某些非线性常微分方程的常数变易法

西 南 交 通 大 学 本 科 毕 业 论 文

某些非线性常微分方程的常数变易法

年 级: 2007级 学 号: 20075220 姓 名: 崔国杰

专 业: 数学与应用数学 指导老师: 邓丽老师

2011 年 06 月

西南交通大学本科毕业论文 第Ⅰ页

院 系 数学系 专 业 数学与应用数学 年 级 2007 姓 名 崔国杰

题 目 某些非线性常微分方程的常数变易法 指导教师

评 语

指导教师 (签章)

评 阅 人

评 语

评 阅 人 (签章)

成 绩

答辩委员会主任 (签章)

年 月 日

西南交通大学本科毕业论文 第Ⅱ页

毕业设计（论文）任务书

班 级 2007 学生姓名 崔国杰 学 号 20075220 发题日期： 2011 年 12 月 20 日 完成日期： 06 月 07 日 题 目 某些非线性常微分方程的常数变易法 1、本论文的目的、意义：本论文的主要目在于通过对常微分方程的深入分析，分别对一阶非线性常微分方程和二阶非线性常微分方程的性质、解法进行系统地分析、比较、归纳、总结，并深入探讨两类方程的解法。最后，利用两类方程的理论知识去分

析和解决某些特殊的非线性常微分方程，并给出相关应用的例子。 将常数变易法可以运用到一些物理或者化学一些其他学科的问题解决中，对于其

中的那些非线性常微分方程进行求解，使得问题更加简便化。 2、学生应完成的任务 1、通过查阅相关资料，进一步掌握常数变易法的背景，意义及研究现状； 2、掌握有关常数变易法和非线性常微分方程的基础知识；

3、分析并总结两类非线性常微分方程的性质及求解方法； 4、举例说明两类非线性常微分方程的解法； 5、检查论文中的内容是否有错误；

6、做好相关的英文文献翻译工作； 西南交通大学本科毕业论文 第Ⅲ页 3、论文各部分内容及时间分配：（共 15 周） 第一部分

参阅相关书籍和利用网上有关资料，掌握常数变易法的背景，意义等

基础知识； (2 周) 第二部分 探讨，分析并总结一阶非线性常微分方程的性质和解题方法； (2 周) 第三部分 周) 第四部分 第五部分 第六部分

举例说明两类非线性常微分方程的解法； (3 周) 检查论文的内容是否有错误； (2 周)

完成英文翻译工作和论文的修改。 (2 周)

(1周)

探讨，分析并总结二阶非线性常微分方程的性质和解题方法； (3

评阅及答辩

备 注

指导教师： 审 批 人：

年 月 日 年 月 日

西南交通大学本科毕业论文 第IV页

摘 要

常数变易法是求解微分方程的一种特殊方法，利用常数变易法在解决某些方程特解时简便易用。列举了几种常数变易法区别于教材中的一些用法，并比较了此方法在某些方面的优劣。

常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程行之有效的方法。本文从求解一类特殊形式的一阶常微分方程入手,证明了变量分离方程、Bernoulli方程、部分齐次方程以及其它形式的一阶非线性常微分方程可用常数变易法求解,从而将常微分方程中的常数变易法用于更加广泛的地发去。

阅读理解首次积分求得的六个定理以及推论，将六个类型的方程与常数变易法相结合，并对定理运用常数变易法进行证明，求解。

应用变量变换方法，解几类可化为分离变量的二阶非线性微分方程，扩大了变量变换方法的使用范围，提供微分方程的可积类型，给出几个通积分的表达式。

二阶线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用。本文利用常数变易法对二阶非线性微分方程y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x,y)进行讨论后, 给出了求其通解表达式的具体方法。

关键词：常微分方程; 常数变易法; 非线性；二阶非线性；可积类型；通解分。

西南交通大学本科毕业论文 第3页

再进一步观察我们可以看出，求v的微分方程（即v'?M(x)v?0）其实就是求

y'?M(x)y?N(x)当N(x)＝0时的齐次方程。所以，我们可以直接先把非齐次方程当作齐次方程来解。即解出y'?M(x)y?0的解来。 得：

?M(x)dxy?Ce? (8)

?M(x)dx注意这里的Ce?并非最终答案，从上一步我们知道这其实是v而已。而最?M(x)dx终答案是u·v ，v仅是其中一部分。因此这里的Ce?并不是我们要的y，因此

