步步高 学案导学设计高中数学 3.2一元二次不等式及其解法（二）

3.2 一元二次不等式及其解法(二)

【课时目标】

1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式． 2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．

1．一元二次不等式的解集： 判别式 Δ>0 Δ＝0 2Δ＝b－4ac x10 b{x|x∈R且x≠－} (a>0) {x|x< x1或x>x2} 2a2ax＋bx＋c<0 (a>0) {x|x1

Δ<0 R ? fx>0?f(x)·g(x)>0；

gx?gx?fxfx(2)≤0??

gx?gx?

(1)(3)

；

fxfx－agx≥a?≥0.

gxgx3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：

ax2

??a>0

＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立??

?Δ<0?

?a<0?

ax2＋bx＋c≤0 (a≠0)恒成立??

??Δ≤0

； .

(2)一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则： a>f(x)，x∈D恒成立?a>f(x)max； a

一、选择题

x－2

1．不等式>0的解集是( )

x＋3

A．(－3,2) B．(2，＋∞)

C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 答案 C

x－2

解析 解不等式>0得，x>2或x<－3.

x＋3

2．不等式(x－1)x＋2≥0的解集是( )

A．{x|x>1} B．{x|x≥1}

C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1} 答案 C

解析 当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1. ∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．

x2－2x－2

3．不等式2<2的解集为( )

x＋x＋1

A．{x|x≠－2} B．R

C．? D．{x|x<－2或x>2} 答案 A

2222

解析 原不等式?x－2x－2<2x＋2x＋2?x＋4x＋4>0?(x＋2)>0，∴x≠－2. ∴不等式的解集为{x|x≠－2}．

x＋5

4．不等式≥2的解是( )

x－211

A．[－3，] B．[－，3]

2211

C．[，1)∪(1,3] D．[－，1)∪(1,3]

22答案 D 解析

x＋5x－

??x＋?≥2?2

??x－1≠0

x－

2

1??－≤x≤3，

??2??x≠1，

1

∴x∈[－，1)∪(1,3]．

2

2

5．设集合A＝{x|(x－1)<3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中元素的个数是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 答案 C

2

解析 解不等式(x－1)<3x＋7，然后求交集．

2

由(x－1)<3x＋7，

得－1

∴A∩Z的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素．

2

6．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )

A．13 C．12 答案 B

2

解析 设g(a)＝(x－2)a＋(x－4x＋4)，

2

?＝x－3x＋2>0?gg(a)>0恒成立且a∈[－1,1]?? 2

?g－＝x－5x＋6>0?

??x<1或x>2

??

?x<2或x>3?

?x<1或x>3.

二、填空题 7．若关于x的不等式

x－a>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________. x＋1

答案 4

x－a解析 >0?(x＋1)(x－a)>0

x＋1

?(x＋1)(x－4)>0 ∴a＝4.

2

8．若不等式－x＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案 a≥1

解析 ∵Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.

9．若全集I＝R，f(x)、g(x)均为x的二次函数，P＝{x|f(x)<0}，Q＝{x|g(x)≥0}，

?，?fx则不等式组?的解集可用P、Q表示为________．

x答案 P∩?IQ

解析 ∵g(x)≥0的解集为Q， 所以g(x)<0的解集为?IQ，

?，?fx?因此的解集为P∩?IQ. ?gx?

2

10．如果A＝{x|ax－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围为________． 答案 0≤a≤4

?a>0?

解析 a＝0时，A＝?；当a≠0时，A＝??ax2－ax＋1≥0恒成立??

??g

??Δ≤0

?0

综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤4. 三、解答题

11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按

5

耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损

2

失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t%应在什么范围内变动？

解 由题意可列不等式如下：

?20－5t?·24 000·t%≥9 000?3≤t≤5. ?2???

所以t%应控制在3%到5%范围内．

2??x－x－2>0，

12．关于x的不等式组?2的整数解的集合为{－2}，求实数k?2x＋k＋x＋5k<0?

的取值范围．

2

解 由x－x－2>0，可得x<－1或x>2.

2??x－x－2>0，∵?2的整数解的集合为{－2}， ?2x＋k＋x＋5k<0?

52

方程2x＋(2k＋5)x＋5k＝0的两根为－k与－，

2

5

①若－k<－，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；

25

②若－<－k，则应有－2<－k≤3，

2

∴－3≤k<2.

综上，所求的k的取值范围为－3≤k<2. 【能力提升】

2222

13．已知x1、x2是方程x－(k－2)x＋k＋3k＋5＝0(k∈R)的两个实数根，则x1＋x2的最大值为( )

50

A．18 B．19 C. D．不存在

9

答案 A

解析 由已知方程有两实数根得，Δ≥0，

22

即(k－2)－4(k＋3k＋5)≥0.

4

解得－4≤k≤－，

3

2222

又x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝－(k＋5)＋19，

22

∴当k＝－4时，x1＋x2有最大值，最大值为18.

2

14．已知不等式x＋px＋1>2x＋p.

(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围； (2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．

2

解 (1)不等式化为(x－1)p＋x－2x＋1>0，

2

令f(p)＝(x－1)p＋x－2x＋1，

则f(p)的图象是一条直线．又∵|p|≤2，

?，?f－

∴－2≤p≤2，于是得：?

??f??即???

2

x－x－

－

2

＋x－2x＋1>0，

2

＋x－2x＋1>0.

??x－4x＋3>0，即?2

?x－1>0.?

∴x>3或x<－1.

故x的取值范围是x>3或x<－1.

2

(2)不等式可化为(x－1)p>－x＋2x－1， ∵2≤x≤4，∴x－1>0.

2

－x＋2x－1∴p>＝1－x.

x－1

由于不等式当2≤x≤4时恒成立， ∴p>(1－x)max.而2≤x≤4， ∴(1－x)max＝－1，于是p>－1. 故p的取值范围是p>－1.

1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．

2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)a

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