典型常用的因式分解公式

常用的因式分解公式

常用的因式分解公式：

待定系数法(因式分解)

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析 由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，

若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解 设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下． 例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．

分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解 设

原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有

由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以

原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．

本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．

求根法(因式分解)

我们把形如anxn+an-1xn-1+ +a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)， 等记号表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6， ， 当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×

我们把形如anxn+an-1xn-1+ +a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)， 等记号表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6， ，

当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0； f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．

若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．

定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．

根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根． 定理2

的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．

我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．

例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．

分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有 f(2)=23-4×22+6×2-4=0，

即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2． 解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)． 原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4) =x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) =(x-2)(x2-2x+2)．

解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，

所以

原式=(x-2)(x2-2x+2)．

说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．

例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．

分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1， 为：

所以，原式有因式9x2-3x-2． 解 9x4-3x3+7x2-3x-2 =9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2 =x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2

=(9x2-3x-2)(x2+1) =(3x+1)(3x-2)(x2+1)

说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．

总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．

双十字相乘法(因式分解)

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式

(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)， 可

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解 所以

原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图： 它表示的是下面三个关系式： (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3； (2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3． 这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是： (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)； (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx． 例1 分解因式： (1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4； (3)xy+y2+x-y-2；

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2． 解 (1)

原式=(x-5y+2)(x+2y-1)． (2)

原式=(x+y+1)(x-y+4)．

(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解． 原式=(y+1)(x+y-2)． (4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．

笔算开平方

对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可

例 求316.4841的平方根.

第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.

第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<3，而(1+1)2=4>3.

第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.

第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.

第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.

第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：

根式的概念

【方根与根式】 数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为

(n为大于1的自然数).作为代数式，

称为根式.n称为根指数，

a称为根底数.在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反.

【算术根】 正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零. 【基本性质】 由方根的定义，有

根式运算

【乘积的方根】 乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即

≥0,b≥0)

【分式的方根】 分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即

≥0,b>0)

【根式的乘方】

【根式化简】

≥0)

≥0)

≥0,d≥0)

≥0,d≥0)

【同类根式及其加减运算】 根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并.

进位制的基与数字

任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如

一般地，任一正数a可表为

这就是10进数，记作a(10)，数10称为进位制的基，式中ai在{0,1,2,L,9}中取值，称为10进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基，于是就得到q进数表示

(1)

式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值，anan-1...a1a0称为q进数a(q)的整数部分，记作[a(q)];

a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分，记作{a(q)}.常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下 2进制 0, 1

8进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 16进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

各种进位制的相互转换

1 q→10转换 适用通常的10进数四则运算规则，根据公式(1)，可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如

2 10→q转换 转换时必须分为整数部分和分数部分进行. 对于整数部分其步骤是：

(1) 用q去除[a(10)]，得到商和余数.

(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.

(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止. 对于分数部分其步骤是： (1)用q去乘{a(10)}.

(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.

(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如： 103.118(10)=147.074324...(8)

整数部分的草式 分数部分的草式

3 p→q转换 通常情况下其步骤是：a(p)→a(10)→a(q).如果p,q是同一数s的

不同次幂，其步骤是：a(p)→a(s)→a(q).例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组) 127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)

然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即

正多边形各量换算公式

n为边数 R为外接圆半径 a为边长 爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表 各量 正三角形

n为边数 R为外接圆半径 a为边长 爎为内切圆半径

为圆心角 S为多边形面积

重心G与外接圆心O重合 正多边形各量换算公式表

或许你还对作图感兴趣：正多边形作图

所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能.

很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分必要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”： 立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积.

三等分角问题，即三等分一已知角.

化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积. 后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.

代数式的求值

代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、

求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．

1．利用因式分解方法求值

因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．

分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件． 解 已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以 6x4+15x3+10x2

=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1 =(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1 =0+1=1．

说明 在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答． 例2 已知a，b，c为实数，且满足下式： a2+b2+c2=1，①

求a+b+c的值．

解 将②式因式分解变形如下

即

所以

a+b+c=0或bc+ac+ab=0．

若bc+ac+ab=0，则

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab) =a2+b2+c2=1，

所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1． 说明 本题也可以用如下方法对②式变形：

即

前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式． 2．利用乘法公式求值

例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值． 解 因为x+y=m，所以

m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，

所以

求x2+6xy+y2的值．

分析 将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法． 解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy =(x+y)2+4xy

3．设参数法与换元法求值 如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．

分析 本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．

x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k． 所以

x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0． u+v+w=1，①

由②有

把①两边平方得

222

u+v+w+2(uv+vw+wu)=1， 所以u2+v2+w2=1， 即

两边平方有 所以

4．利用非负数的性质求值 若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．

例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求yx的值．

分析与解 x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解． 因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以 x2-4x＋4＋|3x-y|=0， 即 (x-2)2+|3x-y|=0．

所以 yx=62=36．

例9 未知数x，y满足

(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0， 其中m，n表示非零已知数，求x，y的值． 分析与解 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式． 将已知等式变形为

m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，

(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0．

5．利用分式、根式的性质求值

分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．

例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：

分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变． 解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．

同理

分析 计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是

分利用

这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．

同样(但请注意算术根！)

将①，②代入原式有

练习六

2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．

3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．

5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．

8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．

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