概率论与数理统计练习册

概率论与数理统计练习册

（2009年版）

华中师范大学汉口分校

·概率论与数理统计练习册· [第一章] 随机事件及其概率

习题1-1 随机事件

1、选择题

（1）设A,B,C为三个事件，则“A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ ） A AB?AC?BC B A?B?C C ABC?ABC?ABC D A?B?C （2）设三个元件的寿命分别为T1,T2,T3，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t”可表示为（ ）

A ?T1?T2?T3?t? B ?TT12T3?t? C min?T1,T2,T3??t D max?T1,T2,T3??t. 2、用集合的形式表示下列随机试验的样本空间与随机事件A：

（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A表示“点数之和大于10”。

?????? ；A? 。

（2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A表示“射击次数不超

过5次”。

?? ；A? 。

3、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件： （1） （2） （3） （4） （5） （6）

A，B，C都发生： ； A，B，C都不发生： ； A发生，B与C不发生： ； A，B，C中至少有一个发生： ； A，B，C中至少有两个发生： ； A，B，C中不多于两个发生： 。

4、设某工人连续生产了4个零件，Ai表示他生产的第i个零件是正品（i?1,2,3,4），试用

Ai表示下列各事件：

（1）只有一个是次品； （2）至少有一个次品； （3）没有一个是次品； （4）恰好有三个是次品； （5）至少有三个不是次品。

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班级： 姓名： 学号：

习题1-2 随机事件的概率

1、填空题

（1）已知A?B，P(A)?0.4，P(B)?0.6，则

P(A)? ，P(AB)? ，

P(A?B)? ，P(AB)? ，P(AB)? ，P(AB)? 。（2）一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，其中恰有1件次品的概

率为 。

（3）某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为 。 2、选择题

（1）如果A与B互不相容，则（ ）

A AB?? B A?B C A?B?? D A?B?? （2）事件A与B互相对立的充要条件是（ ）

A P(AB)?P(A)P(B), B P(AB)?0且P(A?B)?1, C AB??且A?B??,. D AB?? （3）设A、B是任意两事件，则P(A?B)? 。

A P(A)?P(B)； B P(A)?P(B)?P(AB)； C P(A)?P(AB)； D P(A)?P(B)?P(AB)。 （4）如果P(AB)?0，则（ ）

A A与B不相容 B A与B不相容 C P(A?B)? ) D P(A?B)?P(A)?P(B) P(A（5）设P(A)＋P(B)＝1，则（ ）

A P(A?B)＝1 B P(A?B)＝P(A?B) C

P(A?B)＝0 D P(A?B)＝P(A?B)

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·概率论与数理统计练习册· [第一章] 随机事件及其概率

3、袋内放有2个伍分，3个贰分，5个壹分的钱币，任取其中5个，求其金额总数超过壹角的概率。

4、向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个军火库的概率各为0.1。只要炸中一个另外两个必然爆炸，求军火库发生爆炸的概率。

5、两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1h和2h，求有一艘轮船停靠泊位时需要等待一段时间的概率。

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班级： 姓名： 学号：

习题1-3 条件概率

1、选择题：

（1）设A，B为两个互逆事件，且P(A)?0，P(B)?0，则 。 （A）P(BA)?0； （B）P(AB)?P(A)；

（C）P(AB)?0； （D）P(AB)?P(A)P(B)。 （2）已知P(A)?0.3，P(B)?0.5，P(AB)?0.15，则 。

（A）P(BA)?P(B)； （B）P(BA)?P(B)； （C）P(AB)?P(A)； （D）P(AB)?P(A)。

2、已知P(A)?0.5，P(B)?0.6，P(BA)?0.8，求P(AB)。

3、口袋中有20个球，其中两个是红球，现从袋中取球三次，每次取一球，取后不放回，求

第三次才取到红球的概率。

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·概率论与数理统计练习册· [第一章] 随机事件及其概率

4、 已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有

3件合格品，从甲箱任取3件放入乙箱，然后再从乙箱中任取一件产品，求该产品为次品的概率。

5、 一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中

任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？

6、某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名

女生．在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率．

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班级： 姓名： 学号：

习题1-4 独立性

1、选择题：

（1）设P(A)?0.8，P(B)?0.7，P(AB)?0.8，则下列结论正确的是 。 （A）B?A； （B）P(A?B)?P(A)?P(B)；

（C）事件A与事件B相互独立； （D）事件A与事件B互逆。 （2）设0?P(A)?1，0?P(B)?1，P(AB)?P(AB)?1，则 。

（A） 事件A与B互不相容； （B）事件A与B互逆； （C） 事件A与B不相互独立； （D）事件A与B相互独立。

（3）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p，第二道工序的废品率为q，则该零件加工的成品率为（ ）

（A） 1?p?q （B）1?pq （C）1?p?q?pq （D）(1?p)?(1?q) 2、已知P(A)??，P(B)?0.3，P(A?B)?0.7。 （1）若事件A与B互不相容，求?； （2）若事件A与B相互独立，求?；

