全等三角形知识及习题

第十一章《全等三角形》知识要点归纳

一、知识网络

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?对应角相等

性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理

二、基础知识梳理 （一）基本概念 1、“全等”的理解

全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等； （3）全等三角形周长、面积相等。 3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理

证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条

件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA ）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

（三）疑点、易错点 1、对全等三角形书写的错误

在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。切记不要弄错。

2、对全等三角形判定方法理解错误；

3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。 三、证明全等三角形的常见思路 一、已知一边与其一邻角对应相等

1.证已知角的另一边对应相等，再用SAS 证全等。 例1 已知：如图1，点E 、F 在BC 上，BE=CF ，AB=DC ，∠B=∠C .求证：AF=DE.

2.证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA 证全等。 例2 已知：如图2，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，FC ∥AB.求证：AE=CE

3.证已知边的对角对应相等，再用AAS 证全等。 例3 （同例2）

二、已知两边对应相等

1.证两已知边的夹角对应相等，再用SAS 证等。

例4 已知：如图3，AD=AE ，点D 、E 在BC 上，BD=CE ，∠1=∠2.求证： △ABD ≌△

ACE

2.证第三边对应相等，再用SSS 证全等。

例5 已知：如图4，点A 、C 、B 、D 在同一直线上，AC=BD ，AM=CN ， BM=DN.求证： AM ∥CN ，BM ∥DN 三、已知两角对应相等

1.证两已知角的夹边对应相等，再用ASA 证全等。

例6 已知：如图5，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，FB=CE ，∠B=∠E ，∠ACB=∠DFE.求证： AB=DE ， AC=DF 2.证一已知角的对边对应相等，再用AAS 证全等。 例7 已知：如图6，AB 、CD 交于点O ，E 、F 为AB 上两点，OA=OB ，OE=OF ，∠A=∠B ，∠ACE=∠BDF. 求证：△ACE ≌△BDF.

例1如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂

足，AB交OM于点N．

求证：∠OAB=∠OBA

例2如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。

F

E

D

C

B

A

例3：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过

点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，

如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。

例4在Rt△ABC中，已知∠A=90°，DE⊥BC于E点，如果

AD=DE，BD=CD，求∠C的度数

5．下列命题中真命题的个数有( )

⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相

等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边

上的高、中线及对应角平分线分别相等，

A、3个

B、2个

C、1个

D、0个

6在⊿ABC和⊿A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，

若证⊿ABC≌⊿A′B′C′还要从下列条件中补选一个，错

误的选法是（）

A. ∠B=∠B′

B. ∠C=∠C′

C. BC=B′

C′ D. AC=A′C′

7．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF,图中全等三角形共有

_____对.

8．如图，从下列四个条件：①BC＝B′C，②AC＝A′C，

③∠A′CB＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为条件，

余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是

（）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

9 如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：

①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE。

请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一

个真命题（?要求写出已知，求证及证明过程）

10将一张长方形纸片按如图8

所示的方式折叠，BC BD

，为

折痕，则CBD

∠的度数为（）

A．60°B．75°C．90°D．95°

11 如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是

（）

A.△ABD和△CDB的面积相等

B.△ABD和△CDB的周长

相等

C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD

D.AD∥BC，且AD＝BC

12

画图，如图是三条

交叉公路，请你设计

一个方案，要建一个

购物中心，使它到三

条公路的距离相等，

这样的地址有几

处？请你画出来

B

D

A

C

B

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