中考数学专题复习之圆

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中考数学专题复习之圆

一、知识点

1、与圆有关的角——圆心角、圆周角 （1）图中的圆心角；圆周角； ACO（2）如图，已知∠AOB=50度，则∠ACB=度； B（3）在上图中，若AB是圆O的直径，则∠AOB=度； 2、圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线； 圆是中心对称图形，对称中心为． （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 如图，∵CD是圆O的直径，CD⊥AB于E ∴= ，= 3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆； 例1：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d， （1）当d=2厘米时，有dr，点在圆 （2）当d=7厘米时，有dr，点在圆 （3）当d=5厘米时，有dr，点在圆 ACDOEB4、直线和圆的位置关系有三种：相、相、相． 例2：已知圆的半径r等于12厘米，圆心到直线l的距离为d， （1）当d=10厘米时，有dr，直线l与圆 （2）当d=12厘米时，有dr，直线l与圆 （3）当d=15厘米时，有dr，直线l与圆 5、圆与圆的位置关系： 例3：已知⊙O1的半径为6厘米，⊙O2的半径为8厘米，圆心距为 d， 则：R+r=， R－r=；

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（1）当d=14厘米时，因为dR+r，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （2）当d=2厘米时， 因为dR－r，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （3）当d=15厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （4）当d=7厘米时， 因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是： （5）当d=1厘米时， 因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是： 6、切线性质： 例4：（1）如图，PA是⊙O的切线，点A是切点，则∠PAO=度 （2）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B是切点， 则=，∠=∠； OAPB7、圆中的有关计算 （1）弧长的计算公式： 例5：若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少？ 解：因为扇形的弧长=(??????????????????????) 180(??????????????????????)所以l== (答案保留π) 180（2）扇形的面积： 例6：①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少？ 解：因为扇形的面积S= (??????????????????????) 360(??????????????????????)所以S== (答案保留π)

360②若扇形的弧长为12πcm，半径为6㎝，则这个扇形的面积是多少？

解：因为扇形的面积S=

所以S==

（3）圆锥：

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例7：圆锥的母线长为5cm，半径为4cm，则圆锥的侧面积是多少？ 解：∵圆锥的侧面展开图是形，展开图的弧长等于 ∴圆锥的侧面积=

8、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点； 三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点； 例8：画出下列三角形的外心或内心 （1）画三角形ABC的内切圆， （2）画出三角形DEF的外接圆， 并标出它的内心； 并标出它的外心 D A EFCB 切割线定理：设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=PA·PB 割线定理：直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 相交弦定理：若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD；若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA·PB（相交弦定理推论） 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角） 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角 ∴∠PCA=∠PBC(∠PCA为弦切角） 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。

射影定理

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)2=BD·DC, (2)(AB)2=BD·BC , (3)(AC)2;=CD·BC 。等积式 (4)AB·AC=BC·AD

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二、例题解析 1、如图所示,有一直径是1米的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角是90 °的扇形ABC.求:(1)被剪掉的阴影部分的面积;(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥的底面圆的半径是多少?(结果可用根号表示) ABOC 2、如图是某学校田径体育场一部分的示意图,第一条跑道每圈为400米, 跑道分直道和弯道,直道为长相等的平行线段,弯道为同心的半圆型,弯道与同心的半圆型,弯道与直道相连接.已知直道BC的长为86.96米,跑道的宽为1米(?=3.14, 结果精确到0.01) (1)求第一条跑道的弯道部分?AB的半径; (2)求一圈中第二条跑道比第一条跑道长多少米? (3)若进行200米比赛,求第六道的起点F与圆心O的连线FO与OA的夹角∠FOA的度数.

3、“6”字形图中，FM是大⊙O的直径，BC与大⊙O相切于B，OB与小⊙O相交于A，

CD∥BH∥FM，DH?BH于H，OB?4，BC?6 AD∥BC，设?FOB?30?，

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（1）求证：AD为小⊙O的切线； （2）求DH的长（结果保留根号）.

