（第一章）随机事件与概率习题

第一章 随机事件与概率

亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策。

──祖冲之

内容提要

1. 事件间的关系与运算（四种关系：包含关系、互不相容、对立和相互独立；三种运算：和、积与差；若干运算规律：交换律、结合律、分配律和对偶律：Ai?i?1?n ?A,?A??A）

iiii?1i?1i?1nnn2. 确定概率的三种方法：频率方法（P(A)?fn(A)?k(A出现的次数)；古典,n充分大）

n(试验的总次数)方法（用于求古典概型的随机试验中各种结果出现的概率：P(A)?（kA中的样本点数））；

（样本点总数）n几何方法（用于求几何概型的随机试验中各种结果出现的概率：P(A)?S（的度量）AA）；

S（??的度量）3. 概率的公理化定义及其简单性质

（1） 公理化定义：概率是定义在事件域??上的非负、规范、可列可加的实值函数：

1o非负性:P?A??02o规范性：P????13o可列可加性：PA1?A2???PA1?PA2??,,AiAj??(i?j)（2） 性质：

??????

1o.oP(?)?0,n?n?2.有限可加性:若A1,?,An互不相容，则P??Ai???P(Ai)?i?1?i?13o.单调性：A?B?P(B?A)?P(B)?P(A)且P(A)?P(B)4.oP(A)?1?P(A),5.P（A?B）?P（A）?P（AB），o

6o.加法公式:P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)，一般地n?n??n?n?1P??Ai???P(Ai)??P(AiAj)??P(AiAjAk)???(?1)P??Ai?1?i?j?n1?i?j?k?n?i?1?i?1?i?1?4. 条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes公式）

（1） 条件概率的定义

直观上的定义：已知A出现的条件下B发生的概率称为在A发生的条件下B的条件概率，记

作P?BA?；数学上的定义：P?BA????P(AB)。

P(A)（2） 三大公式

乘法公式：P?AB??P?A?PBA(P(A)?0)；一般地，若P(A1?An?1)?0，则

P(A1A2?An)?P(A1)P?A2A1?P?A3A1A2??P?AnA1?An?1?

全概率公式：设B1,B2,?,Bn是样本空间的一个分割，且P(Bi)?0,意事件A有

i?1,?,n，则对任

P?A??P?AB1?P?B1????P?ABn?P?Bn?。

Bayes公式：设B1,B2,?,Bn是样本空间的一个分割，且P(Bi)?0,P(A)?0，i?1,?,n，

P(ABi)则 P?BiA???P(A)P?ABi?P?Bi??P?AB?P?B?kkk?1n

5. 事件独立性与Bernoulli概型（独立性的实质及应用，Bernoulli概型的三个模型） （1） 两事件A与B的独立性：事件A发生与否对事件B是否发生没有影响，则称A与B

)?独立；数学上：A与B独立?P(ABP(A)?0?P?BA??P(B)。

p(A)P(；BA与B独立，且

一组事件A1,A2,?,An的独立性：若A1,A2,?,An发生与否互相没有影响，则称

A1,A2,?,An相互独立；数学上A1,A2,?,An相互独立?

P(AiAj)?P(Ai)P(Aj), （称为两两独立） P(AiAjAk)?P(Ai)P(Aj)P(Ak), （称为三三独立）

????

P(A1A2?An)?P(A1)P(A2)?P(An)， （称为n n独立）

（3）试验的独立性

结果独立的试验称为独立试验； 伯努利试验：只有两种结果的试验；

n重伯努利试验：将伯努利试验独立地进行n次的试验； 独立试验序列：一系列相互独立的试验。 6. 典型问题

问题1: 事件的表示与运算 问题2: 概率的基本公式及应用

问题3: 古典概型与几何概型的直接计算

问题4: 事件的独立性及其实质 问题5: 乘法公式与交事件的计算 问题6: 全概率公式与Bayes公式 问题7: Bernoulli试验序列的相关结论

手机响了，短信来了：

增字了了歌

她已听不懂课了， 他干脆不来上课了， 上不上课已无所谓了， 这学期概率统计完蛋了。

一、填空题

1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分），则?= ； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，则?= ； （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果，则?= ；

