2015年高考理科数学试题与答案-全国卷1

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专业资料整理 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷1）

理科数学

一、选择题

1．设复数z 满足 1 1 z z

=i ，则|z|=（）

（A ）1（B ）2（C ）3（D ）2

2．

oooo sin20cos10cos160sin10=（） （A ）3

2

（B ） 3 2 （C ） 1 2 （D ） 1 2 3．设命题p ： 2n nN,n2，则p 为（）

（A ） 2n nN ,n 2（B ） 2n nN,n2

（C ） 2n nN ,n 2（D ）

2n nN,n=2 4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各 次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）

（A ）0.648（B ）0.432（C ）0.36（D ）0.312

5．已知M （ x 0,y 0）是双曲线C ： 2 x

2 21 y 上的一点，F 1,F 2是C 上的两个焦点，若MF 1MF 20，则

y 的取值范围是（） 0

（A ）（- 3 3 ，

3 3

）（B ）（- 3 6 ， 3 6 ） （C ）（22

3 ，

22 3 ）（D ）（23 3 ， 23 3 ） 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺， 高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米 堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问

米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆

周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）

（A ）14斛（B ）22斛（C ）36斛（D ）66斛

7．设D 为ABC 所在平面内一点BC3CD ，则（）

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试卷第1页，总16页

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专业资料整理 （A ）14

ADABAC （B ）

33

14 ADABAC 33 （C ） 41 ADABAC （D ） 33 41 ADABAC 33

8．函数f(x)=cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）

（A ） 13 (k ,k ),kZ （B ） 44

13 (2k,2k),kZ 44 （C ） 13 (k ,k),kZ （D ） 44 13 (2k,2k),kZ

44

9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）

（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8

10． 25 (xxy)的展开式中， 52

xy 的系数为（）

（A ）10（B ）20（C ）30（D ）60

11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视 图如图所示.若该几何体的表面积为16+20，则r=（）

（A ）1（B ）2（C ）4（D ）8

x

12．设函数f(x)=(21)

exaxa ,其中a1，若存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)0，则a 的取值范围

是（）

（A ）[- 3 2e ，1）（B ）[- 3 2e ， 34 ）（C ）[ 3 2e ， 34 ）

（D ）[

3 2e ，1）

二、填空题

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专业资料整理 13．若函数f （x ）= 2 xln(xax)为偶函数，则a=

14．一个圆经过椭圆 22

xy

164

1 的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.

x

10

40

xy

xy

，则 y x 15．若x,y 满足约束条件的最大值为. 16．在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是.

三、解答题

17．（本小题满分12分） S 为数列{a n }的前n 项和.已知a n ＞0， n

2 aa=4S n 3. nn （Ⅰ）求{ a }的通项公式； n

（Ⅱ）设 b n 1 aa nn 1 ,求数列{b n }的前n 项和.

18．如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=12°0，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平 面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.

（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；

（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.

19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位： t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费

x 和年销售量 i y （i=1,2，···，8）数据作 i

了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

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试卷第3页，总16页

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专业资料整理 xyw 8 2

(x i x)

8 8 2 (w i w)(x i x)(y i y) 8 (w i w)(y i y)i1i1i

1i1 46.656.36.8289.81.61469108.8

表中 wx ，w= ii 8 1 8

i1 w i （Ⅰ）根散点图判，y =a +b x 与y =c +d x 哪

一个适宜作

为年销售给出判断即可，不必说） （Ⅱ）据（Ⅰ）的断结果及表中

数据关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z =0.2

y -x .

根

据

（Ⅱ）的

结

果（ⅰ）费x =49时，年销售量及年利润 （ⅱ）费x 为何值

时，年利率？

附：对于一组数据 (u,v),(u 2,v 2)，??，(u n ,v n ),其回归线vu 的斜率和截距的最小二乘估计分 11 别为： 20．

（本分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y= （Ⅰ）

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2

1

．

（

试卷第4页，总16页

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专业资料整理 （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线yf(x )的切线；

（Ⅱ）用minm,n 表示m,n 中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)(x0)，讨论h （x ）零点 的个数.

22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB 是的直径，AC 是的切线，BC 交于E.

