07高等数学讲义长期班(汪诚义)第七章)114-137

第七章 多元函数积分学

§7.1 二重积分

(甲) 内容要点

一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题

模型I：设有界闭区域

D??(x,y)a?x?b,?1(x)?y??2(x)? 其中?1(x),?2(x)在[a,b]上连续，f(x,y)在

D上连续，则

b?2(x)1(x)??f(x,y)d????f(x,y)dxdy??dx??f(x,y)dyDDa

模型II：设有界闭区域

D??(x,y)c?y?d,?1(y)?x??2(y)?

其中?1(y),?2(y)在[c,d]上连续，f(x,y) 在D上连续

d?2(y) 则

??f(x,y)d????f(x,y)dxdy??dy??DDcf(x,y)dx

1(y) 关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II，把二重积分化为累次积分从而进行计算，

对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。 在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D，然后根据D再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。

二、在极坐标系中化二重积分为累次积分

在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定?对?进行积分，然后再对

?进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。

模型I 设有界闭区域

114

D??(?,?)?????,?1(?)????2(?)? 其中?1(?),?2(?)在[?,?]上连续，f(x,y)?f(?cos?,?sin?)在D上连续。

??2(?) 则

??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d????d????DD1(f(?cos?,?sin?)?d?

)模型II 设有界闭区域

D??(?,?)?????,0????(?)?其中

?(?)在[?,?]上连续，

f(x,y)?f(?cos?,?sin?)在D上连续。

??(?) 则

??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d????d??f(?cos?,?sin?)?d?

DD0?ye??dxdy，其中D由y=x,y=1和y轴所围区域 D2（乙）典型例题

一、二重积分的计算 例1 计算

解： 如果

??eD?y211dxdy??dx?e?ydy

0x2

那么先对e?y2求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累

次积分。

??eD?y21ydxdy??dy?e?ydx

002

这时先对x积分，e1?y2当作常数处理就可以了。

原式=ye?ydy???021?y2e2??10?11(1?) 2e例2 计算

|x|?10?y?2??|y?x2|dxdy

2?x?22解：原式=?dx??x?ydy??y?xdy? ???1x2?0?12

115

2???(x2?y)3?1113y?x22y?013222dx??(y?x)3?13221y?2dxy?x2

?

225?3|x|dx?(2?x)dx????3?13?13222(x?y?y)d? ??D例3 求 I?D:

解一：

x2?y2?4(x?1)?y?1

22

????????DD大圆D小圆D大圆???x2?y2?y?d??????D2?2x2?yd??0(对称性)大圆2?2d?r??dr?0016?33?2?2cos?

D小圆?????D小圆x?yd??0??d??222?0r2dr?32 9

????xD2?y2?yd???16(3??2) 9解二： 由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知

??yd??0

D??Dx2?y2d??2??x2?y2d?

D上??2222原式?2???x?yd????x?yd????D上2?D上1????2?22???2??d??r2d???d??r2dr??00?2cos????2?416?16?4?2???(??)??(3??2)39?9?3例4 计算二重积分I=

??rD2sin?1?r2cos2?drd?

116

其中 D???r,??0?r?sec?,0???????? 4?解：原式=D???rsin?D1?r2?cos2??sin2??rdrd????y1?x2?y2dxdy

D其中D?于是

??x,y?0?x?1,0?y?x?

x3x1111?222222?y1?x?ydy??dx?1?x?yd?1?x?y????1??1?x??dx02030??22I??dx?0101?13???2cos4?d????30316

二、交换积分的顺序

2a2ax例1 交换dx0?2ax?x2?f(x,y)dy的积分顺序

解 原式=

??f(x,y)dxdy

D其中D由y?2ax?x2和y?2ax以及

x?2a所围的区域

D?D1UD2UD3

y2y?2ax解出x?2a由

y?2ax?x2解出x?a?a2?y2

因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得

aa?a2?y2a2a2a2a原式?dy0?y22a?f(x,y)dx??dy0a?a2?y2?f(x,y)dx??dy?af(x,y)dx

y22a

例2 设f?(y)连续，证明

axI??dx?00f?(y)dy??[f(a)?f(0)]

(a?x)(x?y) 证明：交换积分次序

aaI??dy?f?(y)0ydx(a?y2a?y2)?(x?)22117

令 x?

a?ya?ya?y?sint,则dx?costd,t 222?a?yaacost22I??f?(y)dy?dt???f?(y)dy??[f(a)?f(0)] a?y?00cost?22

三、二重积分在几何上的应用 1、求空间物体的体积

例1 求两个底半径为R的正交圆柱面所围立体的体积

解 设两正交圆柱面的方程为x2?y2?R2和x2?z2?R2，它们所围立体在第一卦限

中的那部分体积

V1???R2?x2dxdy

D其中D为 0?x?R,RR2?x20?y?R2?x2

R

因此 V1?dx0??0R?xdy??(R2?x2)dx?02223R 3而整个立体体积由对称性可知

V?8V1?22163R 32222例2 求球面x?y?z?4R和圆柱面x?y?2Rx(R?0)所围（包含原点那一部分）的体积 解 V?4

??D24R2?x2?ydxdy

其中D为xy平面上y?2Rx?x2与x轴所围平面区域用极坐标系进行计算

V?4??4R2?r2rdrd?D?22Rcos?