（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，则?= ； （5）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和，则?= ； （6）将一尺之锤折成三段，观察各段长度，则?= ；

（7）在某十字路口，记录一小时内通过的机动车辆数，则?= ； （8）记录某城市一天内的用电量，则?= 。

2. 设A，B，C为三件事，用A，B，C的运算关系表示下列各事件。 （1）“A发生，B与C不发生”= ；（2）；“A与B都发，而C不发生”= ； （3）“A，B，C中至少有一个发生”= ；(4)“A，B，C都发生”= ； （5）“A，B，C都不发生”= ；（6）“A，B，C中不多于一个发生”= ； （7）“A，B，C中不多于两个发生”= ；（8）“A，B，C中至少有两个发生”= 。

3. 在抛三枚硬币的试验中，试写出下列事件的集合表示。 （1）“至少出现一个正面”= ；（2）“最多出现一个正面”= ； （3）“恰好出现一个正面”= ；（4）“出现三面相同”= 。

4. 设??x0?x?2,A??x???1??13??x?1?,B??x?x??， 则

2??2??4（1）AB= ；（2）A?B= ； （3）AB= ；（4）AB= 。 5. 设A，B为两事件且P（A）=0.6，P（B）=0.7，则

（1）当 时，P（AB）取到最大值，最大值= ； （2）当 时，P（AB）取到最小值，最小值= 。

6. 设A，B，C为三件事，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,则A,B,C至少有一个发生的概率= 。

7. 设P(A)=P(B)=P(C)=

11,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=,则事件A,B,C都不发生的概率46= 。

8. 在一标准英语词典中有55个由两个不相同的字母所组成的单词，若从26个英文字母中任取两个字母予以排列，则能排成上述单词的概率= 。

9. 在电话号码簿中任取一个电话号码，则后面四个数全不相同的概率（设后面四个数中的每一个数都是等可能地取0，1，? ，9）= 。

10. 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3个记录其纪念章的号码。则

（1）最小号码为5的概率= ；（2）最大号码为5的概率= 。 11. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运过程中所有的标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个订货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客能按所定颜色如数得到货的概率= 。

12. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个。则

（1）恰有90个次品的概率= ；(2)至少有2个次品的概率= 。 13. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率= 。

14. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱。每个部件用3只铆钉。若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱。问发生一个部件强度太弱的概率= 。

15. 10个人随机地围一圆桌而坐，则甲、乙两人相邻而坐的概率= 。 16. 从0,1,2,?,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.

17. 有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.

18. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.

19. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.20.

20. 一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾。然后随机把六个头两两相接，六个尾两两相接，则放开手后六根草恰好连成一个环的概率= 。

21．在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之和小于6/5的概率= 。

22. 设A,B为随机事件，且P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B?A)=0.8,则P(A?B)= 。 23. 设A,B为随机事件，且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∪B)=0.6,则P(AB)= 。 24. 设在一次贝努利试验中，事件A发生的概率均为p,则在n次贝努利试验中，事件A至少发生一次的概率为（ ），至多发生一次的概率= 。

25. 已知事件A，B满足P(AB)?P(A?B)，记P(A)?p，则P(B)= 。 26. 已知P(A)?0.7,P(A?B)?0.3，则P(AB)= 。

27. 已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5，则PBA?B= 。 28. 已知P(A)???111,P(BA)?,P(AB)?，则P(A?B)= 。 43229. 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，则其中有一颗为1点的概率= 。

30. 三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率= 。

31. 设A,B,C两两独立的事件，且ABC??。若P(A)?P(B)?P(C)?1/2，且

P(A?B?C)?9/16，则P(A)= 。

32. 已知P(A)?0.4,P(A?B)?0.7,（1）若A和B不相容，则P(B)= ；（2）若A和B独立，则P(B)= ； （3）若A?B，则P(B)= 。

33. 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与

B发生A不发生的概率相等，则P(A)?__________。

34 设在三次独立试验中，事件A出现的概率均相等且至少出现一次的概率为在一次试验中事件A出现的概率= 。

35. 某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为

19 ，则2780，则此射手的命中率81= 。

36. 同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有2枚正面朝上的概率= 。

37. 某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.