还要继续。

把（8）式和上面提到的（7）式比较一下：

?M(x)dxy?ue? (7)

?M(x)dxy?Ce? (8)

（7）式是最终的结论，（8）式是目前我们可以到达的地方。那我们可以这样子

做：把（8）式的那个C换成u，再把这个u解出来，那么问题不就简单了吗？所谓的“常数变易法”就是这么来的，即把常数C硬生生地变成了u。接下来的事情就简

?M(x)dx?M(x)dx单多了，和前面是一个思路，把代换y?ue?代入（1）式，由于e?是一个

可以令那个分离不出变量的项被消掉的特解，因此即可知一定会解得

?M(x)dx?M(x)dxu'e??N(x)。从中解出u，再带回y?ue?便可得到最终答案。

常数变易法在这里并没有显出比变量代换法更好的优势（因为就是变量变换与常数变易法的正逆推导而已），但在解决高阶线性微分方程时就会方便得多。因此常数变易法与变量变换法在本质上是一样的，就看我们在什么地方用哪一个方法了。

从上面的一步步推导，可以总结为[4]：

对于一阶线性微分方程：

dy/dx=M（x）y+N（x） （1） 若Q（x）=0，则（1）变为：

dy/dx=M（x）y （2） 可知（2）为变量分离方程，所以可求得其通解为： y?ce?为此，令y?c(x)e? 微分之，得到

M(x)dx （3）

在（3）中，将常数c变易为x的待定函数c（x）使它满足（1），从而求出c（x）。

M(x)dx （4）

西南交通大学本科毕业论文 第4页

)Mx(dx)dydc(x)?M(xdx?e?c(x)M(x)e? （5） dxdx将（4），（5）代入（1）中即可得到：

?M(x)dxdc(x)?N(x)e? dx从中可求得c（x），将c（x）代入（4）中即可得到方程（1）的通解。

这种将常数变易为待定函数的方法，我们就称之为常数变异法。 一般的高阶常微分方程没有统一，便捷的解法，处理问题的根本解决办法就是降阶，通过变换把高阶的常微分方程的求解问题变成较低阶的常微分方程来求解。特别的，对于二阶齐线性方程，如果能够知道它的一个非零特解，则可通过降阶求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解，对于非齐次性方程，就需要再运用常数变易法求出它的一个特解，问题自然轻松地被解决了，因此，对于高阶常微分方程的求解问题的关键就在于寻找齐线性方程的一个非零特解。

1.2 本文的主要研究内容

首先，通过对常数变易法的背景、概念的进一步理解, 本文系统地分析了两类非线性常微分方程的各种性质并加以举例以方便理解。在一般的教材中，往往仅限于对于线性常微分方程的常数变易法，在此基础上，本文深入探讨了关于一阶非线性常微分方程和二阶非线性常微分方程的常数变易法，将所探讨的结果进行系统地分析、比较、归纳和总结并给出了每种解法的特点和使用条件。在实际的计算中，根据各种计算方法的特点和使用条件，合适地选择解法可使计算简化。其次，本文初步探讨了关于高阶非线性常微分方程的常数变易法问题。结合例题，本文指出在利用两类非线性常微分方程的解法的必要条件，并分析其中的原因并给出相应的解决方法。另外，关于两类非线性常微分方程的常数变易法的证明使得解法更加的容易理解，思路清晰。同时，分析了两类非线性常微分方程之间的联系，即降阶法。最后，我们可以得出我们做非线性常微分方程的方法可归结为：线性化，可积化，降阶化。希望上述工作能对进一步深入研究常数变易法的运用和广泛应用提供必要的准备。

西南交通大学本科毕业论文 第5页

第2章 一阶非线性常微分方程的常数变易法与举例

本章分两节，第一节着重介绍关于一阶非线性常微分方程的常数变易法，第二节进行举例，以便能够更加了解解题得方法。然后将所探讨的结果进行分析、归纳和总结，并给出每种计算方法的特点和适用条件。