3、对同一目标进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次射击的命中率分别为0.4，0.5，

0.7。求在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率。

4、甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7。目标被击中一发而冒烟的概率为0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中三发则必定冒烟，求目标冒烟的概率。

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·概率论与数理统计练习册· [第二章] 一维随机变量及其分布

习题2-1 随机变量及其分布函数 习题2-2 离散型随机变量

1． 填空题

(1) 设随机变量X的分布律为:P?X?k??a, k?1,2,?，N，试确定Na?_________。

(2) 一批产品共100个，其中有10个次品，以X表示任意取出的5个产品中的次品数，则X的分布律为 。

(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是p，以X 表示射击的次数，则X的分布律为 。 2. 设随机变量X的分布律为:

X pk 0 1 1 2 3 1 16 316 1 24求X的分布函数F(x), 及P?X?2?,P?0?X?3?。

3． 将一颗骰子抛掷两次，以X1表示两次所的点数之和，，以X2表示两次中得到的小的点

数，试分别求X1，X2的分布律。

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班级： 姓名： 学号：

4．设一批产品共100只，其中有10只次品，从中取3次，每次任取1只，以X表示取出

的3只中次品的只数，分别求出在不放回抽样和有放回抽样两种情形下X的分布律。

5． 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问

(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？ (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？

6． 某厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的可能性都是0.6. 现在为某件事的可行与

否个别地征求每个顾问的意见，并按多数顾问的意见作决策. 求作出正确决策的概率。

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·概率论与数理统计练习册· [第二章] 一维随机变量及其分布

习题2-3连续型随机变量

?A(1?e?x)，x?01. 设随机变量X的分布函数为F(x)??, 试求：

0，x?0?（1）系数A；（2）X的密度函数；（3）P?1?X?3?.

2. 设随机变量X的概率密度为

?Ax2 , 1?x?2, f(x)???Ax , 2?x?3,

?0 , 其他? 试求：(1)系数A; (2)X的分布函数; (3)PX?2

??

3. 设连续型随机变量X~N（，（1）求P?2?X?5?,PX?2；（2）确定3，4）常数C使P?X?C??P?X?C?.

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??班级： 姓名： 学号：

4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度

?1000?，x?1000 fX(x)??x2，

??0，其他 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿

命大于1500小时的概率是多少？

5. 设K在(0，5)内服从均匀分布, 求方程4x2?4Kx?K?2?0有实根的概率.

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·概率论与数理统计练习册· [第二章] 一维随机变量及其分布

习题2-4 随机变量的函数的分布

1．设随机变量X的分布律为 X -2 1/6 2-1 1/3 0 1/6 1 1/3 pk 试求：(1)Y?2X?1，(2)Z?X的分布律。

2．设随机变量X~U(0,1), 求:Y??2lnX的密度函数。

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班级： 姓名： 学号：

3．设随机变量X~N (0,1), 求:Y?X的密度函数。

4．设随机变量X的密度函数为 f?e?x,X(x)???0,求Y?X2的概率密度。

?1?x?1其他

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·概率论与数理统计练习册· [第三章] 多维随机变量及其分布

习题3-1 二维随机变量

1．一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件.现从中随机抽

取一件，记

?1,若抽到一等品?1，若抽到二等品X1?? X2??

0,其他0，其他??求随机变量(X1,X2)的联合分布律.

2． 带中装有标号为1，2，2的3个球，从中任取一个并且不放回，用X,Y 分别表示第一、

第二次取到球上的号码数. 求(X,Y)的联合分布律.

3．设随机变量(X,Y)的概率密度为

?Ae?(2x?3y),x?0,y?0f(x,y)??

0,其他?求（1）常数A；

（2）(X,Y)的分布函数F(x,y)； （3）P{Y?X}．

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班级： 姓名： 学号：

习题3-2 边缘分布

1． 完成下列表格

Y X y1 0.1 0.2 y2 y3 0.2 pi. 0.4 1 x1 x2 p.j 0.2

2．随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能的取值，另一随机变量Y在1～X中等

可能的取值，试求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律.

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·概率论与数理统计练习册· [第三章] 多维随机变量及其分布

3．二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?(1?2x)(1?2y)/4,0?x?1,0?y?1 f(x,y)??0,其他?求(X,Y)的边缘概率密度.

4．二维随机变量(X,Y)在以原点为圆心，R为半径的圆上服从均匀分布，试求(X,Y)的

联合概率密度和边缘概率密度.

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班级： 姓名： 学号：

习题3-3 条件分布 习题3-4 随机变量的独立性

1．二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

X Y 0 1 0 0.3 0.4 1 0.2 0.1 试求在Y=1的条件下X的条件分布律.

?e?(x?y),x?0,y?02．随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??

其他?0,（1）求条件概率密度fY|X(y|x)和fX|Y(x|y)； (2）说明X与Y的独立性.

