2015年高考理科数学试题与答案-全国卷1
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专业资料整理 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷1)
理科数学
一、选择题
1.设复数z 满足 1 1 z z
=i ,则|z|=()
(A )1(B )2(C )3(D )2
2.
oooo sin20cos10cos160sin10=() (A )3
2
(B ) 3 2 (C ) 1 2 (D ) 1 2 3.设命题p : 2n nN,n2,则p 为()
(A ) 2n nN ,n 2(B ) 2n nN,n2
(C ) 2n nN ,n 2(D )
2n nN,n=2 4.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各 次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()
(A )0.648(B )0.432(C )0.36(D )0.312
5.已知M ( x 0,y 0)是双曲线C : 2 x
2 21 y 上的一点,F 1,F 2是C 上的两个焦点,若MF 1MF 20,则
y 的取值范围是() 0
(A )(- 3 3 ,
3 3
)(B )(- 3 6 , 3 6 ) (C )(22
3 ,
22 3 )(D )(23 3 , 23 3 ) 6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺, 高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米 堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问
米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆
周率约为3,估算出堆放斛的米约有()
(A )14斛(B )22斛(C )36斛(D )66斛
7.设D 为ABC 所在平面内一点BC3CD ,则()
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试卷第1页,总16页
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专业资料整理 (A )14
ADABAC (B )
33
14 ADABAC 33 (C ) 41 ADABAC (D ) 33 41 ADABAC 33
8.函数f(x)=cos(x)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为()
(A ) 13 (k ,k ),kZ (B ) 44
13 (2k,2k),kZ 44 (C ) 13 (k ,k),kZ (D ) 44 13 (2k,2k),kZ
44
9.执行右面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()
(A )5(B )6(C )7(D )8
10. 25 (xxy)的展开式中, 52
xy 的系数为()
(A )10(B )20(C )30(D )60
11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视 图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=()
(A )1(B )2(C )4(D )8
x
12.设函数f(x)=(21)
exaxa ,其中a1,若存在唯一的整数x 0,使得f(x 0)0,则a 的取值范围
是()
(A )[- 3 2e ,1)(B )[- 3 2e , 34 )(C )[ 3 2e , 34 )
(D )[
3 2e ,1)
二、填空题
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试卷第2页,总16页
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专业资料整理 13.若函数f (x )= 2 xln(xax)为偶函数,则a=
14.一个圆经过椭圆 22
xy
164
1 的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.
x
10
40
xy
xy
,则 y x 15.若x,y 满足约束条件的最大值为. 16.在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是.
三、解答题
17.(本小题满分12分) S 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0, n
2 aa=4S n 3. nn (Ⅰ)求{ a }的通项公式; n
(Ⅱ)设 b n 1 aa nn 1 ,求数列{b n }的前n 项和.
18.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=12°0,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平 面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.
(Ⅰ)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;
(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.
19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位: t )和年利润z (单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费
x 和年销售量 i y (i=1,2,···,8)数据作 i
了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
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试卷第3页,总16页
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专业资料整理 xyw 8 2
(x i x)
8 8 2 (w i w)(x i x)(y i y) 8 (w i w)(y i y)i1i1i
1i1 46.656.36.8289.81.61469108.8
表中 wx ,w= ii 8 1 8
i1 w i (Ⅰ)根散点图判,y =a +b x 与y =c +d x 哪
一个适宜作
为年销售给出判断即可,不必说) (Ⅱ)据(Ⅰ)的断结果及表中
数据关于x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z =0.2
y -x .
根
据
(Ⅱ)的
结
果(ⅰ)费x =49时,年销售量及年利润 (ⅱ)费x 为何值
时,年利率?
附:对于一组数据 (u,v),(u 2,v 2),??,(u n ,v n ),其回归线vu 的斜率和截距的最小二乘估计分 11 别为: 20.
(本分12分)在直角坐标系xoy 中,曲线C :y= (Ⅰ)
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2
1
.
(
试卷第4页,总16页
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专业资料整理 (Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线yf(x )的切线;
(Ⅱ)用minm,n 表示m,n 中的最小值,设函数h(x)minf(x),g(x)(x0),讨论h (x )零点 的个数.
22.(本题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB 是的直径,AC 是的切线,BC 交于E.
(Ⅰ)若D 为AC 的中点,证明:DE 是的切线;
(Ⅱ)若OA3CE ,求∠ACB 的大小.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,直线 C:x=2,圆C 2: 1 22
x1y21,以坐标原点为极点,
x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求 C ,C 2的极坐标方程;
1 (Ⅱ)若直线 C 的极坐标方程为 3 4 R ,设 C 与
2 C 的交点为M,N,求
3 C MN 的面积. 2 24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;
(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.
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试卷第5页,总16页
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答案及解析
【答案解析】
1.【答案】A
【解析】由 11 z z iz 得, 1 1 i i = (1i)(1i) (1i)(1i )
=i ,故
|z|=1,
故选A .
考点:本题主要考查复数的运算和复等. 2.【答案】D
【解析】原式= oooo sin20cos10cos20sin10= o sin30= 1 2
,故选D .