38. 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为__________.

39. 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与

B发生A不发生的概率相等，则P(A)?__________.

40. 设在一次试验中，事件A发生的概率为p. 现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为__________，而事件A至多发生一次的概率为_________.

二、 是非题（指出下列命题中哪些正确，哪些不正确，并说明理由。）

1. A?B?AB?B。 2． AB?A?B。 3. A?BC?ABC。 4. ?AB?AB??。 5.若A?B,则A?AB。

6. 若AB??且C?A，则BC??。 7. 若A?B，则B?A。 8. 若B?A，则A?B?A。

9. 设P(AB)?0，则（1）A和B不相容； （2）A和B相容；（3）AB是不可能事

??AB不一定是不可能事件；P(A)?0或P(B)?0；P(A?B)?P(A)。件；（4） （5） （6）

10. 设P(A)?P(B)?1/2，则P(AB)?P(A?B)。 11．设P(A)?0，则p(BA)?1?P(B)。 P(A)12. 若A和B不相容，且P(B)?0，则 PAB???P(A)。

1?P(B)13. 设A，B是任意两个事件，切A?B,P(B)?0，则P(A)?PAB。 14. 概率为零的事件与任何事件都是独立的。

15. 设A,B,C是三个相互独立的事件，则A?B与C独立。 三、选择题

1. 设A,B为两事件且P（AB）=0,则( )。

Ａ. Ａ与Ｂ互斥 Ｂ．ＡＢ是不可能事件 Ｃ．ＡＢ未必是不可能事件 Ｄ．P(A)=0或P（B）=0

2. 若用事件A表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则事件A表示（ ）。

??A．甲产品滞销，乙产品畅销 B. 甲、乙两产品均畅销

Ｃ. 甲产品滞销 Ｄ．甲产品滞销或乙产品畅销 3. 设A,B,C是三个事件，在下列各式中，不成立的是（ ）.

（A） (A?B)?B?A?B; （B） (A?B)?B?A;

（C） (A?B)?AB?AB?AB; （D）(A?B)?C?(A?C)?(B?C). 5. 设随机事件A与B满足A?B，则（ ）成立。

A．P（A?B）=P（A） B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) 5. 设P(A)?a,P(B)?b,P(A?B)?c，则P(AB)等于（ ）.

（A）a?b； （B）c?b； （C）a(1?b)； （D）b?a. 6. 设两事件Ａ与Ｂ互斥，且P（A）＞0，P（B）＞0，则（ ）正确

A．A与B互斥 B. A与B互容

C. P（AB）=P（A）P（B） D. P（A-B）=P（A）

7. 设两事件Ａ与Ｂ同时发生时，事件C必发生，则（ ）成立。

A. P(C) ≤P(A)+P(B)-1 B. P(C) ≥P(A)+P(B)-1 C. P(C)=P(AB) D. P(C)=P(A?B) 8. 设两事件Ａ与Ｂ满足P(B|A)=1, 则（ ）正确。

A. A是必然事件 B. P(B|A)=0

C. A?B D. A?B

9. 设A,B为两事件，则P(A-B)=( )。

A.P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB) C.P(A)-P(AB) D.P(A)+P(B)-P(AB)

10. 设A,B为两事件，且0＜P(A)＜1,P(B)＞0,P(B|A)=P(B|A),则（ ）成立。

A. P(A|B)=P(A|B) C.P(AB)=P(A)P(B)

B. P(A|B)≠P(A|B) D. P(AB) ≠P(A)P(B)

11. 设0＜P(B)＜1,且P[(A1+A2)|B]= P(A1|B)+ P(A2|B),则（ ）成立。 A. [(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2)|B) B. P(A1B +A2B)= P(A1B)+ P(A2B) C. P(A1+A2)=P(A1|B)+ P(A2|B) D. P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2) 12. 设A,B是两个事件，且A?B,P(B)?0，则下列选项必然成立的是( ).

（A） P(A)?P(A|B)； （B） P(A)?P(A|B)； （C） P(A)?P(A|B)； （D） P(A)?P(A|B). 13. 下列命题中，正确的是（ ）.