4、（大连2004）如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE． 求证：∠D = ∠B. 5、如图，已知⊙O的半径为２，弦AB的长为２3，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上的任一点（点Ｃ、Ｄ均不与Ａ、Ｂ重合）． （１）求∠ＡＣＢ；（２）求△ＡＢＤ的最大面积． 6、如图，已知△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连结BD、CD、AC、BD交于点E． （1）请找出图中的相似三角形，并加以证明； （2）若∠D＝45°，BC＝2，求⊙O的面积．

如图，△ABC内接于⊙O，D是弧AC的中点，求证：CD2=DE·DB。

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7、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

AFODNBMPECAAEBMPDFCNODCB www.czsx.com.cn8、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？ 9、如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=?∠A． （1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径． CAOBDCNhADGEBF 10、在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC?的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6． （1）求△ABC的边AB上的高h． （2）设DN=x，且h?DNNF?，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？ hAB（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

11、.已知：如图等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧PC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD?AP，连结CD．

（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由． （2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？

A A

成功始于觉醒 共69O 页第6页心态决定命运 O C P D B P C B 胡老师家教 联系QQ：450201089

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12、(1)如图OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交DC于点E．求证：CD=CE (2)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B’，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么? (3)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么 13、如图，已知在⊙O中，AB=43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°. (1)求图中阴影部分的面积； (2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径. 14、如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE?CD，垂足为E，DA平分?BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若?DBC?30?，DE?1cm，求BD的长． A E D O B C 15、如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。 （1）P是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；

（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论。

16、如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线l过点A（—1，0），与⊙C相切于 17．（2010湖北恩施自治州）(1)计算:如图①,直径为a的三

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等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点分别为A、B、C，求O1A的长（用含a的代数式表示）.

全品中考网 （2）探索:若干个直径为a的圆圈分别按如图10②所示的方案一和如图10③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度hn和（用含n、a的代数式表示）. （3）应用:现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（3≈1.73） 18．（2010湖北十堰）（本小题满分9分）如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C. （1）求证：O2C⊥O1O2； （2）证明：AB·BC=2O2B·BO1； （3）如果AB·BC=12，O2C=4，求AO1的长. A O1 O2 B C

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19．（2010湖北黄石）在△ABC中，分别以AB、BC为直径⊙O1、⊙O2，交于另一点D.

?证明：交点D必在AC上；

?如图甲，当⊙O1与⊙O2半径之比为4︰3，且DO2与⊙O1相切时，判断△ABC的形状，并求tan∠O2DB的值；

?如图乙，当⊙O1经过点O2，AB、DO2的延长线交于E，且BE＝BD时，求∠A的度数.

参考答案

7、解：（1）AB=CD 理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF

连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE

根据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F

∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°

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∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF

连接OA、OB、OC、OD

易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4

∴AB=CD 8、连接AD

∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 9、解：（1）CD与⊙O相切 理由：①C点在⊙O上（已知） ②∵AB是直径 ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD是⊙O的切线． （2）在Rt△OCD中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10 10、解：（1）由AB·CG=AC·BC得h=h?DNNF?且DN=x hABCAOBDAC?BC8?6?=4.8 AB10 （2）∵h= ∴NF=10(4.8?x) 4.81025（4.8-x）=-x2+10x 4.812 则S四边形DEFN=x· =-

25120（x2-x） 251225603600 [（x-）2-] 6251225 =-

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=-

25（x-2.4）2+12 x25（x-2.4）2≤0 x25（x-2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号 x ∵-

∴- ∴当x=2.4时，SDEFN最大． （3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3． ∴BE=DE2?EF2?32?2.42=1.8 ∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x=2.4时，DE=5 ∴AD=3.2， 由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示: CGAF此时，?AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树． 11、∵△ABC为等边三角形 ∴AC?BC， 又∵在⊙O中?PAC??DBC 又∵AP?BD ∴△APC≌△BDC． ∴PC?DC[来源:Zxxk.Com] B DEwww.czsx.com.c又∵AP过圆心O，AB?AC，?BAC?60° 1∴?BAP??PAC??BAC?30° 2∴?BAP??BCP?30°，?PBC??PAC?30° ∴?CPD??PBC??BCP?30°?30°?60° ∴△PDC为等边三角形．

（2）△PDC仍为等边三角形

理由：先证△APC≌△BDC（过程同上） ∴PC?DC

∵?BAP??PAC?60°

又∵?BAP??BCP，?PAC??PBC

∴?CPD??BCP??PBC??BAP??PAC?60°

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又∵PC?DC

∴△PDC为等边三角形

12、解答：(1)证明：连结OD 则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90° 在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°

在⊙O中，OA=OD∴∠A=∠ODA， ∴∠CDE=∠AEO [来源:Z|xx|k.Com] 又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED ∴CD=CE (2)CE=CD仍然成立．