?4?d?0?04R2?r2rdr

?32R32323?23?(1?sin?)d??R(?)?30323

2、求曲面的面积（数学一）

§7.2 三重积分（数学一）

118

(甲) 内容要点

一、三重积分的计算方法 1、直角坐标系中三重积分化为累次积分 （1）设?是空间的有界闭区域

??(x,y,z)z1(x,y)?z?z2(x,y),(x,y)?D

??其中D是xy平面上的有界闭区域，z1(x,y),z2(x,y)在D上连续函数f(x,y,z)在?上

连续，则

z2(x,y)

???f(x,y,z)dv???dxdy??Df(x,y,z)dz

z1(x,y)

（2）设??(x,y,z)??z??,(x,y)?D(z) 其中D(z)为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则

???

???f(x,y,z)dv???dz???f(x,y,z)dxdy

D(z)2、柱坐标系中三重积分的计算

???f(x,y,z)dxdydz????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dz

??相当于把(x,y)化为极坐标（r,?）而z保持不变 3、球坐标系中三重积分的计算

?x??sin?cos???y??sin?sin??z??cos?????0???0?????? ???0???2??

????f(x,y,z)dxdydz????f(?sin?cos?,?sin?sin?,?cos?)?2sin?d?d?d?

?

（乙） 典型例题

一、有关三重积分的计算

例1 计算

23xy???zdxdydz，其中?由曲面z?xy,y?x,x?1,z?0所围的区域 ?1xxy 解

23xyzdxdydz?dxdyxy??????zdz ?00023 119

111 ??dx?x5y6dy??x12dx?428364000

1x1x2y2z2x2y2z2例2 计算???(2?2?2)dxdydz,其中?由曲面2?2?2?1所围的区域

abcabc?解 令 x?a?sin?cos?,y?b?sin?sin?,z?c?cos?

x2y2z24则 ???(2?2?2)dxdydz?abc?d??sin?d???4d???abc

abc5?000例3 计算

2??1????x2?y2?z2dxdydz,其中?由曲面x2?y2?z2?z所围的区域

解 用球坐标

?2?2cos?3??sin?d?0????x?y?zdxdydz??222?d??d?00

12??cos5??2?4?2???cos?sin?d?????402?5??010

例4 计算

?

???(x?22?y2)dxdydz,其中?由曲面x2?y2?2z,z?2所围的区域

2?222

r23(x?y)dxdydz??d??rdr?dz?2??(2?)rdr 解 ???2?000r2232?r4r6?216??2?????

2123??0

二、在物理上的应用

x2y2z2(设密度均匀恒为1) 例1 求 椭圆锥面2?2?2和平面z?c围成物体的重心abc解 设重心坐标（x,y,z）物体所占空间区域为?

由对称性可知x?0,y?0

z????zdxdydz????dxdydz?

120

由锥体体积公式可知

???dxdydz???abc3

令 x?arcos?,y?brsin?,z?ct

2?11 而

rtd t???zdxdydz?abc?d??rd??00r2

2r(1?r2)?abcdr? ?2?abc? 24021

因此，重心坐标x?0,y?0,z?

3c 4例2 设有一半径为R的球体，球体上任一点的密度与该点到PPo是球表面上的一个定点，o的距离平方成正比（比例系数k>0）,求球体重心的位置

解一：设球面方程为x?y?z?R,P球体?的重心坐标为（x,y,z） o为 (R, 0,0)，由对称性可知y?0,z?0

222x?k[(x?R)?y?z]dv????2222x?

???k[(x?R)?2?y?z]dv22

由区域的对称性和函数的奇偶性，则有

?2R???xdv?0

?2222x[x?R?y?z]dv?0 ???? 于是

2222222[(x?R)?y?z]dv?x?y?zdv?R???????????dv ???

4?R3325 ??d??d???sin?d??R???R

315000422??R2222x[(x?R)?y?z]dv??2Rx??????dv ????

2R82226 (x?y?z)dv???R3???15?RR,重心坐标为(?,0,0) 44因此 x?? 121

解二： 设球面坐标x2?y2?(z?R)2?R2，

Po (0,0,0)，重心坐标（x,y,z）

由对称性可知 x?0,y?0

z????z?k[x?2?y2?z2]dv22???k[x?2?y?z]dv

?2?22Rcos?222z[x?y?z]dv?4?d??d?????00?0?5cos?sin?d?

