竖直平面内圆周运动的临界问题及应用

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高中物理巧学妙解王 第一章 高频热点剖析

五、竖直平面内的圆周运动

竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型. 一、两种模型 模型1：“轻绳类”

绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一

个方向给物体力的图1 图

2 作用，如图1、图2

所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：

(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没

有力的作用，v0 (2)

小球能通过最高点的条件：v

当v 绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力. (3)

小球不能过最高点的条件：v 没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动. 模型2：“轻杆类”

有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”， 如图4所示，)： (1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度v0 0

(2)小球过最高点时，轻

图3 图

4 杆对小球的弹力情况：

①当v 0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N mg；

v2v2

②当0 v 因mg N m,则N mg m.

RR

轻杆对小球的支持力N竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg N 0．

【例1】如图5所示，质量为m的小球从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运

图

5 动，问A点的高度h至少

应为多少?

【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条

件，即小球在最高点的临界速度是v临界 ，根据12

机械能守恒定律得mgh mg 2R mv临界

25

把v临界 代入上式得：hmin R．

2

【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少?

【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点B受到三个力作用:电场力F qE，方向竖直向上；重力mg；弹力N，方向竖直向下．由向心力公式，有

2

vB

mg N qE m

R

要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临

界状态，其速率vB为图6

临界速度，临界条件

是N 0．由此可列出小球的临界状态方程为mg qE

2

vB

① R

③当v N 0；

v2v2

④当v mg N m，即N m mg，

RR

12

根据动能定理，有(mg qE) (h 2R) mvB ②

2

5

解之得：hmin R

2

2vB

说明 把②式中的mg qE换成m，较容易求出

R

5hmin R

2

杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意 杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.

小结 如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v

≠应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g换成g月，若在其他天体上则把g换成g天体. 二、两种模型的应用

【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少?

【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率v

B为

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临界速度，临界条件是 N 0 .由此可列出小球的临界 状态方程为： mg qE mv R2 B

①

1 2 根据动能定理，有 (mg qE ) (h 2R) mvB ② 2 5 由上述二式解得： hmin R 2 小结 上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么? 因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅 与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力 做功也仅与沿电场力方向的距离差有关.我们不妨可 以这样认为，例 2 中的“等效重力加速度 g1 ”比例 1 中的重力加速度 g 减小，例 3 中的“等效重力加速度 g 2 ”比例 1 中的重力加速度 g 增大. 1 2 例 2 中 v临界 Rg1 , mg1h mg1 2R mv临界 ； 2 1 2 例 3 中 v临界 Rg 2 , mg2 h mg2 2R mv临界 . 2 把 v临界 代入各自对应的式子，结果 mg1 、 mg2 分别都约 5 去了，故 hmin R . 2 【例 4】 如图 7 所示， 一个带正电 q 、 质量为 m 的电荷，

【解析】此题属于 “轻绳类”,题中 “恰能”是隐含条 件，要使小球恰能 通过圆形轨道的最 高点 B ,说明小球 此时处于临界状 图 8 态，其速率 vB 为临 界速率，临界条件是 N 0 ,由此可列出小球的临界状 态方程为 mg qvB B qE m(mg

qE ) (h 2R) 2 vB R

① ②

1 2 mvB 2

由①式可得: vB

R 4m 2 (mg qE ) qB (qB) 2m R

因 vB 只能取正值，即vB R 4m 2 (mg qE ) qB (qB) 2m R R2 4m 2 (mg qE ) qB (qB) 8m(mg qE ) R 2