2.1 一阶非线性常微分方程的常数变易法

2.1.1 基本类型Ⅰ

我们知道可以通过常数变异法求解一阶线性常微分方程，而对于一阶非线性常微分方程的求解，还没有很统一，确切的解法，那我们是不是可以将常数变异法从线性常微分方程推广到非线性常微分方程上面呢？这一章我将会对这个问题进行探讨研究。并给出一些例子以用来验证。其中M（x），N（y），f（x，y）在所考虑的区间上是连续的，且f（x，y）?0。

一阶非线性常微分方程的一般形式为：

F（x，y，dy/dx）=0 （1）

如果能从（1）中求出dy/dx，并且dy/dx可以用下式来表示

dy/dx=M（x）N（y）+f（x，y） （2）

可以看出（2）式是可分离变量的常微分方程，所以（2）式就可以用常数变异法来求解。

方程dy/dx=M（x）N（y）是可分离变量的常微分方程，则我们分离变量可得：dy/N（y）=M（x）dx，两边积分可得出其通解，不妨设其通解为G（y）=??x，c?，其中c为任意实常数。然后我们就可得出（2）的通解为

y=G? ???x，c??? （3）

将（3）代入（2）中可得：

?1?c'(x)?c'(x)?N?G?1??x,c(x)?fx,G???????????x,c(x)????

?1这是一个关于未知函数c(x)的一阶常微分方程，如果这个方程是线性的或可分

离变量的，那么即可求出未知函数c（x），将c（x）代入（3）即可得出（2）的通解。

由上可见，常数变异法可以用来求解非线性常微分方程，但是并不是所有的非线性方程都可以用常数变异法来求解。那么还有有哪些非线性的常微分方程可以用常数变异法来求解呢？下面给出几种。

2.1.2 基本类型II

f'(y)y'?f(y)M(x)?fn(y)N(x) （4）

显而易见，方程f'(y)y'?f(y)M(x)?0是可分离变量的常微分方程，其通解为

西南交通大学本科毕业论文 第6页

?M(x)dxf?y??ce?（此为隐函数的形式，不用解出y）。

设（4）的通解为

?M(x)dx f?y??c(x)e? （5）

代入（4）中可得：

?M(x)dx?nM(x)dxc'(x)e??cn(x)e?N(x)

这是一个可分离变量的常微分方程，其通解为：

(1?n)?M(x)dx?1?nN(x)edx c(x)?????????11?n （6）

将（6）代入（5）中即可得（4）的通解。

2.1.3 基本类型III

y'?M(x)y?ynN(x)

可知这是伯努利方程

?M(x)dx y'?M(x)y?0的通解为：f?y??ce? ?M(x)dx 设原方程的通解为f?y??c(x)e?

?M(x)dx?nM(x)dx?cn(x)e?N(x) 代入原方程可得：c'(x)e? 因其为可分离变量常微分方程，所以可求出c（x），伯努利方程可用常数变异法

来求解。

2.1.4 基本类型IV

y?yng(xy) xyc

y'??0的通解为y?

xx

c(x) 设原方程的通解为：y?

x y'?c'(x)cn(x)?ng?c?x?? 代入原方程可得：??可知其为可分离变量的常微分方程，可xx求出c（x）。因此这种方程可以用常数变异法来求解。

2.1.5 基本类型V

yy?yng() xxy y'??0的通解为：y?cx

x y'? 西南交通大学本科毕业论文 第7页 设原方程的通解为y?c(x)x

代入原方程可得：c'(x)x?cn(x)xng(c(x))

可知其为可分离变量的常微分方程，所以可以用常数变异法来求解。

2.1.5 基本类型VI[12]

若非线性常微分方程的形式为：

dy?M(x)y?N(x,y) dx 假设M（x），N（x，y）在所考虑的区间上连续，N（x，y）?0。 我们还可以推出下面三个定理：

dy?M(x)y?N(x,y)可用常数变异法求解的一个充分条件 一,一阶常微分方程dx是：N(x,y)?N(x)yn，n?Z，其中M(x)，N（x）在所考虑的区间上连续，N（x，y）

?0。

dy?M(x)y?N(x,y)可用常数变异法求解的一个充分条件dx1y是：M(x)?,N(x,y)?g()，其中N（x，y）在所考虑的区间上连续，，N（x，y）?0。

xxdy?M(x)y?N(x,y)可用常数变异法求解的一个充分条件 三，一阶常微分方程dx1yy是：M(x)?,N(x,y)?f(x)g()，其中f(x),g()在所考虑的区间上连续，N（x，y）

xxx?0。

以上只列举了八种求解方法，当然还有其他的一些方法。对于形如具有上述的形式即可通过各自的方法进行求解，因为并不是所有的非线性常微分方程均可以用常数变异法来求解。若不能通过这八种方法来求解，可以按照一的方法进行求解，先将方程转变为方程（2）的形式，如若可以，即可用常数变异法进行求解，不然则只有另寻它途。

