智能控制 第二章 模糊控制的数学基础

第二章 模糊控制数学基础

模糊概念 在经典集合论中，人们对事物的描述是精确的，这种集合论要 求一个事物对于一个集合要么属于，要么不属于，二者必居其一， 且仅居其一，绝不允许模棱两可。比如，一个学生要么属于“大 学生”,要么不属于。 但是在现实生活中，人们对事物的描述并非都可以精确的用 “属于”或“不属于”这两种截然不同的状态来进行划分。 模糊性普遍存在于人类思维和语言交流中，是一种不确定性的 表现。在实际生活中，经常听到这样的话“他很高”、“她很年 轻”、“她的成绩很好”等，其中的“高”、“年轻”、“成绩 好”都是模糊的概念，究竟多高才算高，究竟多少岁才算老，或 者说年轻和年老的分界线是多少岁，成绩多好才算好，都没有一 个十分确定的界限。

模糊概念

天气冷热

雨的大小

风的强弱

人的胖瘦

年龄大小

个子高低

模糊概念没有明确外延的概念，即没有明确符合某概念的 对象的全体，如“天气冷热”、“雨的大小”、 “风的强弱”、“人的胖瘦”、“年龄的大小”、 “个子高低”。是客观事物本质属性在人们头脑 中的反映。例：高温天气的定义， 按照经典集合理论的表示方式，高温={T∣T>36℃}。35.9℃不 属于高温35.9℃当然属于高温天气，温度已经相当高，无非属于高温 天气的程度99%,不如36℃的程度高，但是比30℃的程度高。 4

模糊控制 模糊控制 人们已经无法回避客观上存在的模糊现象。 扎德(Zadeh)教授提出的模糊集合理论，其核心是对复杂系 统或过程建立一种语言分析的数学模式，使自然语言能直接转化 为计算机所能接受的算法语言。 正是在这种背景下，作为智能控制的一个重要分支的模糊控制 理论产生了。模糊数学和模糊控制理论的发展虽然只有几十年的 历史，但其理论和引用的研究已取得了丰硕的成果。尤其随着模 糊逻辑在自动控制领域的成功应用，模糊控制理论和方法的研究 引起了学术界和工业界的广泛关注。

2.1 概述

模糊控制的定义 对于一个熟练的操作人员，他往往凭借丰富的实践经验， 采取适当的对策来巧妙地控制一个复杂过程，得到满意的 控制效果。若能将这些熟练操作员的实践经验加以总结和 描述，并用语言表达出来，就会得到一种定性的、不精确 的控制规则。如果用模糊数学将其定量化就转化为模糊控 制算法，形成模糊控制理论。 模糊控制是建立在人工经验(定性的、不精确的)基础之 上的，模仿人类的思维方式，采用模糊数学对模糊现象进 行识别和判决，给出精确的控制量，对被控对象

进行控制。 模糊数学是模糊控制的数学基础， 6

2.1 概述模糊数学 模糊数学是模糊控制的数学基础，将模糊性和集合 论统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使 其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。

模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用 数学工具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对 经典数学的扩展，它在经典集合理论的基础上引入了 “隶属函数”的概念，来描述事物对模糊概念的从属 程度。

用模糊來调和对立180公分 179公分高的程度1

Crisp公分180

高的程度1

Fuzzy公分160 180

模糊是可以用來调和对立的。譬如说：如果硬要规定180公分以上才叫高 的人，那么身高179公分的人就要抗议了。但是如果高的定义定義是由这 样的隶属函数來定义的话，179公分已经相当高了！

2.1 概述1

幼

青

老

10 30 50

年龄

小明(20岁) :0.5/幼+0.5/青

小明的父(30岁) :0.25/青+0.75/老小明的阿公(50岁) :0/幼+1/老 9

2.1 概述 手动控制、经验控制和模糊控制的比较手动控制 控制经验 + 当前状态 操作员 手动给出 根据当前的状 计算机 态，对照控制 自动给出 经验，给出适 当的控制量 控制量

经验控制

将控制经验 事先总结归 纳好，放在 计算机中。事先总结归 纳出一套完 整的控制规 则，放在计 算机中。

传感器 + 测量的 当前值

模糊控制

传感器 + 测量的 当前值

模糊推理判决计算出

控制量

模糊控制发展的三个阶段 1)基本模糊控制 2)自组织模糊控制

3)智能模糊控制

三个阶段比较基本模糊控制：针对特定对象设计，控制效果好。控制过程中规则不变， 不具有通用性，设计工作量大。 自组织模糊控制：某些规则和参数可修改，可对一类对象进行控制。 智能模糊控制：具有人工智能的特点，能对原始规则进行修正、完善和扩 展，通用性强。

2.1 概述 模糊控制的特点1.无需知道被控对象的数学模型 模糊控制是以人对被控系统的控制经验为依 据而设计的控制器，故无需知道被控系统的 数学模型。

2.是一种反映人类智慧思维的智能控制

模糊控制采用人类思维中的模糊量， 如“高”、“中”、“低”、“大”、 “小”等，控制量由模糊推理导出。这些 模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。

3.易被人们所接受

模糊控制的核心是控制规则。模糊控制中的知识表示、模糊规则 和模糊推理是基于专家知识或熟练操作者的成熟经验。这些规则 是以人类语言表示的。很明显这些规则易被一般人所接收和理解。 如“衣服较脏，则投入洗涤剂较多，洗涤时间较长”, “今天气 温高，则

今天天气暖和”.