∵原来的半径OB所在直线向上平行移动∴CF⊥AO于F， 在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°． 连结OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD ．∠A=∠ODA ∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE∴CD=CE (3)CE=CD仍然成立． ∵原来的半径OB所在直线向上平行移动．AO⊥CF 延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90° 连结OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE ∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE 13、（1）法一：过O作OE⊥AB于E，则AE=1AB=23。 2在Rt△AEO中，∠BAC=30°，cos30°=AE． OAE A2AE∴OA==cos30?332O=4． BF CD又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°． ??CD?． ∵AC⊥BD，∴BC∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°． ∴S阴影=nπ?OA=120π?42?16π．

36036032法二：连结AD． ∵AC⊥BD，AC是直径， ∴AC垂直平分BD。

A O成功始于觉醒 共69页第12页心态决定命运 BF CD胡老师家教 联系QQ：450201089

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∴AB=AD，BF=FD，??。 BC?CD∴∠BAD=2∠BAC=60°， ∴∠BOD=120°．

∵BF=1AB=23，sin60°=AF，

2ABAF=AB·sin60°=43×3=6。 2∴OB2=BF2+OF2．即(23)2?(6?OB)2?OB2． ∴OB=4． ∴S阴影=S圆=1316π。 3法三：连结BC． ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC=90°。 ∵AB=43， ∴AC?AB?43?8 cos30?32BAOF CD∵∠A=30°， AC⊥BD， ∴∠BOC=60°， ∴∠BOD=120°． ∴S阴影=120π·OA2=×42·π=3601316π。 3① A ② O ③ 以下同法一。 （2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr， 120π?4 ∴2πr?180B C ∴r?4。 314、（1）证明：连接OA，?DA平分?BDE，??BDA??EDA． ?OA?OD，??ODA??OAD．??OAD??EDA． ?OA∥CE．

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?AE?DE，??AED?90?，?OAE??DEA?90?．

?AE?OA．

?AE是⊙O的切线．

A E D （2）?BD是直径，??BCD??BAD?90?．

B O C ??DBC?30?，?BDC?60?， ??BDE?120?． ?DA平分?BDE，??BDA??EDA?60?． ??ABD??EAD?30?． ?AD?2DE． 在Rt△AED中，?AED?90?，?EAD?30?，?BD?2AD?4DE． 在Rt△ABD中，?BAD?90?，?ABD?30?，?DE的长是1cm，?BD的长是4cm． 15、（1）证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴∠COB=∠DOB=1?COD。 2又∵∠CPD=1?COD，∴∠CPD=∠COB。 2（2）∠CP′D与∠COB的数量关系是：∠CP′D+∠COB=180°。 证明：∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠CPD=∠COB， ∴∠CP′D+∠COB=180°。[来源:学科网] 16、解：如图所示，连接CD，∵直线l为⊙C的切线，∴CD⊥AD。 ∵C点坐标为（1，0），∴OC=1，即⊙C的半径为1，∴CD=OC=1。 又∵点A的坐标为（—1，0），∴AC=2，∴∠CAD=30°。 11作DE⊥AC于E点，则∠CDE=∠CAD=30°，∴CE=CD?， 22DE?3311，∴OE=OC-CE=，∴点D的坐标为（，）。 22220= —k+b，

3331设直线l的函数解析式为y?kx?b，则 解得k=，b=， =k+b. 3322∴直线l的函数解析式为y=

33x+. 33成功始于觉醒 共69页第14页心态决定命运

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17、解(1)∵⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切， ∴O1O2=O2O3=O1O3=a 又∵O2A= O3A ∴O1A⊥O2O3

1∴O1A=a2?a2 4=3a 2（2）hn=na =3?n?1?a?a， 2方案二装运钢管最多。即：按图10③的方式排放钢管，放置根数最多. 根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，?? 设钢管的放置层数为n,可得3?n?1??0.1?0.1?3.1 2解得n?35.68 ∵n为正整数∴n=35 18、解：（1）∵AO1是⊙O2的切线，∴O1A⊥AO2∴∠O2AB+∠BAO1=90° 又O2A=O2C，O1A=O1B，∴∠O2CB=∠O2AB，∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1 ∴∠O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90°，∴O2C⊥O2B，即O2C⊥O1O2 （2）延长O2O1交⊙O1于点D，连结AD. A ∵BD是⊙O1直径，∴∠BAD=90° 又由（1）可知∠BO2C=90° O2 D O1 B ∴∠BAD=∠BO2C，又∠ABD=∠O2BC ∴△O2BC∽△ABD OBBC∴2? C ABBD∴AB·BC=O2B·BD又BD=2BO1 ∴AB·BC=2O2B·BO1 （3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O2AB，即∠D=∠O2AB，又∠AO2B=∠DO2A ∴△AO2B∽△DO2A