考点:本题主要考查诱导公式与两角和与差
弦公式.
3.【答案】C
【解析】p: 2n
nN ,n 2,故选C .
考点:本题主要考查特称命定
4.【答案】A
【解析】考点:本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式 5.【答案】A
【解析= 33
222 x 0y 033y 010,解得0
y ,故选A .
33
考点:双
曲
线的标准方程;向量
数6.【答案】B
1
【解析】设 4
23r 320 故堆放的米约为
9
÷1.62≈22,故选B . 考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式 6
16页
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专业资料整理 7.【答案】A
【解析】由题知 11 ADACCDACBCAC(ACAB)= 33 14
ABAC ,故选A. 33
考点:平面向量的线性运算
8.【答案】D
【解析】由五点作图知, 1 + 42
53 +
42
,解得=,= 4 ,所以f(x)cos(x),令
4
2kx2k,kZ ,解得 4 kZ ,故选D. 1 2 kx 4
3 2k ,kZ ,故单调减区间为(
4 13
2k ,2k ),
44
考点:三角函数图像与性质
9.【答案】C
【解析】执行第1次,t=0.01,S=1,n=0,m= 1 2 =0.5,S=S-m=0.5, m
m=0.25,n=1,S=0.5>t=0.01,是,循环,
2
执行第2次,S=S-m=0.25, m
m=0.125,n=2,S=0.25>t=0.01,是,循环,
2
执行第3次,S=S-m=0.125, m
m=0.0625,n=3,S=0.125>t=0.01,是,循环,
2
执行第4次,S=S-m=0.0625, m
m=0.03125,n=4,S=0.0625>t=0.01,是,循环,
2
执行第5次,S=S-m=0.03125, m
m=0.015625,n=5,S=0.03125>t=0.01,是,循环,
2
执行第6次,S=S-m=0.015625, m
m=0.0078125,n=6,S=0.015625>t=0.01,是,循环,
2
执行第7次,S=S-m=0.0078125, 考点:本题注意考查程序框图 m
m=0.00390625,n=7,S=0.0078125>t=0.01,否,输出n=7,故选C.
2
10.【答案】C
【解析】在 25 (x xy)的5个因式中,2个取因式中 2
x 剩余的3个因式中1个取x ,其余因式取y,
故
52 xy 的系数为 212
CCC=30,故选C.
532 考点:本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.
【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数,试题形式新颖,是中档题,求多项展开式 式某一项的系数问题,先分析该项的构成,结合所给多项式,分析如何得到该项,再利用排列组知识求解.
11.【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r ,圆柱 的高为2r ,其表面积为 1 2 22 4rr2rr2r2r= 22
5r4r=16+20,解得r=2,故选B.
考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式
12.【答案】D
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试卷第7页,总16页
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专业资料整理 x
【
解g(x)=e(2x1),yaxa ,由题知存在唯一的整数x 0,使得g(x 0)在直线yaxa 的下 方. x
因为g(x)e(2x1),所以当
1
1 x 时,g(x)<0,当
2 1 x 时,g(x)>0,所以当 2 1 x 时, 2
[g(x)]= max
-2e , 2 当x0时,g(0)=-1,g(1)3e0,直线yaxa 恒过(1,0)斜率且a ,故ag(0)1,且 1
g(1)3e aa ,解得 3 2e ≤a <1,故选D . 考点
:本题主
要通过利用导数研究函数的图像与性质 13.【答案】1
【解析】由题知
2 yln(xax)是奇函数,所以 22 ln(xax)ln(xax)= 22
ln(axx)lna0,解得a=1.
考点:函数的奇偶性
14.【答案】 325 22
(x)y
24 222 【解为(a ,0325 22 (x)y . 24
考15.【答案】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知, y x 是可行域内一点与原点连线的斜率,由图
可知,点A (1,3)与原点连线的斜率最大,故 y x 的最大值为3. 试卷第8页,总16页
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专业资料整理 考点:线性规划解法
16.【答案】(62,6+2)
【解析】如图所示,延长BA ,CD 交于E ,平移AD ,当A 与D 重合与E 点时,AB 最长,在△BCE 中,∠B=∠
C=75°,∠E=30°,BC=2,由正弦定理可得
BCBE sinEsinC
,即 2BE oo sin30sin75 ,解得BE=6+2, 平移AD ,当D 与C 重合时,AB 最短,此时与AB 交于F ,在△BCF 中,∠B=∠BFC=75°,∠FCB=30°,由 正弦定理知,
BFBC sinFCBsinBFC ,即 BF2 oo
sin30sin75 ,解得BF=62,所以AB 的取值范围为
(62,6+2).
考点:正余弦定理;数形结合思想
17.【答案】(Ⅰ)2n1(Ⅱ)
【解析】
11 64n6 试题分析:(Ⅰ)先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{ a }的递推公式,可以判断数列{a n }是等差 n
数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列{ a }的通项公式;(Ⅱ)根据(Ⅰ)数列{b n }的通项公式, n
再用拆项消去法求其前n 项和.