二，一阶常微分方程

2.2 举例

通过2.1的方法，下面给出从上往下的依次举例，以便更加容易理解掌握上述方法，以使得将一阶非线性常微分方程的求解更加简便化。

2.2.1 基本方法Ⅰ

求解y'?(x2?y2?x)y?1

解：将原方程化成形如（2）的形式

西南交通大学本科毕业论文 第8页 y'?xy?1?(x2?y2)y?1

y'?xy?1?0的通解为：x2?y2?c2 设原方程的通解为：x2?y2?c2(x) 代入原方程可得：c(x)c'(x)?c2(x) 即

dc(x)?dx，积分得：lnc(x)?x?lnc即c(x)?cex c(x)所以原方程的通解即为：

x2?y2?c2e2x。

2.2.2 基本方法Ⅱ

求方程y'?x?1ctyy?xcosy?ctyy的通解。 解：原方程可化为siny?y'?x?1cosy?xcos2y 即(cosy)'y'?x?1cosy??xcos2y（即为一的形式） (cosy)'y'?x?1cosy?0的通解为cosy?cx?1 设原方程的通解为cosy?c(x)x?1 代入原方程可得：x?1c'(x)??x?1c2(x)

c'(x) 即2??1积分得：?c?1(x)??x?c

c(x) 即c(x)?(x?c)?1

所以原方程的通解为

cosy?[x(x?c)]?1

2.2.3 基本方法Ⅲ

求解y'?yx?1?xexy2

西南交通大学本科毕业论文 第9页 解：y'?yx?1?0的通解为y? 设原方程的通解为y?c(x) xc x

代入原方程可得：c'(x)?exc2(x)

c'(x) 即2?ex，积分得：c?1(x)??ex?c即c(x)?(c?ex)?1

c(x)所以原方程的通解为

y?[x(c?ex)]?1

2.2.4 基本方法IV

x y?x22 求解y'?xy? 解：y'?xy?0的通解为y?ce 设原方程的通解为：y?c(x)e代入原方程可得

x22?x22c'(x)exx2e积分可得 c(x)?xx2?e c(x)2 即c'(x)?c(x)?2e

代入y?c(x)e?x22x2可得：

y?2e

x222.2.5 基本方法V

求解y'?yx?1?y?1secy x 解：y'?yx?1?0的通解为：y?cx

西南交通大学本科毕业论文 第10页 设原方程的通解为y?c(x)x

代入原方程可得：

c'(x)x?secc(x)?1 c(x)x分离变量可得：

c(x)cosc(x)dc(x)?x?2

积分得：

c(x)sinc(x)?cosc(x)??x?1?c

因为y?c(x)x所以将c(x)?yx?1代入上式可得原方程的通解：

yyy1sin?cos???c。 xxxx2.2.6 基本方法VI

dyy?1x2?1?x?y 求解：

dx22 解：方程

dyy?1?x的通解为：y?cx。 dx2 令y?c(x)x，代入到原方程可得：

dc(x)1c(x)xx2 x?c(x)??dx2x2x2c(x)x1xdx，此为可分离变量常微分方程，解得： 21c2(x)?x2?c

2 所以原方程的通解为：

1y2?x3?cx。

2 即：c(x)dc(x)?2.2.7 基本方法VII

dy?yx?1?2yx?1，x?0,x?0。 dxdy?yx?1的通解为：y?cx 解：方程dx 求解：

令y?c(x)x，代入到原方程可得：

西南交通大学本科毕业论文 第11页

dc(x)x?2c(x) dx1?1 即：c2(x)dc(x)?x?1dx，此为可分离变量常微分方程组，解之得：

2c(x)?(lnx?c)2(lnx?c?0)

2.2.8 基本方法VIII

ylnxdy?1 求解：?yx?ex

dx 解：方程

dy?yx?1的解为：y?cx dx 令y?c(x)x，代入到原方程可得：

dc(x)x?ec(x)lnx dx 即：e?c(x)dc(x)?x?1lnxdx，此为可分离变量常微分方程，所以可求出：

1c(x)??ln(c?ln2x)