∴

AO2O2B? DO2O2A∴AO22=O2B·O2D

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∵O2C=O2A

∴O2C2=O2B·O2D①

又由（2）AB·BC=O2B·BD②

由①－②得，O2C2－AB·BC= O2B2即42－12=O1B2 ∴O2B=2，又O2B·BD=AB·BC=12 ∴BD=6，∴2AO1=BD=6 ∴AO1=3 19

、

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PC

1、如图，点P在?O的直径BA的延长线上，AB＝2PA，PC切?O于点C，连结BC。 （1）求?P的正弦值； （2）若?O的半径r＝2cm，求BC的长度。 C AOBB O H A 2、如图，AB是?O的切线，A为切点，AC是?O的弦，过O作OH?AC于点H．若OH?2，AB?12，BO?13． 求：（1）?O的半径； （2）sin∠OAC的值； （3）弦AC的长（结果保留两个有效数字）． 3、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连结BC。 (1)求证：BE为⊙O的切线； 1(2)如果CD＝6，tan∠BCD＝，求⊙O的直径。 2 ?于4、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BCD． (1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径． 5、（2007福建福州）如图8，已知：△ABC内接于?O，点D在1OC的延长线上，sinB?，?D?30?． 2B D

C （1）求证：AD是?O的切线； （2）若AC?6，求AD的长．

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O A

图8

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6、如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平

分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10。 (1)求此圆的半径；

(2)求图中阴影部分的面积。 △ABC是?O的内接三角形，AC?BC，7、如图12，D为?O中?EC?D延长DA至点E，使CAB上一点，Ｃ ． Ｅ Ｏ Ａ Ｄ 图12 E A F G B D O C

（1）求证：AE?BD； （2）若AC?BC，求证：AD?BD?2CD． 8、如图，A是以BC为直径的?O上一点，AD?BC于点D，过点B作?O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P． P （1）求证：BF?EF； （2）求证：PA是?O的切线； （3）若FG?BF，且?O的半径长为32，求BD和FG的长度． Ｂ 9、如图，已知O是线段AB上一点，以OB为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段OA为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB垂线与AD的延长线交于点E，连结CD．若AC＝2，且AC、AD的长是关于x的方程x2－kx＋45＝0的两个根． （1）证明AE切⊙O于点D； （2）求线段EB的长； （3）求tan ∠ADC的值．

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参考答案

1、解：（1）连结OC，因为PC切?O于点C，?PC?OC 又直径AB＝2PA?OC?AO?AP?1　　　?sin?P?.21PO,??P?30?,2 COCOC1??） PO2PO2（或：在Rt?POC,sin?P?P?30??60?, (2)连结AC，由AB是直??ACB?90?,??COA?90?AOB又OC?OA,??CAO是正三角形。?CA?r?2,?CB?4?2?2342 2、解：（1）?AB是?O的切线，??OAB?90?， ?AO2?OB2?AB2，?OA?5． （2）?OH⊥AC，??OHA?90?，?sin?OAC?OH2?． OA5（3）?OH?AC，?AH2?AO2?OH2，AH?CH，?AH2?25?4?21， ?AH?21，?AC?2AH?221≈9.2． 3、 4、论 ③

解：(1)不同类型的正确结有：

??CD?= ①BC=CE ;②BD∠BED=90°④∠BOD=∠

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A;⑤AC∥OD，⑥AC⊥BC;

⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC＝BC·OE;⑨△BOD是等腰三角形，⑩△BOE∽△BAC;等

1 (2)∵OD⊥BC， ∴BE＝CE=BC=4．

2 设⊙O的半径为R，则OE=OD-DE=R-2．

在Rt△OEB中，由勾股定理得 OE2＋BE2=OB2，即(R-2)2＋42=R2． 解得R＝5．∴⊙O的半径为5． D 5、（1）证明：如图9，连结OA． 1∵sinB?，∴?B?30°． C 2B ∵?AOC?2?B，∴?AOC?60°． ∵?D?30°，∴?OAD?180°??D??AOD?90°． A O ∴AD是?O的切线． （2）解：∵OA?OC，?AOC?60°． ∴△AOC是等边三角形，∴OA?AC?6． ∵?OAD?90°，?D?30°，∴AD?3AO?63． 图9 6、 7、证明：（1）在△ABC中，?CAB??CBA． 在△ECD中，?CAB??CBA． ??CBA??CDE，（同弧上的圆周角相等），??ACB??ECD． ??ACB??ACD??ECD??ADE．??ACE??BCD． 在△ACE和△BCD中，

