《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分 开卷速查09 对数与对数函数

开卷速查(九) 对数与对数函数

A级 基础巩固练

解析：a＝2

1－ 3

11

∈(0,1)，b＝log23(－∞，0)，c＝log1 3log23∈(1，

2

＋∞)，所以c＞a＞b.

答案：C

2．[2014·天津]函数f(x)＝log1 (x2－4)的单调递增区间为( )

2

A．(0，＋∞) C．(2，＋∞)

B．(－∞，0) D．(－∞，－2)

解析：函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝log1 t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log1 t在(0，＋

2

2

∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D.

答案：D

13．函数y＝ln( )

|2x－3|

A

B

C

D

33

解析：易知2x－3≠0，即x≠2C，D.当x＞23

函数，当x2A.

答案：A

f x＋1 ，x＜4，

4．若f(x)＝ x则f(log23)＝( )

2，x≥4，

A．－23

B．11

C．19

解析：∵1＜log23＜2，

D．24

∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋

2)

答案：D

5．已知函数f(x)＝log1 |x－1|，则下列结论正确的是( )

2

1

A．f －2＜f(0)＜f(3)

1

B．f(0)＜f －2 ＜f(3)

1

C．f(3)＜f －2 ＜f(0)

1

D．f(3)＜f(0)＜f －2

1 3

解析：依题意得f(3)＝log1 2＝－1<0，log1 2<f－2＝log1 21

2

2

2

2

1 1

1，即－1<f－2<0，又f(0)＝log1 1＝0，因此有f(3)<f －2<f(0)．

2

答案：C

6．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )

1A.2 C．2

1B.4D．4

解析：由题可知函数f(x)＝ax＋logax在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)，故a＝2.

答案：C

7．已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋a2)的图像关于x＝2对称，则a的值为__________．

解析：由题意f(x)＝f(4－x)，∴x2－ax＋a2＝(4－x)2－a(4－x)＋a2，整理得a＝4.

答案：4

8．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a＞b＞1；②b＞a＞1；③a＜b＜1；④b＜a＜1；⑤a＝b.

其中可能的关系式是__________．

解析：由已知得log2a＝log3b，在同一坐标系中作出y＝log2x，y＝log3x的图像，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出②④⑤可能．

答案：②④⑤

9．定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)＜－1的解集是__________．

解析：当x∈(－∞，0)时，则－x∈(0，＋∞)． 所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)

logx，x＞0，

∴f(x)＝ 0，x＝0，

－log －x ，x＜0，

2

2

由f(x)＜－1，得

x＞0，

log2x＜－1，

或

x＝0，

0＜－1，

或

x＜0，

－log2 －x ＜－1，

1

解得0＜x＜2或x＜－2. 1

答案：{x|0＜x＜2x＜－2}

10．已知f(x)＝lg(ax－bx)(a＞1＞b＞0)． (1)求f(x)的定义域；

(2)问是否存在实数a、b，当x∈(1，＋∞)时，f(x)的值域为(0，＋∞)，且f(2)＝lg2？若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由．

a x

解析：(1)由a－b＞0及a＞1＞b＞0，得 b＞1，故x＞0.

x

x

所以，f(x)的定义域为(0，＋∞)．

(2)令g(x)＝ax－bx，由a＞1＞b＞0知，g(x)在(0，＋∞)上为增函数．

当x∈(1，＋∞)时，f(x)取到一切正数等价于x∈(1，＋∞)时，g(x)＞1.

故g(1)＝1，得a－b＝1.①

又f(2)＝lg2，故a2－b2＝2.② 31

由①②解得a＝2b＝2B级 能力提升练

11．如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图像的交点，

11

那么称这个点为“好点”．下列四个点P1(1,1)，P2(1,2)，P322 ，P(2,2)

4

中，“好点”的个数为( )

A．1 C．3

B．2 D．4

解析：设指数函数和对数函数分别为y＝ax(a＞0，a≠1)，y＝logbx(b＞0，b≠1)．若为“好点”，

则P1(1,1)在y＝ax的图像上， 得a＝1与a＞0，且a≠1矛盾；

11

P2(1,2)显然不在y＝logbx的图像上；P3 22在y＝ax，y＝logbx的

11

图像上时，a4b4

易得P4(2,2)也为“好点”． 答案：B

12．已知方程10x＝10－x，lgx＋x＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是__________．

解析：作函数y＝f(x)＝10x，y＝g(x)＝lgx，y＝h(x)＝10－x的图像如图所示，由于y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，∴它们的图像是关于直线y＝x对称的．又直线y＝h(x)与y＝x垂直，∴y＝f(x)与y＝h(x)的交点A和y＝g(x)与y＝h(x)的交点B是关于y＝x对称的．而y＝x与y＝h(x)的交点为(5,5)．又方程10x＝10－x的解α为A点横坐标，同理，β为B点横坐标．

α＋β

∴25，即α＋β＝10. 答案：10

13．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域． 3

(2)求f(x)的区间 0，2上的最大值．

解析：∵f(1)＝2， ∴loga4＝2(a＞0，a≠1)． ∴a＝2.

1＋x＞0，由

3－x＞0，

得x∈(－1,3)，

∴函数f(x)的定义域为(－1,3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2(1＋x)(3－x) ＝log2[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

3

函数f(x)在 0，2上的最大值是f(1)＝2.

14．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)． (1)求f(log2x)的最小值及相应的x值；

(2)x取何值时，f(log2x)＞f(1)，且log2f(x)＜f(1)． 解析：(1)∵f(x)＝x2－x＋b. ∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b， 由已知(log2a)2－log2a＋b＝b， ∴log2a(log2a－1)＝0. ∵a≠1，∴log2a＝1. ∴a＝2. 又log2f(a)＝2， ∴f(a)＝4. ∴a2－a＋b＝4.

∴b＝4－a2＋a＝2. 故f(x)＝x2－x＋2.

从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2 1 27

＝ log2x－2＋4.

17∴当log2x＝2x＝2时，f(log2x)有最小值4.

log2x 2－log2x＋2＞2，

(2)由题意， 2

log2 x－x＋2 ＜2 x＞2，或0＜x＜1，

－1＜x＜2

0＜x＜1.

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