则hmin 2 R

从光滑的斜面轨道的 A 点由静止下滑，若小球 恰能通过半径为 R 的竖 直圆形轨道的最高点 B (圆弧左半部分加上 垂直纸面向外的匀强磁 图7 场), 问点 A 的高度至少 应为多少? 【解析】此题属于“轻绳类”,题中“恰能”是隐含 条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点 B ,说明 小球此时处于临界状态，其速率 vB 为临界速率，临界 条件是 N 0 ,由此可列出小球的临界状态方程为2 vB ① R 1 2 ② mgh mg 2R mvB , 2 R 4m 2 g 2 由①式可得: vB qB (qB ) 2m R

mg qvB B m

因 vB 只能取正值，即 vB 则 hmin

R 4m 2 g 2 qB (qB ) 2m R 2

R2 4m 2 g 2 R 2 qB (qB) 2 R 8m g

【例 5】如图 8 所示，在竖直向下的均匀电场中，一个 带正电 q 、 质量为 m 的电荷， 从光滑的斜面轨道的 A 点 由静止下滑，若小球恰能通过半径为 R 的竖直圆形轨 道的最高点 B (圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀 强磁场),问点 A 的高度 h 至少应为多少?版权所有

小结 小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特 点，即都与速度 v 的方向垂直，它们对小球都不做功， 而临界条件是 N 0 . 【例 6】 如图 9 所示， ABD 为竖直平面内的光滑绝 缘轨道，其中 AB 段是水 平 的 ， BD 段 为 半 径 两段轨 R 0.2m 的半圆， 道相切于 B 点， 整个轨道 处在竖直向下的匀强电 图 9 3 场中，场强大小 E 5.0 10 V/m .一不带电的绝缘小球 甲，以速度 v0 沿水平轨道向右运动，与静止在 B 点带 正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量 均为 m 1.0 10 2 kg ,乙所带电荷量 q 2.0 10 5 C , g 取 10m/s2 .(水平轨道足够长，甲、乙两球 可视为质点， 整个运动过程无电荷转移) (1)甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点 D , 求乙在轨道上的首次落点到 B 点的距离； (2)在满足(1)的条件下。求的甲的速度 v0 ; (3)若甲仍以速度 v0 向右运动，增大甲的质量，保持 乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到 B 点的距 离范围. 【解析】 (1)在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设 乙到达最高点速度为 vD ,乙离开 D 点到达水平轨道的 时间为 t ,乙的落点到 B 点的距离为 x ,则mg qE mx vDt2 vD R

① 2R (

1 mg qE 2 )t 2 m

②

③

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第一章

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联立①②③得 x 0.4m (2)设碰撞后甲、乙的速度分别为 v甲 、 v乙 ，根据动 量守恒定律和机械能守恒定律有 ④ mv0 mv甲 mv乙1 2 1 2 1 2 mv0 mv甲 mv乙 2 2 2 联立④⑤得 v乙 v0

示，由牛顿第二定律，有:mg F m2 v2 L

解得： v2 gL

⑤ ⑥

1 2 1 2 由动能定理，得 mg 2R qE 2R mvD mv乙 ⑦ 2 25(mg Eq) R 2 5m/s ⑧ m (3)设甲的质量为 M ,碰撞后甲、乙的速度分别为 vM 、vm ,根据动量守恒定律和机械能守恒定律有

图 11 图 12 可见 vA m 的作用力 F 在推力和拉力之间突变的临界速度. (3)杆长 L 0.5m 时，临界速度 v0 gL 2.2m/s ,

FL gL m gL 是杆对小球

联立①⑥⑦得 v0

杆对小球有推力 FA , mg FA m 有 vA 0.4m/s<v0 ,

2 vA , L

Mv0 MvM mvm

⑨

1 1 1 2 2 2 Mv0 MvM mvm ⑩ 2 2 2 2Mv0 11 联立⑨⑩得 vm ○ M m 11 由○和 M≥m ,可得 v0 ≤vm<2v0

则 FA 4.84N .由 A 至 B 只有重力做功，机械能守 恒 . 设 B 点 所 处 水 平 面 为 参 考 平 面 , 则 1 2 1 2 mvA mg 2L mvB , 2 2 2 解得 vB vA 4 gL 4.5m/s . 在最低点 B ,小球 m 受拉力 FB ,由 FB mg m2 vB L