试题解析:(Ⅰ)当n1时,2
aaSa ,因为a0,所以
12141341+3 n a =3, 1 当n2时,22
aaaa=4S n 34S n13=4a n ,即(a n a n1)(a n a n1)2(a n a n1),因为 nnn1n1
a0,所以 n a a=2, nn1
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专业资料整理 所以数列{ a }是首项为3,公差为2的等差数列, n
试卷第9页,总16页
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专业资料整理 所以 a =2n1; n
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, b= n 1111 () (2n1)(2n3)22n12n3
, 所以数列{ b}前n 项和为b 1b 2b n = n 1111111 [()()()] 235572n12n3
= 11 64n6 .
考点:数列前n 项和与第n 项的关系;等差数列定义与通项公式;拆项消去法
18.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
3 3 【解析】 试题分析:(Ⅰ)连接BD ,设BD ∩AC=G ,连接EG ,FG ,EF ,在菱形ABCD 中,不妨设GB=1易证EG ⊥AC ,通 过计算可证EG ⊥FG ,根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ,由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ; (Ⅱ)以G 为坐标原点,分别以GB,GC 的方向为x 轴,y 轴正方向,|GB|为单位长度,建立空间直角坐
标系G-xyz ,利用向量法可求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)连接BD ,设BD ∩AC=G ,连接EG ,FG ,EF ,在菱形ABCD 中,不妨设GB=1,由∠ABC=12°0, 可得AG=GC=3.
由BE ⊥平面ABCD ,AB=BC 可知,AE=EC ,
又∵AE ⊥EC ,∴EG=3,EG ⊥AC ,
在Rt △EBG 中,可得BE=2,故DF=2
2
. 在Rt △FDG 中,可得FG= 6 2
.
在直角梯形BDFE 中,由BD=2,BE=2,DF=
2 2
32 2 可得EF= , ∴ 222 EGFGEF ,∴EG ⊥FG ,
∵AC ∩FG=G ,∴EG ⊥平面AFC ,
∵EG 面AEC ,∴平面AFC ⊥平面AEC.
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试卷第10页,总16页
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(Ⅱ)
如图,
以G
为
坐标原点
以GB,GC 的方向为x 轴,y 轴正方向,|GB|为单位长度,建立空间
直角坐标系G-xyz ,由(Ⅰ)可得A (0,-3,0),E (1,0,2),F (-1,0, 2 2
),C (0,3,0), ∴AE=(1,3,2)
,CF=(-1,-3,2 2 ).?10分 故
cosAE,CF AECF |AE||CF| 3 3 . 所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为 3 3
. 考点:空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力
19【.答案】(Ⅰ)ycdx 适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型;(Ⅱ)
y100.668x
(Ⅲ)46.24 【解析】
试题分析:(Ⅰ)由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数;(Ⅱ)令wx ,先求出建立y
关于
w
的线性回归方程,
即可y 关于x
的回归方程;(Ⅲ)(ⅰ)利用
y 关于x
的回归方程先求出年销售
量y
的预报值,再根据年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z 的预报值;(ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知, 年利润z 的预报值,列出关于x 的方程,利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传
费用. 试题解析:
(Ⅰ)由散点图可以判断,ycdx 适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.
8
(w w)(yy) ii
108.8
(Ⅱ)令
wx ,先建立y 关于w
的线性回归方程,由于
i1
d==68,
8
2
(ww) i
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16 i1
试卷第
11页,总
16页
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专业资料整理 ∴cydw=563-68×6.8=100.6.
∴y 关于w
的线性回归方程为y100.668w , ∴y 关于x 的回归方程为y100.668x.
(
Ⅲ)
(ⅰ
)由(Ⅱ)知,当x =49时,量
y100.66849=576.6, z576.60.24966.32. (
ⅱ)根据(
Ⅱ)的结果
知,年利润
z0.2(100.668x )xx13.6x20.12, 13.6 2 ∴当x= =6.8 ,即x46.24时,z 取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时,年利润的预报值最大.??12分 考点:非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识 20.【答案】(Ⅰ)axya0或axya0(Ⅱ)存在 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先求出M,N 的坐标,再利用导数求出M,N.(Ⅱ)先作出判定,再利用设而不求思想即将 ykxa 代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程,设出M,N 的坐标和P 点坐标,利用设而不求思 想,将直线PM ,PN 的斜率之和用a 表示出来,利用直线PM ,PN 的斜率为0,即可求出a,b 关系,从而找出
适合条件的P 点坐标.
试题解析:(Ⅰ)由题设可得M(2a,a),N (22,a),或M(22,a),N(2a ,a).
∵ 1 yx ,故
2 2 x y 在x=22a 处的到数值为a ,C 在(22a,a)处的切线方程为
4
yaa (x2a ),即axya0.
故
2 x y 在x =-22a 处的到数值为-a ,C 在(22a,a)处的切线方程为
4
yaa (x 2a ),即axya0.
故所求切线方程为axya0或axya0.
(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:
设P (0,b )为复合题意得点, M (x,y),N(x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 11
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