（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是的切线；

（Ⅱ）若OA3CE ，求∠ACB 的大小.

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线 C:x=2，圆C 2： 1 22

x1y21,以坐标原点为极点，

x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求 C ，C 2的极坐标方程；

1 （Ⅱ）若直线 C 的极坐标方程为 3 4 R ，设 C 与

2 C 的交点为M,N,求

3 C MN 的面积. 2 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）>1的解集；

（Ⅱ）若f （x ）的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.

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答案及解析

【答案解析】

1.【答案】A

【解析】由 11 z z iz 得， 1 1 i i = (1i)(1i) (1i)(1i )

=i ，故

|z|=1，

故选A .

考点：本题主要考查复数的运算和复等. 2.【答案】D

【解析】原式= oooo sin20cos10cos20sin10= o sin30= 1 2

，故选D .

考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差

弦公式.

3.【答案】C

【解析】p: 2n

nN ,n 2，故选C .

考点：本题主要考查特称命定

4.【答案】A

【解析】考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式 5.【答案】A

【解析= 33

222 x 0y 033y 010，解得0

y ，故选A .

33

考点：双

曲

线的标准方程；向量

数6.【答案】B

1

【解析】设 4

23r 320 故堆放的米约为

9

÷1.62≈22，故选B . 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 6

16页

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专业资料整理 7.【答案】A

【解析】由题知 11 ADACCDACBCAC(ACAB)= 33 14

ABAC ，故选A. 33

考点：平面向量的线性运算

8.【答案】D

【解析】由五点作图知， 1 + 42

53 +

42

，解得=，= 4 ，所以f(x)cos(x)，令

4

2kx2k,kZ ，解得 4 kZ ，故选D. 1 2 kx 4

3 2k ，kZ ，故单调减区间为（

4 13

2k ，2k ），

44

考点：三角函数图像与性质

9.【答案】C

【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m= 1 2 =0.5,S=S-m=0.5, m

m=0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，

2

执行第2次，S=S-m=0.25, m

m=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，

2

执行第3次，S=S-m=0.125, m

m=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，

2

执行第4次，S=S-m=0.0625, m

m=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，

2

执行第5次，S=S-m=0.03125, m

m=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，

2

执行第6次，S=S-m=0.015625, m

m=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，

2

执行第7次，S=S-m=0.0078125, 考点：本题注意考查程序框图 m

m=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.

2

10.【答案】C

【解析】在 25 (x xy)的5个因式中，2个取因式中 2

x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,

故

52 xy 的系数为 212

CCC=30，故选C.

532 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.

【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式 式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.

11.【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱 的高为2r ，其表面积为 1 2 22 4rr2rr2r2r= 22

5r4r=16+20，解得r=2，故选B.

考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式

12.【答案】D

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试卷第7页，总16页

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专业资料整理 x

【

解g(x)=e(2x1)，yaxa ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g(x 0)在直线yaxa 的下 方. x

因为g(x)e(2x1)，所以当

1

1 x 时，g(x)＜0，当

2 1 x 时，g(x)＞0，所以当 2 1 x 时， 2

[g(x)]= max

-2e ， 2 当x0时，g(0)=-1，g(1)3e0，直线yaxa 恒过（1,0）斜率且a ，故ag(0)1，且 1

g(1)3e aa ，解得 3 2e ≤a ＜1，故选D . 考点

：本题主

要通过利用导数研究函数的图像与性质 13.【答案】1

【解析】由题知

2 yln(xax)是奇函数，所以 22 ln(xax)ln(xax)= 22

ln(axx)lna0，解得a=1.

考点：函数的奇偶性

14.【答案】 325 22

(x)y

24 222 【解为（a ，0325 22 (x)y . 24

考15.【答案】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， y x 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图

可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故 y x 的最大值为3. 试卷第8页，总16页

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专业资料整理 考点：线性规划解法

16.【答案】（62，6+2）

【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠

C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得

BCBE sinEsinC

，即 2BE oo sin30sin75 ，解得BE=6+2， 平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由 正弦定理知，

BFBC sinFCBsinBFC ，即 BF2 oo

sin30sin75 ，解得BF=62，所以AB 的取值范围为

（62，6+2）.