12 ○

解得 FB mg m

' 设乙球过 D 点时速度为 vD ,由动能定理得 1 '2 1 2 13 ○ mg 2R qE 2R mvD mvm 2 2 ' 12 13 14 联立⑧○○得 2m/s≤vD<8m/s ○ 设乙在水平轨道上的落点距 B 点的距离 x' ,有 ' 15 ○ x' vD t

2 vB 25.3N . L

14 15 联立②○○得： 0.4m≤x'< 1.6m 【例 7】如图 10 所示，杆长为 L , 一端固定一质量为 m 的小球， 杆的 质量忽略不计， 整个系统绕杆的另 一端在竖直平面内做圆周运 动. g 10m/s2 求： (1)小球在最高点 A 的速度 v A 为 多少时， 才能使杆和小球 m 的作用 图 10 力为零? (2)小球在最高点 A 时， 杆对小球的作用力 F 为拉力和 推力时的临界速度分别是多少? (3)若 m 0.5kg , L 0.5m , vA 0.4m/s ,则在最高点 A 和最低点 B ,杆对小球 m 的作用力多大? 【解析】此题属于“轻杆类”.若杆和小球 m 之间无 相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力

【例 8】如图 13 所示，光滑的圆管轨道 AB 部分平直， 圆管截面 BC 部分是处于竖直平面内半径为 R 的半圆， 半径 r ,有质量为 m 、半径比 r 略小的光滑小球以水平 初速度度 v0 射入圆管. (1)若要小球能从 C 端出来，初速 v0 多大? (2)在小球从 C 端出来瞬间， 对管壁压力有哪几种典型 情况，初速度 v0 各应满足什么条件?

图 13

【解析】本题综合考查了竖直平面内

圆周运动临界问 题；属于“轻杆类” . (1)小球恰好能到达最高点的条件是 vC 0 ,由机械能1 2 守恒，初速度应满足： mv0 mg 2R ,即 v0 4gR . 2 要使小球能从 C 端出来，需 vC 0 ,所以入射速 度 v0 4 gR . (2)在小球从 C 端出来瞬间， 对管壁压力有以三种典型 情况： ①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，即mg m2 vC . L

mg 提供，根据牛顿第二定律，有： mg m

2 vA L

解得 vA gL (2)若小球 m 在最高点 A 时，受拉力 F ,受力如图 11 v2 所示，由牛顿第二定律，有: F mg m 1 LFL 解得 v1 gL gL m 若小球 m 在最高点 A 时，受推力 F ,受力如图 12 所版权所有

2 由机械能守恒定律，知 1 mv02 mg 2R 1 mvC

2

2

联立解得:

v0 5 gR2 vC ,相应的入射速度 L

②对下管壁有压力，应有 mg m

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第一章2 C

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v0 应满足 4 gR v0 5gR .

③对上管壁有压力，此时应有 mg m

v ,相应的入射 L

速度 v0 应满足 v0 5gR 小结 本题中的小球不能做匀速圆周运动，它的合力 除最高点与最低点过圆心外， 其他条件下均不过圆心， 因而在一般位置处， 它具有切向加 速度. 【例 9】如图 14 所示，一内壁光 滑的环形细圆管位于竖直平面内， 环的半径 R (比细管的半径大得 多),在圆管中有两个直径与细管 内径相同的小球 A、B ,质量分别 图 14 为 mA、mB , 沿环形管顺时针运动， 当 A 球运动到最低点时， 速度为 v A ,B 球恰到最高点， 若要此时圆管的合力为零， B 的速度 vB 为多大？ 【解析】本题综合考察了竖直平面内圆周运动临界问 题的分析，属于“轻杆类” .在最低点对 A 球进行受力 分析，如图 15 所示，应用 牛 顿 第 二 定 律 有 2 vA N A mA g m A R 由牛顿第三定律，球 A 对 管 有 向 下 的 压 力 图 15 图 16 NA ' NA , 根 据 题 意 球 N A ' N B ' ,即球 B 对对管有向上的压力 N B ' , B 受力 情况，如图 16 所示，由牛顿第三定律，管对球 B 有向 下的压力 N B , N B ' N B ,对球 B 应用牛顿第二定律，v2 ,由于 N A N B R mA 2 mA 联立可得 vB vA ( 1) gR mB mB