?64628??R?cos7?sin?d???R6330?2222?22Rcos????(x?y?z)dv?4?d??d??00?0?4sin?d??325?R 15

于是 z?55R，重心坐标(0,0,R) 44§7.3 曲线积分（数学一）

(甲) 内容要点

一、第一类 曲线积分（对弧长的曲线积分） 参数计算公式 我们只讨论空间情形（平面情形类似）

设空间曲线L的参数方程 x?x(t),y?y(t),z?z(t),(??t??)

则

?Lf(x,y,z)ds??f?x(t),y(t),z(t)??x?(t)???y?(t)???z?(t)?dt

222??

（假设f(x,y,z)和x?(t),y??t?,z?(t)皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算 二、第二类 曲线积分（对坐标的曲线积分）

参数计算公式

我们只讨论空间情形（平面情形类似）

设空间有向曲线L 的参数方程x?x(t),y?y(t),z?z(t),起点A对应参数为

122

?,终点B对应参数为?(注意:现在?和?的大小不一定???)如果P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)皆连续,又x?(t),y?(t),z?(t)也都连续,则?L??ABP(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz

?????P?x(t),y(t),z(t)?x?(t)?Q?x(t),y(t),z(t)?y?(t)?R?x(t),y(t),z(t)?z?(t)?dt这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。 三、两类曲线积分之间的关系

空间情形：设L=?AB为空间一条逐段光滑有定向的曲线，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 在L上连续，则

??ABP(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dzAB????P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos??ds其中cos?,cos?,cos?为曲线弧上AB上点(x,y,z)处沿定向A到B方向的切线的方向余弦.

四、格林公式

关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线积分之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是格林公式。 定理1、（单连通区域情形）

设xy平面上有界闭区域D由一条逐段光滑闭曲线L所围的单连通区域，当沿L正定向移动时区域D在L的左边，函数P(x,y),Q(x,y)在D上有连续的一阶偏导数，则有

??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy ?L?x?y五、平面上曲线积分与路径无关的几个等价条件

设P(x,y)，Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则下面几个条件彼此等价 1．任意曲线L=AB 在D内

?P(x,,y)dx?Q(x,y)dx与路径无关

L2．D内任意逐段光滑闭曲线C，都有

?Cp(x,y)dx?Q(x,y)dy?0

3．p?x,y?dx?Q?x,y?dy?du?x,y?成立 4．D内处处有（乙

一、

?Q?P? ?x?y

用参数公式直接计算

0?终点是?1，0? 例1 已知曲线L的方程y?1?xx???1,1?起点是?-1，则曲线积分

???Lxydx?x2dy?

123

解：L?L1?L2，其中曲线L1的方程y=1+x,起点（-1，0），终点（0，1） 曲线L2的方程y=1-x, 起点（0，1），终点（1，0） 原式 ==

22?0x?1?x?dx?x2dx???1x?1?x?dx?x2d??x?? xydx?xdy?xydx?xdy??L1?L2???1????0??????2x?102?x?dx???x?2x2?dx

0011?23x2??x223?=?x????x? ?2??1?3?23?0=????31??12????????0 ?22??23?例2 计算曲线积分 I????z?y?dx??x?z?dy??x?y?dz，其中

LL是曲线

?x2?y2?1，从Z轴正向往负向看L的方向是顺时针方向。 ?x?y?z?2?解：曲线L是圆柱面x?y?1和平面x?y?z?2的交线，是一个椭圆周，它的参数方

22z?2?x?y?2?cos??sin?，程（不是唯一的选法）最简单可取 x?cos?，y?sin?，

根据题意规定L的定向，则?从2?变到0，于是

I??02???2?cos????sin?????2?2cos??sin??cos???cos??sin???sin??cos???d?02 ????co?s??2co2s??1?d? ???2?sin ??2?

二、用格林公式等性质来计算曲线积分 例1、求I??xx???esiny?bx?ydx?e????cosy?ax??dy，其中a，b为正的常数，L为L?从点?2a,0?沿曲线y?2ax?x2到点（0，0）的弧

解一：用格林公式，但L不是封闭曲线，故补上一段L1，它为从（0，0）沿y＝0 到?2a,0?的有向直线。这样L?L1构成封闭曲线，为逆时针方向 于是 I??L?L1x－?Pdx?Qdy＝I1?I2，令esiny?b?x?y??P Pdx?QdyL1???excosy?ax?Q，根据格林公式

? 124

I1???Q?P?＝?Pdx?Qdy??x??y??dxdy ???L?L1?D? ??2??b?adxd?ya?b?a? ??D2这里D为由L和L1围成的上半圆区域。 另外，在L1上，y＝0，dy?0，故

