ） A、? B、5? C、?或5? D、?或2?

6666339、设cos1000=k，则tan800是（ ） A、

1?k2k

?1?k2B、

k

1?k2C、?k D、?k1?k2

10、在锐角⊿ABC中，若tanA?t?1，tanB?t?1，则t的取值范围为（ ）

A、(2,??) B、(1,??) C、(1,2) D、(?1,1) 11、已知sin?m?34?2m?，cos??（????），则tan?? （C） m?5m?524?2mm?3535A、 B、? C、? D、?或?

m?34?2m41212?12、如果log1|x?2ππ|?log1，那么sinx的取值范围是（ 322121211)?(22 ）

12A．[?，] B．[?，1] C．[?，

1212，1] D．[?，

33，1] )?(2213、函数y?sinxcosx的单调减区间是（ ） A、[k???4,k???4] （k?z） B、[k??](k?z)

?3,k???](k?z) 44 C、[2k??

?4,2k???2 D、[k???4,k???2](k?z)

14、在△ABC中，3sinA?4cosB?6,4sinB?3cosA?1,则∠C的大小为 （ ）

6

A、30° B、150° C、30°或150° D、60°或150°

15、已知5cos2??4cos2??4cos?,则cos2??cos2?的取值范围是_______________. 16、若A??0,??,且sinA?cosA?713,则

17、设ω>0，函数f(x)=2sinωx在[?

5sinA?4cosA?_______________.

15sinA?7cosA??,]上为增函数，那么ω的取值范围是_____ 3418、已知奇函数f?x?在??1，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） 0?上为单调减函数，

A、f(cosα)＞ f(cosβ) B、f(sinα)＞ f(sinβ) C、f(sinα)＜f(cosβ) D、f(sinα)＞ f(cosβ) 19、函数y?sinx(sinx?cosx)(x?[0,20、若sin??5，α13?2])的值域是 2

．

是第二象限角，则tan?=__________

3421、求函数y?sin4x?cos4x?的相位和初相。

22、已知函数f(x)=－sin2x+sinx+a，（1）当f(x)=0有实数解时，求a的取值范

围；（2）若x∈R，有1≤f(x)≤17，求a的取值范围。

423、已知定义在区间[-?，2?]上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -?对称，当

36x?[-?，2?]时，函数f(x)=Asin(?x+?)(A>0, ?>0,-?

6322(1)求函数y=f(x)在[-?，2?]

3的表达式；

(2)求方程f(x)=24、将函数y?22的解。

右移个单得到的函

?4f(x)sinx的图像向

位后，再作关于x轴的对称变换

数y?1?2sin2x的图像，则f(x)可以是（ ）。 A、?2cosx B、2cosx C、?2sinx D、2sinx

7

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