2 代入原方程可求出：

1y??xln(c?ln2x)。

2 西南交通大学本科毕业论文 第12页

第3章 二阶非线性常微分方程的常数变易法与举例

3.1 二阶非线性常微分方程的常数变易法

3.1.1 二阶非线性常微分方程的一般形式与解法 二阶非线性常微分方程的一般形式为：

y''?P(x)y'?Q(x)y?f(x,y) （1） f(x,y)必须为非线性常微分方程。 设?(x)是方程（1）中对应的方程

y''?P(x)y'?Q(x)y?0 （2）

的一个不恒为零的解。 令y?u(x)?(x)，则有

y'?u'(x)?(x)?u(x)?'(x) y''?u''(x)?(x)?2u'(x)?'(x)?u(x)?''(x)

代人方程即得：

u''(x)?(x)?2u'(x)?'(x)?u(x)?''(x)?P(x)??u(x)?(x)?u(x)?(x)???Q(x)u(x)?(x)?f(x,y)''

化简可得：

''??(x)u''(x)??2?(x)?P(x)?(x)u??(x)????(x)?P(x)?(x)?Q(x)?(x)??u(x)?f(x,y)又?''(x)?P(x)?'(x)?Q(x)?(x)?0 所以上式可变为：

'''

''?(x)u''(x)???2?(x)?P(x)?(x)??u(x)?f(x,y)

再令z?u'(x)并代入上式可得：

'?(x)z'??2?(x)?P(x)?(x)? ??z?f(x,y) （3）

可知（6）为关于z的一阶非线性常微分方程，可用常数变易法对其进行求解，

西南交通大学本科毕业论文 第13页 对其积分可得u??zdx，再乘以?(x)即可得到（4）的通解：

y?u(x)?(x)???zdx??(x)

3.1.2 具有几个定理性质的可用常数变易法的方程

具有以下几个定理性质的方程均可以通过常数变异法进行求解[11]： 定理l 若f,g,w?C2,r?C1 ,则二阶非线性微分方程

?2f(x)w(y)?g(x)?w''(y)y'2??2f(x)w(y)?g(x)?w'(y)y''''''''?????2f(x)w(y)?2g(x)w(y)y?2f(x)w(y)y?????2 （1）

f''(x)w2(y)?g''(x)w(y)?r'(x)?0的通积分为

f(x)w2(y)?g(x)w(y)??r(x)dx?C1x?C2 （2）

其中C1,C2为任意常数。 在定理1中令w(y)?y，则有

推论1 若f,g?C2,r?C1，则二阶非线性微分方程

''''2?4f(x)y?2g(x)y?2f(x)y?2f(x)y?g(x)?y''?????f(x)y?g(x)y?r(x)?0''2'''

的通积分为

f(x)y2?g(x)y??r(x)dx?C1x?C2

其中C1,C2为任意常数。

[11]给出的6个定理以及推论均是由首次积分得出的，下面我用常数变易法的求

解方法来证明该方程是如何得出的。

证明:上式可变为

4f'(x)y?2g'(x)'g'(x)y?y?y?2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)''r(x)2f(x)f(x)?y'2?y22f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)在这里设?(x)是方程(1)中对应的方程：

''' (a)

西南交通大学本科毕业论文 第14页

4f'(x)y?2g'(x)'g'(x)y?y?y?0 (b)

2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)''的一个不恒为零的解。 令y?u(x)?(x)，则有

y'?u'(x)?(x)?u(x)?'(x)y?u(x)?(x)?2u(x)?(x)?u(x)?(x)代入方程可得

''''''''

u''(x)?(x)?2u'(x)?'(x)?u(x)?''(x)?4f'(x)y?2g'(x)'g'(x)'?u(x)?(x)?u(x)?(x)??u(x)?(x)??2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)r'(x)2f(x)??(u'(x)?(x)?u(x)?'(x))2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)f''(x)?(xu(x))22f(x)y?g(x)化简可得：

?'?4f'(x)y?2g'(x)?(x)u(x)??2?(x)??(x)?u'(x)?2f(x)y?g(x)??''?''?4f'(x)y?2g'(x)'g'(x)?(x)??(x)??(x)u(x)??2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)??