变速率通过凸形路面，路面半径为 15m ,若汽车安全 行驶，则汽车不脱离最高点 的临界速度为多少?若汽车 达到临界速度时将做何种运 动?水平运动位移为多少? 图 19 【解析】(1)此题属于“轻绳 类” ,即轨道只能沿某一方向给物体作用力，临界条件 为汽车对轨道压力 N 0 , 则汽车不脱离最高点的临界 速度为 v0 ,则有： mg m2 v0 ,可得 v0 gR ; R

(2)当 v0 gR 时

,汽车在轨道最高点仅受重力作用， 且有初速度 gR ,故做平抛运动，则 1 R gt 2 , x v0t ,可得: x 2 R . 2 【例 11】小明站在水平地面上， 手握不可伸长的轻绳一端，绳的 另一端系有质量为 m 的小球，甩 动手腕，使球在竖直平面内做圆 周运动.当球某次运动到最低点 时，绳突然断掉，球飞离水平距 离 d 后落地，如图 20 所示.已知 图 20 握绳的手离地面高度为 d ,手与 3 球之间的绳长为 d ,重力加速度为 g .忽略手的运动 4 半径和空气阻力. (1)求绳断时球的速度大小 v1 和球落地时的速度大小 v2 . (2)问绳能承受的最大拉力多大？ (3)改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动 到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长 应为多少？最大水平距离为多少？ 【解析】 (1)设绳断后球飞行时间为 t ,由平抛运动规 1 1 律，有：竖直方向 d gt 2 4 2 水平方向 d v1t ,得： v1 2 gd 1 2 1 3 由机械能守恒定律，有： mv2 mv12 mg (d d ) , 2 2 4 得： v2 5 gd 2

有： N B mB g mB

三、小球在凸、凹半球上运动 如图 17 所示，小球在凸半球上最高点运动时： (1)当 0 v gR , 小球不会脱离凸半球且能通过凸半 球的最高点. (2)当 v gR ,因轨道对小球不能产生弹力，故此时 小球将刚好脱离轨道做平抛运动.

(2)设绳能承受的最大拉力为 T ,这也是球受到绳的 3 最大拉力大小，球做圆周运动的半径为 R d 4图 17 图 18

(3)当 v gR , 小球已脱离凸半球最高点做平抛运动. 如图 18 所示， 小球若通过凹半球的最低点时速度只要 即可. v 0 由以上分析可知， 通过凸(或凹)半球最高点(或最 低点)的临界条件是小球速度 0 v gR (或 v 0 ). 【例 10】如图 19 所示，汽车质量为 1.5 104 kg ,以不版权所有

v12 11 ,解得 T mg R 3 (3)设绳长为 l ,绳断时球的速度大小为 v3 ,绳承受

由向心力公式，有 T mg m 的最大拉力不变， 有 T mg m

v32 8 ,得 v3 gl l 3

绳断后球做平抛运动，竖直 位移为 d l ,水平位移为

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第一章

高频热点剖析

x ,时间为 t1 ,有： d l 图 13

1 2 gt1 , x v3t1 2

得： x 4 当l

l (d l ) , 3

2 3 d 时， x 有极大值 xmax d 3 2 总结 竖直平面内圆周运动两种模型的临界问题，其 关键是分清属于“轻绳”类还是“轻杆”类， “轻绳” 只能对物体产生沿绳收缩方向的拉力，在最高点对物 体拉力为零是临界条件， F拉 0 ; 即 在最高点， “轻杆”

对物体既可以产生拉力，也可以产

生支持力，还可以 对物体的作用力为零，杆与物体之间的作用力为零是 临界条件，即 N 0 . 在处理带电小球在竖直平面内做圆周运动时，一定 要区分“几何最高点”与“力学最高点”不一定是对 应的，上面总结的“轻绳类"和“轻杆类”规律必须是 “力学最高点” .

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