?ACE??BCD；CE?CD；AC?BC ?△ACE≌△BCD．?AE?BD．

??ACB??ECD． （2）若AC⊥BC，??ECD?90?，??CED??CDE?45?．

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?DE?2CD，又?AD?BD?AD?EA?ED

?AD?BD?2CD

8、（1）证明：∵BC是?O的直径，BE是?O的切线，

∴EB?BC．

又∵AD?BC，∴AD∥BE． 易证△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC． BFCFEFCFBFEF∴?，??．∴． DGCGAGCGDGAG∵G是AD的中点，∴DG?AG．∴BF?EF． （2）证明：连结AO，AB． ∵BC是?O的直径，∴?BAC?90°． P E A F G B Ｈ C D O 在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE的中点， ∴AF?FB?EF．∴?FBA??FAB． 又∵OA?OB，∴?ABO??BAO． ∵BE是?O的切线，∴?EBO?90°． ∵?EBO??FBA??ABO??FAB??BAO??FAO?90°，∴PA是?O的切线． （3）解：过点F作FH?AD于点H．∵BD?AD，FH?AD，∴FH∥BC． 由（1），知?FBA??BAF，∴BF?AF． 由已知，有BF?FG，∴AF?FG，即△AFG是等腰三角形． HG1∵FH?AD，∴AH?GH．∵DG?AG，∴DG?2HG，即?． DG2∵FH∥BD，BF∥AD，?FBD?90°， ∴四边形BDHF是矩形，BD?FH． ∵FH∥BC，易证△HFG∽△DCG． FHFGHGBDFGHG1∴?????． ，即CDCGDGCDCGDG2∵?O的半径长为32，∴BC?62． ∴∵BDBDBD1???．解得BD?22．∴BD?FH?22． CDBC?BD62?BD2FGHG11??，∴FG?CG．∴CF?3FG． CGDG22在Rt△FBC中，∵CF?3FG，BF?FG，由勾股定理，得CF2?BF2?BC2． ．∴FG?3． ∴(3FG)2?FG2?(62)2．解得FG?3（负值舍去）

［或取CG的中点H，连结DH，则CG?2HG．易证△AFC≌△DHC，

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∴FG?HG，故CG?2FG，CF?3FG．

由GD∥FB，易知△CDG∽△CBF，∴由CDCG2FG2???． CBCF3FG362?BD2?，解得BD?22． 362∴FG?3又在Rt△CFB中，由勾股定理，得(3FG)2?FG2?(62)2，（舍去负值）．］

9、解：（1）【略证】连结OD． ∵OA是半圆的直径，∴∠ADO＝90°．∴AE切⊙O于点D． （2）【略解】∵AC、AD的长是关于x的方程x2－kx＋45＝0的两个根，且AC＝2，AC·AD＝25， ∴AD＝45．∵AD是⊙O的切线，ACB为割∴AD2＝AC·AB．又AD＝25，AC＝2，∴AB10． 则 BC＝8，OB＝4．∵BE⊥AB， ∴BE切⊙O于B． 又AE切⊙O于点D，∴ED＝EB． 在Rt△ABE中，设BE＝x，由勾股定理，得 （x＋25）2＝x2＋102． 解此方程，得x＝45． 即BE的长为45． （3）连结BD，有∠CDB＝90°． ∵AD切⊙O于D， ∴∠ADC＝∠ABD，且tan ∠ADC＝tan ． 在△ADC和△ABD中，∠A＝∠A，∠ADC＝∠ABD， ∴△ADC∽△ABD． DCAD255∴BD＝AB＝10＝5． CD∠ABD＝BD线， ＝ 5∴ tan ∠ADC＝5．

中考真题 一、选择题 1．（2010安徽省中中考）如图，⊙O过点B 、C。圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC

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＝900，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为??????（） A）10B）23C）32D）13

2．（2010安徽蚌埠二中）以半圆的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后 与直径AB交于点D，若长为 A．45B．43C．42 D．4 AD2?，且AB?10，则CB的 DB3 3．（2010安徽芜湖）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（） A．19 B．16 C．18 D．20 4．（2010甘肃兰州）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个 5．（2010甘肃兰州）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为 A．15? B．28? C．29? D．34?