（A） 若P(A)?0，则A是不可能事件；

（B） 若P(A?B)?P(A)?P(B)，则A,B互不相容；

（C） 若P(A?B)?P(AB)?1，则P(A)?P(B)?1； （D） P(A?B)?P(A)?P(B).

14. 设P(B)?0,A1,A2互不相容，则下列各式中不一定正确的是（ ）.

（A）P(A1A2|B)?0； （B）P(A1?A2|B)?P(A1|B)?P(A2|B)； （C）P(A1A2|B)?1； （D）P(A1?A2|B)?1.

15. 设A,B,C为三个事件且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是（ ）. （A）若P(C)?1，则AC与BC也独立； （B）若P(C)?1，则A?C与B也独立； （C）若P(C)?1，则A?C与A也独立； （D）若C?B，则A与C也独立. 16. 设A,B为随机事件，且A?B, 0＜P(B),则（ ）成立。

A. P(A) ＜P(A|B) B. P(A) ≤P(A|B) C. P(A) ＞P(A|B) D. P(A) ≥P(A|B) 17. 设A,B，C为三个独立的随机事件，0＜P(C)＜1,则事件（ ）不独立。 A. A?B与C B.AC与C C. A?B与C D. AB与C

18. 设A,B，C三个事件两两独立，则A,B，C三个事件独立的充分必要条件是（ ）。 A. A与BC独立 B. AB与 A∪C独立 C. AB与AC独立 D. A∪B与A∪C独立。 19. 设每次试验成功的概率为p(0?p?1)，现进行独立重复试验，则直到第10次试验才取得第4次成功的概率为（ ）.

44333444（A）C10 （B）C9 （C）C9 （D）C9p(1?p)6；p(1?p)6. p(1?p)6；p(1?p)5；

20. 一种零件的加工由两道工序组成. 第一道工序的废品率为p1，第二道工序的废品率为p2，则该零件加工的成品率为（ ）.

（A） （B） （C） （D）(1?p1)?(1?p2). 1?p1?p2；1?p1p2；1?p1?p2?p1p2；

四、计算题

1. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个。（1）求恰有90个次品的概率；(2)求至少有2个次品的概率。

2. 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？（试给出至少三种解法）

3. 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内独立随机地到达码头. 若两船到达后需在 码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等 待空出码头的概率。

4. 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P{孩子得病}=0.6，P{母亲得病│孩子得病}=0.5，P{父亲得病│母亲及孩子得病}=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

5. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：

两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。

6. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

7. 袋中有10个球，9个是白球，1个是红球，10个人一次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，问第一人，第二人，?，最后一人取得红球的概率各是多少？

8. （1） 设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球，m只红漆；乙袋中装有N只白球、M只红球，今从甲袋中任意取一只放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概

率是多少？

（2） 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一只盒子中任取2只球放入第二只盒子中去，然后从第二只盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

9. 设一人群中有37.5%的人血型为A型，20.9%为Ｂ型，33.7%为O型，7.9%为AB型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再任选一人为需要输血者，问输血能成功的概率是多少？ 受血者 受血者 输血者 A型 B型 AB型 O型 A型 B型 AB型 O型 √ × √ × × √ √ × √ √ √ × √ √ √ √ √：允许输血 ×：不允许输血 10. 某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。

11. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

12. 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格，则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格，则第二次及格的概率为p/2。(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次及格，求他第一次及格的概率。

13. 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收做B的概率为0.02，而B被误收做A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2:1，若接受站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？

14. 有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求(1)第一次取到的零件是一等品的概率；(2)第一次取到的零件时一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

15. 设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客随机察看4只，若无残次品，则买此箱玻璃杯，否则不买。求：

（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；

（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没残次品的概率。

16. 设考生的报名表来自三个地区，分别有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5份。随机地从一地区，先后任取两份报名表，求： (1)先取的那份报名表是女生的概率；

(2)已知后取到的报名表是男生的，而先取的那份报名表是女生的概率。

17. 设甲、乙、丙三导弹相同一敌机射击，甲、乙、丙击中敌机的概率分别为0.4,0.5,0.7.如果只有一弹击中，飞机坠毁的概率为0.2；如果只有两弹击中，飞机坠毁的概率为0.6；如果只有三弹击中，飞机坠毁的概率为0.9。试求：

（1）飞机坠毁的概率；

（2）如果已知飞机坠毁的概率，求是两弹击中的概率.

