南京市、淮安市2017届高三第三次模拟考试数学试题及答案

南京市2017届高三年级第三次模拟考试

数 学

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空．．．格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：

1

方差s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(xn－x)2]，其中x为x1，x2，?，xn的平均数．

n柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高． 1

锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

3

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，4}，B＝{3，4}，则?U(A∪B)＝ ▲ ．

2．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ▲ ． 3．若复数z满足z＋2z＝3＋2i，其中i为虚数单位，z为复数z的共轭复数，则复数z的模为 ▲ ． 4．执行如图所示的伪代码，若输出y的值为1，则输入x的值为 ▲ ．

Read x

If x≥0 Then 甲 乙

x＋1

y←2 7 7 9 0 8 9 Else 4 8 1 0 3 5

2

y←2－x

End If （第5题图）

Print y

（第4题图）

5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 ▲ ．

π1

6．在同一直角坐标系中，函数y=sin(x＋)（x∈[0，2π]）的图-象和直线y=的交点的个数是 ▲ ．

32x2y2

7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－=1的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是

2m3m ▲ ．

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－

－

31

8．已知f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数．当x∈[2，4]时，f(x)=log4(x－)，则f()的值为 ▲ ．

229．若等比数列{an}的各项均为正数，且a3－a1=2，则a5的最小值为 ▲ ． 10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3， ∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时， 三棱锥D－ABC1的体积为 ▲ ．

11．若函数f(x)＝ex(－x2＋2x＋a)在区间[a，a＋1]上单调递增，

则实数a的最大值为 ▲ ．

D A B

（第10题图）

C A1

B1 C1

→→→→→→12．在凸四边形ABCD中，BD＝2，且AC·BD＝0，(AB＋DC)?(BC＋AD)＝5，则四边形ABCD的面积为 ▲ ．

13．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2=1，圆M：(x＋a＋3)2＋(y－2a)2=1(a为实数)．若圆O与圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30?，则a的取值范围为 ▲ ．

3a＋8b232

14．已知a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，＋≤，则的取值范围为 ▲ ．

abcc

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．．

过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF． （1）求证：EF∥平面ABD；

（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．

B E

（第15题图） D F

C

A

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16．（本小题满分14分）

π

已知向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，α∈(0，)．

22

（1）若a－b＝(，0)，求t的值；

5

π

（2）若t＝1，且a ?b＝1，求tan(2α＋)的值．

4

17．（本小题满分14分）

在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE中，CD＝10米；三角形水域ABC的面积为4003平方米．设∠BAC＝θ．

（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；

（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．

看台Ⅰ A （第17题图）

E 表演台 B 水域 D C 看台 Ⅱ 南京市2017届高三三模考试数学试卷 第 3 页 共 16 页

18．（本小题满分16分）

x2y2

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段

ab3→→AB的中点，且OM·AB＝－b2．

2（1）求椭圆的离心率；

（2）已知a＝2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥DC．记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：

k1·k2为定值．

19．（本小题满分16分）

已知常数p＞0，数列{an}满足an＋1＝|p－an|＋2 an＋p，n∈N*． （1）若a1＝－1，p＝1， ①求a4的值；

②求数列{an}的前n项和Sn．

a1（2）若数列{an}中存在三项ar，as，at (r，s，t∈N*，r＜s＜t)依次成等差数列，求的取值范围．

p

20．（本小题满分16分）

已知λ∈R，函数f (x)＝ex－ex－λ(xlnx－x＋1)的导函数为g(x)． （1）求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程； （2）若函数g(x)存在极值，求λ的取值范围； （3）若x≥1时，f (x)≥0恒成立，求λ的最大值．

C O M A x D （第18题图）

y B 南京市2017届高三三模考试数学试卷 第 4 页 共 16 页

南京市2017届高三年级第三次模拟考试

数学附加题

注意事项：

1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考．．．试结束后，交回答题卡．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域．．．．．．．

内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，点B和点C在直线AE的两侧． 求证：AB·AC＝AD·AE．

B．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵A＝?

B D

E （第21(A)图）

C A

? 2 x?，X＝?－1?，且AX＝?1?，其中x，y∈R．

??2?? 1?? y 2 ?

（1）求x，y的值；

?1 －1?

（2）若 B＝??，求(AB)－1．

?0 2?

C．选修4—4：坐标系与参数方程

π

已知曲线C的极坐标方程是?2－8?cosθ＋15＝0，直线l的极坐标方程是θ＝（?∈R）．若P，Q分别

4为曲线C与直线l上的动点，求PQ的最小值．

D．选修4—5：不等式选讲

已知x＞0，求证：x3＋y2＋3≥3x＋2y．

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＝2(y1＋y2)＋my1y2－4m＝8m－4m－4m＝0．

→→

所以向量SM与NQ共线． ?????? 10分 23．（本小题满分10分）

解：（1）由题意，当n＝2时，数列{an}共有6项．

要使得f(2)是2的整数倍，则这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1，

0246 故T2＝C6＋C6＋C6＋C6＝25＝32． ??????? 3分 3n （2）Tn＝C30n＋C33n＋C36n＋?＋C3n． ??????? 4分

当1≤k≤n，k∈N*时，

k3k3k－13k－13k3k－13k－23k－13k3k－2

C3n3＋3＝C3n＋2＋C3n＋2＝C3n＋1＋C3n＋1＋C3n＋1＋C3n＋1＝2C3n＋1＋C3n＋1＋C3n＋1 13k－23k－13k3k－33k－2 ＝2 (C3k3－n＋C3n)＋C3n＋C3n＋C3n＋C3n

13k－23k3k－3 ＝3 (C3k3－n＋C3n)＋C3n＋C3n， ??????? 6分 363n＋3

于是Tn＋1＝C3n0＋3＋C3n＋3＋C3n＋3＋?＋C3n＋3

3n＋312453n－23n－103n ＝C3n0＋3＋C3n＋3＋3(C3n＋C3n＋C3n＋C3n＋?＋C3n＋C3n)＋Tn－C3n＋Tn－C3n

＝2Tn＋3(23n－Tn)

＝3×8n－Tn． ??????? 8分 1

下面用数学归纳法证明Tn＝[8n＋2(－1)n]．

3

103

当n＝1时，T1＝C3＋C3＝2＝[81＋2(－1)1]，即n＝1时，命题成立．

31

假设n＝k (k≥1，k∈N*)时，命题成立，即Tk＝[8k＋2(－1)k]．

3则当n＝k＋1时，

111＋＋

Tk＋1＝3×8k－Tk＝3×8k－[8k＋2(－1)k]＝[9×8k－8k－2(－1)k]＝[8k1＋2(－1)k1]，

333即n＝k＋1时，命题也成立．

1

于是当n∈N*，有Tn＝[8n＋2(－1)n]． ??????? 10分

3

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