2.1 概述 模糊控制的特点4. 构造容易

用单片机等来构造模糊控制器，其结构与一般的 数字控制系统无异，模糊控制算法用软件实现， 也可以用专用模糊控制芯片直接构造控制器。 5.鲁棒性好模糊控制系统无论被控对象是线性的还是非线性 改的，都能执行有效的控制，具有良好的鲁棒性 和适应性。

2.1 经典集合的简要回顾 经典集合的定义* 集合 * 属于 具有特定属性的对象的全体，称为集合。 若元素 a 是集合 A 的元素，则称元素 a 集合通常用大写字母A,B,……,Z来 属于集合 A ,记为a∈A;反之，称a不属 表示。 于集合A,记做 a A 。 * 元素 组成集合的各个对象，称为元素，也称 *包含 为个体。通常用小写字母a,b,……, 若集合A是集合B的子集，则称集合A包含于 z来表示。 集合B,记为 A B ;或者集合B包含集合A, * 论域 B 。A 记为 所研究的全部对象的总和，叫做论域， 也叫全集合。 *相等 * 空集 对于两个集合A和B,如果A∈B和B∈A同时 不包含任何元素的集合，称为空集，记 成立，则称A和B相等，记做A=B。此时A和 做Φ。 B有相同的元素，互为子集。 * 子集 集合中的一部分元素组成的集合，称 *有限集 为集合的子集。 如果一个集合包含的元素为有限个，就叫 做有限集；否则，叫做无限集。

2.1 经典集合的简要回顾 普通集合的并、交、补运算设A、B为同一论域上的集合，则A与B的并集(A∪B) 、交集 (A∩B) 、 补集 A 分别定义为：

A∪B={u∈A or u ∈B} A∩B={u∈A and u ∈B}

A {u u A}

2.1 经典集合的简要回顾 集合的直积设A、B分别为论域U、V上的集合，由A和B的各自元素 a∈A及b∈B做成的序偶(a,b)组成的集合，称为A与B 的直积，记作A×B。即： A×B={(a,b) a∈A,b∈B}例：若A={a,b,c},B={1,2},则 A×B={(a, 1) (a, 2) (b, 1) (b, 2) (c, 1) (c, 2)} B×A={(1, a) (1, b) (1, c) (2, a) (2, b) (2, c)}

直积又称为笛卡尔积，叉积。16

2.1 经典集合的简要回顾 经典集合的表示方法* 元素列举法 列举法将集合中的所有元素一一列举出来写在一个大括号内 来表示集合，该方法只能用于有限集的表示。 例如10-20之间的偶数组成集合A,则A可表示为 A={10,12,14,16,18,20} * 描述法/规则叙述法/定义法 描述法将集合中所有元素的共同特征列在大括号中表征出来， 适用于有很多元素而不能一一列举的集合。 上例中的集合A也可用表征法表示为 A={a|a为偶数，10≤a ≤20} 例A={T|T>36℃},A={x|1<x<10}A={大专生，本科生，硕士生，博士生} 元素列举法

A={高等院校培养的全部学生}

描述法

2.1 经典集合的简要回顾 经典集合

的表示方法* 归纳法通过一个递推公式来描述一个集合。给出集合中的一个元素和一个 规则，集合中的其它元素可以借助这个规则来找到。 例如 U={ui+1=ui+1,i=1,2、、、10,u1=1}

* 特征函数表示法特征函数表示法利用经典集合论非此即彼的明晰性来表示集合。适 合于描述元素属于或不属于集合。 例 对于论域U,任意 A U, x U ,有

1, u U TU (u ) 0, u U

2.1 经典集合的简要回顾 集合的运算* 集合交集 设X,Y为两个集合，由既属于X又属于Y的元素组成的 集合P称为X,Y的交集，记作X P Y

X∪Y={u∈X or u ∈Y}X

Y Q

*集合并集设X,Y为两个集合，由属于X或者属于Y的元素组成的 集合Q称为X,Y的并集，记作

Y

X∩Y={u∈X and u ∈Y}* 集合补集在论域Y上有集合X,则X的补集为

X

X

X {u u X }

2.2 模糊集合 经典集合论所表达概念的内涵和外延都必须是明确的，在处理 清晰的、确定性的问题时达到了高度的严密性和精确性。 概念的内涵指一个概念区别于其它概念的全体本质属性。 概念的外延指符合某概念的对象的全体。 模糊概念即没有明确外延的概念，如“速度的快慢”、“年龄 的大小”、“温度的高低”等，无法用经典集合论来描述。 与传统的经典集合对事物只用“1”、“0”简单的表示“属于” 或“不属于”分类相比，模糊集合则是把它扩展成用0到1之间 的连续变化值来描述元素的属于程度，论域中的某些元素“部 分的”“以某种程度”属于某个集合。

用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画;

3.模糊现象：如 “今天天气很热”,“小伙子很帅”,…等 等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。

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