2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.4平行关系学案理北师大版

§8.4 平行关系

最新考纲 考情考向分析 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，直线、平面平行的判定及其性质是高考中的认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理． 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题. 重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.

1．直线与平面平行的判定与性质

判定 定义 定理 性质 图形 a∩α＝? a∥α aα，b?α，a∥b b∥α a∥α a∥α，aβ，α∩β＝b 条件 结论

a∩α＝? a∥b 2.面面平行的判定与性质

图形 判定 定义 定理 性质 aβ，bβ， α∥β，α∩γ α∥β，条件 α∩β＝? a∩b＝P，a∥α，b∥α ＝a，β∩γ＝b aβ a∥α 结论

α∥β α∥β a∥b 知识拓展 重要结论：

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( × ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ ) (5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × ) (6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( × ) 题组二 教材改编

2．下列命题中正确的是( )

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，则b∥α 答案 D

解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．

3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．

答案 平行

解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，

在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO， 而BD1?平面ACE，EO平面ACE， 所以BD1∥平面ACE. 题组三 易错自纠

4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )

A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一与a平行的直线 答案 A

解析 当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A. 5．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：

①aα，bβ，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，

a∥b.

其中能推出α∥β的条件是________．(填上所有正确的序号) 答案 ②④

解析 在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交； 由α∥γ，β∥γ?α∥β，条件②满足；

在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足．

6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．

答案 平行四边形

解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，

又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，

∴EF∥HG.同理EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形．

题型一 直线与平面平行的判定与性质

命题点1 直线与平面平行的判定

1

典例 如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD2的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

(1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：GH∥平面PAD. 证明 (1)连接EC，

1

∵AD∥BC，BC＝AD，

2∴BC綊AE，

∴四边形ABCE是平行四边形， ∴O为AC的中点．

又F是PC的中点，∴FO∥AP，

又FO平面BEF，AP?平面BEF，∴AP∥平面BEF. (2)连接FH，OH，

∵F，H分别是PC，CD的中点，

∴FH∥PD，又PD平面PAD，FH?平面PAD， ∴FH∥平面PAD.

又O是BE的中点，H是CD的中点，

∴OH∥AD，又AD平面PAD，OH?平面PAD， ∴OH∥平面PAD.

又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又GH平面OHF，∴GH∥平面PAD. 命题点2 直线与平面平行的性质

典例 (2017·长沙调研)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

(1)证明：GH∥EF；

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积． (1)证明 因为BC∥平面GEFH，BC平面PBC， 且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC. 同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.

(2)解 如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.

因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC， 同理可得PO⊥BD.

又BD∩AC＝O，且AC，BD底面ABCD， 所以PO⊥底面ABCD.

又因为平面GEFH⊥平面ABCD， 且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK， 所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD， 从而GK⊥EF.

所以GK是梯形GEFH的高．

由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，

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