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·概率论与数理统计练习册· [第三章] 多维随机变量及其分布

3. 设随机变量X与Y相互独立，试完成下表： Y X x1 x2 p.j y1 1/8 1/6 y2 1/8 y3 pi. 1

4．设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0,1）内服从均匀分布，Y的概率密度为

?1?y/2?e,fY(y)??2??0,（1） 求X与Y的联合概率密度；

2y?0y?0．

（2） 设关于a的二次方程为 a?2Xa?Y?0，求此方程有实根的概率.

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班级： 姓名： 学号：

习题3-5 两个随机变量的函数的分布

1．设(X,Y)的联合分布律为：

X Y 0 1

求：（1）Z?X?Y的分布律； （2）V?min(X,Y)的分布律.

2．设随机变量(X,Y)的概率密度为

0 0.25 0.15 1 0.1 0.15 2 0.3 0.05 ?6x,0?x?1,y?0,x?y?1f(x,y)??

0,其他?试求Z?X?Y的概率密度.

3. 设随机变量Y服从参数为1的指数分布，记X1??联合分布律和边缘分布律，并判断它们的独立性.

?1,Y?i试求(X1,X2)的(i?1,2)，

?0,Y?i 18

·概率论与数理统计练习册· [第四章] 随机变量的数字特征

习题4—1 数学期望

1．设X的分布列为：

X P 1 1 2 211111 366124-1 0 2求（1）E(X)；（2）E(?X?1)；（3）E(X).

2．设二维随机向量(X,Y)的联合分布列为

Y X 0 1 0 0.3 0.2 1 0.4 0.1 求E(X),E(Y),E(X?2Y),E(3XY).

3．把4个球随机地放入4个盒子中去，设X表示空盒子的个数，求E(X)。

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班级： 姓名： 学号：

4．设连续型随机变量X的概率密度为

??kxa,f(x)?? ??0,0?x?1其它

其中k，a?0，又已知E(X)?0.75，求k，a的值.

5．设(X,Y)服从在A上的均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x?y?1?0所围成的区域，求（1）E(X); （2）E(?3X?2Y) ;（3）E(XY).

6．某工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，其概率密度为:

x?1?4?f(x)??4e,x?0

?x?0?0,工厂规定，出售的设备在售出一年之内可以调换，若工厂售出一台设备赢利100元,调

换一台设备厂方需花费300元,试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。

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·概率论与数理统计练习册· [第四章] 随机变量的数字特征

习题4—2 方差

1、 填空题

（1）已知X~N(?2,0.4)，则E(X?3)＝ （2）设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则（3）设X的概率密度为f(x)?22D(3X?Y)?

1?e?x，则D(X)＝

2（4）设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1~U[0，6]，X2~N（0，22），X3服从参数

为?=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=

2、选择题

（1）对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?E(X)?E(Y)，则

A）D(XY)?D(X)?D(Y) B）D(X?Y)?D(X)?D(Y) C）X和Y独立 D）X和Y不独立 （2）设X~?(?)，且E??(X?1)?X?2????1，则?= A）1， B）2， C）3， D）0

3、一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，

0.3， 假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望E(X)和方差D(X)。

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班级： 姓名： 学号：

4、设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为

量X?Y的方差。

1的正态分布，求随机变2?12y2,0?y?x?15、设(X,Y)的概率密度为f(x,y)??, 求D(X)，D(Y)。

其它?0,

6、在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用契比雪夫不等式估计：在1000试验中，

事件A发生的次数X在400～600之间的概率。

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·概率论与数理统计练习册· [第四章] 随机变量的数字特征

习题4—3 协方差与相关系数 习题4—4 矩 协方差矩阵

1、选择题和填空题

（1）设X与Y的相关系数??0，则 A. X与Y相互独立。 B. X与Y不一定相关。 C. X与Y必不相关。 D. X与Y必相关。

（2）设随机变量X与Y的期望和方差存在，且D(X?Y)?DX?DY,，则下列说法哪个

是不正确的 。

A. D(X?Y)?DX?DY, B. E(XY)?EX?EY， C. X与Y不相关， D. X与Y独立； （3）设D(X)?16,D(Y)?25,?xy??0.4，则Cov(X,Y)? 2、已知随机变量X与Y都服从二项分布B(20，0.1)，并且X与Y的相关系数?XY=0.5，

试求X?Y的方差及X与2Y?X的协方差。

?k,0?x?1,0?y?x3、设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为：f (x ,y)=?

0,其他?求：① 常数k.. ② E?XY?及Cov(X,Y)。

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班级： 姓名： 学号：

4、某批导线的电阻R~N(?,0.005)(单位:?)，从中随机地抽取9根，测得其样本标准差s?0.008?.可否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?(取??0.05)？

5、测得两批电子元件样品的电阻(?)：

0.140 0.138 0.143 I批

0.135 0.140 0.142 II批

220.142

0.136

20.144 0.138 0.137 0.140

设这两批元件的电阻总体分别服从N(?1,?1)，N(?2,?2)，且两样本相互独立。试问这两批电子元件电阻的方差是否一样？(??0.05) 34

·概率论与数理统计练习册· 参考答案

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