I2??Pdx?Qdy??L12a0??bx?dx??2a2b

于是 I?I1?I2???????2?a2b?a3

2?2?解二：我们把所给曲线积分拆成两项

I??exsinydx?excosydy??b?x?y?dx?axdy?I3?I4

LL在I3中，由于

?x?xecosy?esiny，故积分与路径无关 ?x?y????又看出 desiny?esinydx?ecosydy 因此 I3?ex?x??x??x??0,0?siny?0

?2a,0?而在I4中，取L的参数方程 x?a?acost,y?asint,t从0到? 于是 I4? ????absint?absintcost?absin?22202t?a3cost?a3cos2tdt

?????a3???2?a2b 2?2?因此，I?I3?I4???????2?a2b?a3

2?2?例2、计算曲线积分逆时针方向. 解 令P?xdy?ydx，其中L是以（1，0）为圆心，R（>1）为半径的圆周,取22?4x?yL?yx ,Q?4x2?y24x2?y2 125

当?x,y???0,0?时,

?Q?p成立 ??x?y因此,不能在L 的内部区域用格林公式

设法用曲线C在L 的内部又包含原点在C的内部,这样在C与L围成的二连通区域内可以用格林公式

???x?cos?今取曲线C:? ???R?1? 2??y??sin??从2?到0为顺时针方向

令C与L围成区域为D(二连通区域) 根据格林公式

??Q?p?0??????dxdy??pdx?Qdy??pdx?Qdy

LC?x?y?D? (逆时针) (顺时针) 于是 I??Lpdx?Qdy???pdx?Qdy???pdx?Qdy

CC (顺时针) (逆时针)

用C的参数公式代入后，得

I??2?012?2d??? 2?[注：这里取C为上述椭圆周，最后计算最简单，如果取C为x??cos?,y??sin?的圆

周，那么最后的积分就比较复杂I??2?0?2d?] 222??4cos??sin??例3、设函数??y?具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分

????y?dx?2xydy2x2?y4L的值恒为同一常数。

?2xydy?I?证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有?C??y?dx?0； 242x?y?II?求函数??y?的表达式。

?I?证 如图，设C是半平面x>0内的任一分段光滑简单闭曲线，在C上任意取定两点M,N，

??作围绕原点的闭曲线MQNRM,同时得到另一围绕原点的闭曲线MQNPM.

根据题设可知

126

?MQNRM????y?dx?2xydy2x?y24??MQNPM????y?dx?2xydy2x?y24?0

根据第二类曲线积分得性质，利用上式可得

??＝

??y?dx?2xydy2x2?y4c

?NRM????y?dx?2xydy2x2?y4??MPN???y?dx?2xydy2x2?y4

＝

??y?dx?2xydy2x?y24??NRM?NPM???y?dx?2xydy2x?y24

＝＝0

?MQNRM???y?dx?2xydy2x?y24??MQNPM???y?dx?2xydy2x?y24

?II?解：设P＝

??y?2x2?y,Q?42xy，P,Q在单连通区域x>0内具有一阶连续偏导数。

2x2?y4在该区域内与路径无关，故当x>0时，总有

由?I?知，曲线积分

?????dx?2xydy2x2?y4L?Q?P。 ??x?y24?Q2y?2x?y??4x?2xy?4x2y?2y5 ， ① ??222424?x?2x?y??2x?y?2432x2???y?????y?y4?4??y?y3?P???y??2x?y??4??y?y ， ② ??242242?y?2x?y??2x?y?比较①、②两式的右端，得

?????y???2y,?435?????y?y?4??y?y?2y由③得

(3) (4)535 ，将??y?代入④得 2y?4cy?2y, ??y???y2?c所以c?0,从而??y???y

2

三、应用

?????x2y2z2例 在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下一质点由原点沿直线到椭球面2?2?2?1abc?上第一卦限的点 M??,?,??问?,?,?取何值时，F作功W最大，并求Wmax。

127

??解：设线段OM的参数方程 x??t,y??t,z??t,?0?t?1?，则F在OM上作功

W?? ?OM????F?dxi?dyj?dzk????OMyzdx?zxdy?xydz

?103???t2dt????

??2?2?2?用拉格朗日乘子法求条件极值。构造函数G??,?,?,?????????1?2?2?2?

c??ab2???0 （1） a22??????2??0 （2） G?b2??????2??0 （3） G?c?????G???1?G??2?2a2?b2??2c2?0 （4）

???1?????2?????3?得 3????2???1??0 （5）

2?a232由?1?得 ???2?代入（5）得 ??，则 ??a，

a33同理得 ??33b,??c， 333Wmax?3?3??abc?abc ??3?9???333?3a,b,c故原点到?作功最大，最大功为abc ??3?339?? 128

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