6．（2010江苏南通）如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是

A．1

B．2 成功始于觉醒 共69页第23页心态决定命运

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C．3

D．2

7．（2010山东烟台）如图，△ ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤,正确结论的个数是 A、2 B、3 C、4 D、5 8．（2010台湾）如图(二)，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD与AC交于 E点，且OD?AC。若OE=4，ED=2，则BC长度为何？ (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 。 B O A E D 图(二) C 9．（2010浙江嘉兴）如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知?O?60?，则?C?（ ▲ ） （A）20? （C）30?

（B）25? （D）45? COAB（第4题）

10．（2010 浙江台州市）如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为 (▲)

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D 胡老师家教 联系QQ：450201089 O 要记住：①掌握一个解题方法比做一百道题更重要②坚持就是胜利 A C （第5题）

B

A．25° B．30° C．40° D．50° 11．（2010 重庆）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若?ABC?70?， 则?AOC的度数等于（） A O B C 6题图 A．140? B．130? C．120? D．110? 12．（2010重庆市潼南县）如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠C=15°, 则∠BOC的度数为（ ） A．15°B. 30° C. 45° D．60° AOB4题图C 13．（2010 福建德化）如图，点B、C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角?BAC等于（） A．60? B．50? C．40? D．30? AOBC

14．（2010 福建晋江）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且A是优弧BAC上与点B、点

C不同的一点，若?BOC是直角三角形，则?BAC必是( ) .

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A O C 第6题图

B A.等腰三角形 B.锐角三角形

C.有一个角是30?的三角形 D.有一个角是45?的三角形 15．（2010浙江金华）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC的度数为（ ▲ ） B O A C A. 20° B.40° C.60° D. 80° 16．（2010四川宜宾）若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是( ) A．点A在圆内 B．点A在圆上 c．点A在圆外D．不能确定 17．（2010浙江绍兴）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( ) A.3 B.4 C.6 D.8 18．（2010湖南衡阳）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则?3的度数等于（） A．50° B．30° C．20° D．15° 1 3 2 oo19．（2010湖南衡阳）如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70，∠c=50， 那么sin∠AEB的值为( ) A.1B.3C.2D.3 2322

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20．（2010 河北）如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是 A B C P Q R M 图3 B．点Q C．点R D．点M A．点P 21．（2010 山东省德州）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是 (A)0，1，2，3 (B)0，1，2，4 (C)0，1，2，3，4 (D)0，1，2，4，5 22．（2010福建宁德）如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是（）． C O A B 第5题图 A.17° B.34° C.56° D.68° 23．（2010年贵州毕节）如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm2,则该半圆的半径为（ ） A B O D C

A. (4?5) cm B. 9 cm C. 45cm D.62cm 24．（2010湖北武汉）如图，的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD的长为（）

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A、7 B、72 C、82 D、9

25．（2010浙江湖州）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（） A．AE＝OE 60° B．CE＝DE C．OE＝1CE 2 D．∠AOC＝ 26．（2010湖北荆门）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上， ∠AMN=30°，B为AN弧的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为 A．22 B．2 C．1 ABMND．2 PO第10题图 27．（2010山东潍坊）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（）． A．5cm B．2．5cm C．2cm D．1cm

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28．（2010湖南郴州）如图，AB是?O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E， 则下列结论中不成立的是 ．．． A 第7题 CBDOE Ａ．?A??D Ｂ．CE?DE ?Ｃ．?ACB?90 Ｄ．CE?BD 29．（2010湖北荆州）△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，作△ABC的外接圆．如图，若弧A B 的长为12cm，那么弧AC 的长是 A．10cm B．9cm C．8cm D．6cm 30．（2010湖北鄂州）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点Ｄ，Ｅ是OＢ上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF交直线CD于点G，AC=22,则AG·AF是 Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．16 Ｄ．8 CADGOEBFBBD是⊙O的直径，

31（2010云南红河哈尼族彝族自治州）如图2，已知

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oAEDC图2胡老师家教 联系QQ：450201089

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⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为

A.30° B.40°

C.50° D.60°

32. （2010四川乐山）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（－2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A. （－1，2）B. （1，－1）C. （－1，1）D. （2，1）

A B C 33.（2010黑龙江哈尔滨）如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，?AOB?120，则弦AB的长是 （A）22 （） （B）23 （C）5 （D）．32 ? 34.（2010陕西西安）如图，点A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°若点M是⊙O上的动 点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35.（2010 福建三明）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2）， N（0，8）两点，则点P的坐标是（） A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5）

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