'r(x)2f(x)??(u'(x)?(x)?u(x)?'(x))2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)f''(x)?(xu(x))22f(x)y?g(x)又因为?(x)是方程中对应的方程：

4f'(x)y?2g'(x)'g'(x)y?y?y?0

2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)''的一个不恒为零的解。

4f'(x)y?2g'(x)'g'(x)所以 ?(x)??(x)??(x)?0

2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)''代入化简所得的方程可得：

西南交通大学本科毕业论文 第15页

?'?4f'(x)y?2g'(x)?(x)u(x)??2?(x)??(x)?u'(x)2f(x)y?g(x)??r'(x)2f(x)??(u'(x)?(x)?u(x)?'(x)) 2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)''f''(x)?(xu(x))22f(x)y?g(x)令z?u'(x)并代入上式可得：

?'?4f'(x)y?2g'(x)?(x)z??2?(x)??(x)?z2f(x)y?g(x)??r'(x)2f(x)??(u'(x)?(x)?u(x)?'(x)) （c） 2f(x)y?g(x)2f(x)y?g(x)'f''(x)?(xu(x))22f(x)y?g(x)在（c）中将u(x)当做已知函数，对（c）进行一阶非线性常微分方程的常数变易法求解，即可得出z，z为关于u(x)的函数，再将z?u'(x)代入即可得到u(x)，则

y?u(x)?(x)?(?zdx)?(x)

即可得到结论。

在3.2举例中的3.2.3给出具体步骤，以下推论均可用此方法退出,就不一一证明了。

定理2 若w?C2,f,g?C1,r?C,且f?0，则二阶非线性微分方程

f(x)w(y)w'(y)y''?f(x)w(y)w''(y)y'2?f(x)w'2(y)y'2?''''2??f(x)?2g(x)w(y)w(y)y?g(x)w(y)?r(x)?0?? （3）

的通积分为

g(x)g(x)??f(x)dx??r(x)dx?C12?f(x)dx?2? w(y)?ee?C2? （4）

f(x)????2?2其中C1,C2为任意常数。

在定理2中令w(y)?y，则有下面的推论。

推论2 若w?C2,f,g?C1,r?C,且f?0，则二阶非线性微分方程

'''2f(x)yy''?f(x)y'2???f(x)?2g(x)??yy?g(x)y?r(x)?0

西南交通大学本科毕业论文 第16页

的通积分为

g(x)g(x)?dx?2?dxr(x)dx?C?1?2f(x)f(x)?2y?ee?C2?

f(x)?????2其中C1,C2为任意常数。

定理3 若w?C2,f,g?C1,且f?0,g?0，则二阶非线性微分方程

'''2''''''???f(x)?w(y)y?w(y)y?f(x)w(y)?g(y)y（5） ?????0

的通积分为

?其中C1,C2为任意常数。

dxdw(x)（6） ???C2

f(x)C1?g(x)在定理3中令w(y)?y，则有下面的推论。

推论3 若w?C2,f,g?C1,且f?0,g?0，则二阶非线性微分方程

'''?f(x)y''??f(x)?g(y)y???0

的通积分为

?其中C1,C2为任意常数。

dxdy???C2 f(x)C1?g(y)定理4 若w?C2,?为非零常数，则二阶非线性微分方程

w??1(y)w'(y)y''?w??1w''(y)y'2?(??1)w??2(y)w'2(y)y'2?0 (7)

的通积分为

w?(y)?C1x?C2 (8)

其中C1,C2为任意常数。

在定理4中令w(y)?y，则有下面的推论。 推论4 若?为非零常数，则二阶非线性微分方程

y??1y''?(??1)y??2y'2?0

的通积分为y??C1x?C2。

西南交通大学本科毕业论文 第17页

其中C1,C2为任意常数。

定理5 若w?C2,a,b为非零常数，则二阶非线性微分方程

?a?bw(y)?w'(y)y''??a?bw(y)?w''(y)y'2?bw'2(y)y'2?0 （9）

的通积分为

（10） w(y)?2a?bw(y)??C1x?C2

其中C1,C2为任意常数。

在定理5中令w(y)?y，则有下面的推论。 推沦5 若a,b为非零常数，则 二阶非线性微分方程

(a?by)y''?by'2?0

的通积分为y(2a?by)?C1x?C2，其中C1,C2为任意常数。 定理6 若w?C2,f,g?C1，则二阶非线性微分方程 的通积分为

?C1?g(x)?dx???C1?g(x)?dxdx?C? f(x)e w(y)?e?（12） 2??????1w(y)w''(y)y'2?w(y)w'(y)y''?w'2(y)y'2?f(x)w2(y)w'(y)y'?f(x)w(y)?g(x)w(y)?0'3'2 （11）