18. 某班n各战士各有1支归个人保管使用的枪,这些枪的外形完全一样,在一次夜间紧急集合中,每人随机地取了1支枪,试求

(1) 至少有1人拿到自己的枪的概率. (2) 恰好有k个人拿到自己的枪的概率.

19. 设有N个袋子，每袋子中装有a只黑球和b只白球。从第一袋子中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋子中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一袋子中取出一球为黑球的概率是多少?

20. 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 乘地铁到家的概率 乘汽车到家的概率 5:35～5:39 0.01 0.30 5:40～5:44 0.25 0.35 5:45～5:49 0.45 0.20 5:50～5:54 0.15 0.10 迟于5:54 0.05 0.05

某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。

21. （1）设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为p1,p2,p3,p4,将它们按图1-2（a）的方式联接（称为并串联系统）；

（2）设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5，它们的可靠性均为p，将它们按图1-2（b）的方式联接（称为桥式系统），试分别求这两个系统的可靠性。

22. 如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在Ｃ发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每一个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。

23. 如图1-3，1，2，3，4，5表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。

24. 设第一只盒子中装有3只篮球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只篮球，3只绿球，4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球。

（1）求至少有一只篮球的概率；（2）求有一只篮球一只白球的概率； （3）已知至少有一只篮球，求有一只篮球一只白球的概率。

25. A、B、C三人在同一办公室工作。房间里有一部电话，据统计知，打给A、B、C的电话的概率分别为2/5，2/5，1/5。他们三人常因工作外出，A、B、C三人外出的概率分别为1/2，1/4，1/4。设三人的行动相互独立。求

（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率。 若某一时间段打进3个电话，求

（3）这3个电话打给同一个人的概率； （4）这3个电话打给不相同的人的概率；

（5）这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。

26. 袋中装有m只正品硬币、n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽，问这只硬币是正品的概率为多少？

27. 设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率的概率为1/6。并设击伤两次也会导致潜水艇下沉。求释放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率。（提示：先求出击不沉的概率。）

29. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，或三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率。

29. 小王与小李对同一目标轮流射击，当一人没命中目标后，另一人可继续射击，直到有人命中为止，命中目标者为获胜者，设两人命中目标的概率都为p(0

30. 甲,乙两袋中各装有1只白球和1只黑球，从两袋中各取出一球相互交换后放入另一代中，这样进行了若干次。以pn,qn,rn分别记在第n次交换后甲袋中将包两只白球，一只白球一只黑球，两只黑的概率。试导出pn?1,qn?1,rn?1用pn,qn,rn表出的关系式。利用它们求pn?1,qn?1,rn?1的表达式，并讨论当n??时的情况。

五、证明题

1. 对任意的事件A,B,C，证明：

（1） P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A)；

（2） P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A)?P(B)?P(C)?1。

2. 设事件A,B,C的概率都是1/2，且P(ABC)?P(A?B?C)，证明：

2P(ABC)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?1/2。

3. 证明： （1） P(AB)?P(A)?P(B)?1； （2） P(AB)?P(A)P(B)?（3） P(A1A2?An)?P(A1)?P(A2)???P(An)?(n?1)。

1； 44. 若PAB?PAB，试证PBA?PBA。

?????????k??设昆虫生产k个卵的概率e(??0为常数)，又设一个虫能孵化为k!5. 昆虫的概率为p。若卵的孵化是相互独立的，试证：此昆虫的下一

r代有r条昆虫的概率为??p?e??pr!.6. 设0?P(B)?1，试证A和B独立的充要条件是PAB?PAB。 7. 设0?P(A)?1，0?P(B)?1，PAB?PAB?1，试证A和B独立。 8. 设P(A)?0，P(B)?0，若A和B独立，试证A和B相容。

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