考点：正余弦定理；数形结合思想

17.【答案】（Ⅰ）2n1（Ⅱ）

【解析】

11 64n6 试题分析：（Ⅰ）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{ a }的递推公式，可以判断数列{a n }是等差 n

数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{ a }的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{b n }的通项公式， n

再用拆项消去法求其前n 项和.

试题解析：（Ⅰ）当n1时，2

aaSa ，因为a0，所以

12141341+3 n a =3， 1 当n2时，22

aaaa=4S n 34S n13=4a n ，即(a n a n1)(a n a n1)2(a n a n1)，因为 nnn1n1

a0，所以 n a a=2， nn1

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专业资料整理 所以数列{ a }是首项为3，公差为2的等差数列， n

试卷第9页，总16页

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专业资料整理 所以 a =2n1； n

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， b= n 1111 () (2n1)(2n3)22n12n3

， 所以数列{ b}前n 项和为b 1b 2b n = n 1111111 [()()()] 235572n12n3

= 11 64n6 .

考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法

18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

3 3 【解析】 试题分析：（Ⅰ）连接BD ，设BD ∩AC=G ，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EG ⊥AC ，通 过计算可证EG ⊥FG ，根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ； （Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以GB,GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐

标系G-xyz ，利用向量法可求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）连接BD ，设BD ∩AC=G ，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1，由∠ABC=12°0， 可得AG=GC=3.

由BE ⊥平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ，

又∵AE ⊥EC ，∴EG=3，EG ⊥AC ，

在Rt △EBG 中，可得BE=2，故DF=2

2

. 在Rt △FDG 中，可得FG= 6 2

.

在直角梯形BDFE 中，由BD=2，BE=2，DF=

2 2

32 2 可得EF= ， ∴ 222 EGFGEF ，∴EG ⊥FG ，

∵AC ∩FG=G ，∴EG ⊥平面AFC ，

∵EG 面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC.

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试卷第10页，总16页

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（Ⅱ）

如图，

以G

为

坐标原点

以GB,GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间

直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （0，－3，0），E （1,0,2），F （－1,0， 2 2

），C （0，3，0）， ∴AE=（1，3，2）

，CF=（-1，-3，2 2 ）.?10分 故

cosAE,CF AECF |AE||CF| 3 3 . 所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为 3 3

. 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

19【.答案】（Ⅰ）ycdx 适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；（Ⅱ）

y100.668x

（Ⅲ）46.24 【解析】

试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令wx ，先求出建立y

关于

w

的线性回归方程，

即可y 关于x

的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用

y 关于x

的回归方程先求出年销售

量y

的预报值，再根据年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知， 年利润z 的预报值，列出关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传

费用. 试题解析：

（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx 适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.

8

(w w)(yy) ii

108.8

（Ⅱ）令

wx ，先建立y 关于w

的线性回归方程，由于

i1

d==68，

8

2

(ww) i

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16 i1

试卷第

11页，总

16页

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专业资料整理 ∴cydw=563-68×6.8=100.6.

∴y 关于w

的线性回归方程为y100.668w ， ∴y 关于x 的回归方程为y100.668x.

（

Ⅲ）

（ⅰ

）由（Ⅱ）知，当x =49时，量

y100.66849=576.6， z576.60.24966.32. （

ⅱ）根据（

Ⅱ）的结果

知，年利润

z0.2(100.668x )xx13.6x20.12， 13.6 2 ∴当x= =6.8 ，即x46.24时，z 取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.??12分 考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 20.【答案】（Ⅰ）axya0或axya0（Ⅱ）存在 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将 ykxa 代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思 想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出a,b 关系，从而找出

适合条件的P 点坐标.

试题解析：（Ⅰ）由题设可得M(2a,a)，N (22,a)，或M(22,a)，N(2a ,a).

∵ 1 yx ，故

2 2 x y 在x=22a 处的到数值为a ，C 在(22a,a)处的切线方程为

4

yaa (x2a )，即axya0.

故

2 x y 在x =-22a 处的到数值为-a ，C 在(22a,a)处的切线方程为

4

yaa (x 2a )，即axya0.

故所求切线方程为axya0或axya0.

（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P （0，b ）为复合题意得点， M (x,y)，N(x 2,y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1,k 2. 11

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