其中C1,C2为任意常数。

在定理6中令w(y)?y时，则有下面的推论。 推论6 若f,g?C1，则二阶非线性微分方程

yy''?y'2?f(x)y2y'?f'(x)y3?g'(x)y2?0

的通解为

?C1?g(x)?dx???C1?g(x)?dxdx?C? y?e?f(x)e2??????1其中C1,C2为任意常数。

西南交通大学本科毕业论文 第18页

3.2 举例

3.2.1：求解yy''?y'2?0

y'2解：原式可化为：y??

y''明显可知y?x是上面方程对应的方程：

y''?0的一个不恒为零的解。 令y?xu，则

y'?u(x)?xu'(x)，y''?xu''(x)?2u'(x)

代回到原式可得：

[u(x)?xu'(x)]2 xu(x)?2u(x)??xu(x)'''令z?u'(x)，则

[u(x)?xz]2 xz?2z??xu(x)'则通过一阶非线性方程的常数变易法即可得到方程的通解

y2?c1x?c2，也可由定理1得出。

3.2.2：求解yy''?y'2?yy'?1?0

1?y'2解：原式可化为：y?y?

y'''明显可知y?ex是上面方程对应的方程：

y''?y'?0的一个不恒为零的解。 令y?uex，则

y'?exu'(x)?exu(x)，y''?exu''(x)?2exu'(x)?exu(x)

代回到原式可得：

1?[exu'(x)?exu(x)]2 eu(x)?eu(x)??xeu(x)x''x' 西南交通大学本科毕业论文 第19页

令z?u'(x)，则

1?[z?u(x)]2 z?z??u(x)'则通过一阶非线性方程的常数变易法即可得到方程的通解

y2?2(x?c1)?c2ex，也可由定理2得出。

3.2.3：求解xy''?y'?0

y'1(c1?1)x解：原式可化为：y?y?e(c1?1)x[e?c2]?1

xc1?1''明显可知y?x是上面方程对应的方程：

y''?0的一个不恒为零的解。 令y?ux，则

y'?u(x)?xu'(x)，y''?xu''(x)?2u'(x)

代回到原式可得：

u(x)?xu'(x)xu(x)?2u(x)?

x'''令z?u'(x)，则

xz'?2z?u(x)?xz xxz'?2z?0的通解为：z?c x2c(x)代入原方程可得： x2c(x)c'(x)??u(x)

x可知其为可分离变量的常微分方程，所以可以用常数变异法来求解。

设原方程的通解为z?可得：c(x)??x(?xu'(x)?u(x)?c)则

?x(?xu'(x)?u(x)?c)z?

x2化简并代入z?u'(x)可得：

西南交通大学本科毕业论文 第20页

u(x)?c 2x可知可用常数变易法求解，求解可得：

u'(x)?u(x)?x?cx

又y?xu(x)则

y?xx?c1x2?c2

再将y?xx?c1x2?c2带回到原方程即可得到y?(c1?1)lnx?c2，也可由定理3得出。

3.2.4：求解y''?(??1)y?1y'2?0

解：原式可化为：y''?(1??)y?1y'2 明显可知y?x是上面方程对应的方程：

y''?0的一个不恒为零的解。 令y?ux，则

y'?u(x)?xu'(x)，y''?xu''(x)?2u'(x)

代回到原式可得：

[u(x)?xu'(x)]2 xu(x)?2u(x)?(1??)xu(x)'''令z?u'(x)，则

[u(x)?xz]2 xz?2z?(1??)xu(x)'则通过一阶非线性方程的常数变易法即可得到方程的通解

y??c1x?c2，也可由定理4得出。

3.2.5：求解(a?by)y''?by'2?0

by'2解：原式可化为：y??

a?by''明显可知y?x是上面方程对应的方程：

西南交通大学本科毕业论文 第21页

y''?0的一个不恒为零的解。 令y?ux，则

y'?u(x)?xu'(x)，y''?xu''(x)?2u'(x)

代回到原式可得：

b[u(x)?xu'(x)]2 xu(x)?2u(x)??a?bxu(x)'''令z?u'(x)，则

b[u(x)?xz]2 xz?2z??a?bxu(x)'则通过一阶非线性方程的常数变易法即可得到方程的通解

y(a?by)?c1x?c2，也可由定理5得出。

3.2.6：求解yy''?y'2?y2y'?0

y'2解：原式可化为：y??yy'

y''明显可知y?x是上面方程对应的方程：

y''?0的一个不恒为零的解。 令y?ux，则

y'?u(x)?xu'(x)，y''?xu''(x)?2u'(x)

代回到原式可得：

[u(x)?xu'(x)]2xu(x)?2u(x)??xu(x)[u(x)?xu'(x)]

xu(x)'''令z?u'(x)，则

[u(x)?xz]2xz?2z??xu(x)[u(x)?xz]

xu(x)'则通过一阶非线性方程的常数变易法即可得到方程的通解

y?e(c1?1)x[1(c1?1)xe?c2]?1，也可由定理6得出。 c1?1 西南交通大学本科毕业论文 第22页

结 论

本文重点探讨了一阶和二阶非线性常微分方程的常数变易法，即对两类方程进行系统地分析、比较、归纳、总结。针对两类方程，本文分别给出八种和是四种解题方法，每一个方法都有自己的特点。在实际计算过程中，需根据各类问题的特点，适当选择相应的解法可简化计算。

然后指出我们做非线性常微分方程的方法可归结为：线性化，可积化，降阶化。通过这三种方法可将一阶，二阶非线性常微分方程求解出来，甚至更高阶的非线性常微分方程求解得出，其中必不可少的一个方法就是常数变易法。

西南交通大学本科毕业论文 第23页

致 谢

在完成这次毕业论文的过程中，要非常感谢指导老师—邓丽老师。在整个过程中，邓老师给予了我很大的帮助和支持。论文初期，老师给了我很多相关的资料和书籍，并指出了需要重点学习的主要章节。老师给我安排了合理的进度，每周都不辞辛苦地从老校区赶到新校区答疑，总是能够非常圆满地解决我所遇到的困难。平时邓老师还专门抽时间打电话询问论文进展情况，督促我抓紧时间按质按量完成任务。论文初稿完成后，邓老师进行了仔细地审阅，对一些基本格式和论文内容的修改提出了很多宝贵意见。能够顺利完成这次毕业论文，离不开邓老师的大力支持和帮助。另外，在这期间，还不断就一些基本知识及定理的证明请教同学，大家都热情地与我一起讨论，使得一些问题得到了顺利地解决，在此深表谢意。

同时，对四年来辛勤培养和关心我们的数学系全体老师表示由衷地感谢，感谢在生活和学习上帮助过我的同学们，从他们的身上我学到了书本上永远学不到的东西，谢谢你们。

西南交通大学本科毕业论文 第24页

参考文献

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[3] 汤光荣，常微分方程专题研究，武汉华中理工大学出版社，1994

[4] 王高雄，周之铭，朱思铭等，常微分方程[M],北京高等教育出版社，1983 [5] 彭向阳．二阶二次微分方程的解[J]．长沙大学学报，1999，13(2)：l8-20 [6] 周尚仁，权宏顺．常微分方程习题集[M]．北京：人民教育出版社，1980．104-l15 [7] 汤光宋，原存德．高阶非线性常微分方程组的可积类型[J]．应用数学和力学。1995，16(9)：82l-828

[8] 李广民，于力．一类二阶非线性微分方程的求积问题．纯粹数学与应用敦学，1996，12(1)：73-77

[9] 汤光宋．解两类大量线性微分方程的常数变易法．赣南师范学院学报(自然科学版)，1987(2)：8-l3

[10] 上海师大数学系，中山大学数学系，上海师院数学系．高等数学[M]．上海：人民教育出版社．1978

[11] 陈肖石，汤光荣，利用首次积分求解几类二阶非线性常微分方程，西江大学学报,2000年第二期

[12] 刘久方，刘学生，常微分方程中常数变易法的推广，大连大学学报,2009年第六期

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ddr6.html