山东省青岛市2013届高三第二次模拟考试（数学理）

青岛高三自评试题

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2U?{x|x?0}M?{x|x?2x}，则eUM? 1．已知全集，

{x|x?2} B. {x|x?2} C. {x|x?0或x?2} D. {x|0?x?2} A. 2．复数z满足z(1?i)?2i，则复数z的实部与虚部之和为 A. ?2 B. 2 C. 1 D. 0

2?x?[1,2],x?a?0”为真命题的 a?33．“”是“

开始 ? S ? 0, n 1

S?S?n n?2n ① 是 输出 S结束 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4．执行如图所示的程序框图．若输出S?31， 则框图中①处可以填入 否 A. n?8 B. n?16 C. n?32 D. n?64

y?5．下列函数中，与函数

13x定义域相同的函数为

y?A．

cosx1lnxy?y?3xsinx B. x C. x D. y?xe

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n23n(1?x)?1?ax?ax?ax???ax(n?N*)，且a1:a3?1:7，则n? 123n6．若

A．8 B．9 C．7 D．10

7．已知函数f(x)?22sinxcosx，为了得到函数g(x)?sin2x?cos2x的图象，只需要将

y?f(x)的图象

??A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 ??C．向右平移8个单位长度 D．向左平移8个单位长度

x2y2?2?12FF(a?0,b?0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的一C12ab8．已知、分别是双曲线：

???????????????????PF2?F1F2，且PF1?2PF2，则双曲线的离心率为 点，

A.

3 B. 1?2 C. 22 D. 1?5

?a, a?b?0?x?2min{a,b}???b, a?b0?y?6内任取一点P(x,y)，则x、y 满足?9．定义：，在区域?min{x2?x?2y,x?y?4}?x2?x?2y的概率为

5214A. 9 B. 9 C. 3 D. 9

10．已知数列则数列

{an}是以3为公差的等差数列，Sn是其前n项和，若S10是数列?Sn?中的唯一最小项，

{an}的首项a1的取值范围是

B. (30,33) C. (?30,?27) D. [30,33]

A. [?30,?27]

11．某几何体的三视图如图所示，当这个几何体的体积最大时，以下结果正确的是

A. a?b?8 B. b?4 C. a?1 D. a?2

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?f(x),f(x)?kg(x)??? k, f(x)?k，12．设函数y?f(x)在(??,??)内有定义,对于给定的实数k,定义函数

2?x设函数f(x)=x?x?e?3,若对任意的x?(??,??)恒有g(x)?f(x),则

A. k的最大值为?2 B. k的最小值为?2 C. k的最大值为2 D. k的最小值为2

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．已知两条直线y?ax?2和3x?(a?2)y?1?0互相平行，则a等于 . 14．某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用表可得回归方程y?1.23x?a，据此模型估计，该型号机器使用年限为9年的维修费用大约为 万元．

15．已知l，m是两条不同的直线，?，?是两个不同的平面，有下列五个命题： ①若l??，且?//?，则l//?；②若l??，且?//?，则l??； ③若l??，且???，则l//?；④若????m，且l//m，则l//?； ⑤若????m，l//?，l//?，则l//m．则所有正确命题的序号是 . 16．一同学为研究函数

y(万元)有下表的统计资料：根据该

??x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 f(x)?1?x2?1?(1?x)2(0?x?1)的性质，

DCPF构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC,点P是边BC上的一动点，设CP?x,则AP?PF?f(x)．请你参考这些信息，推知函数g(x)?3f(x)?7的零点的个数是 ．

ABE三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

f(x)?sin(2x?)?2cos2x617．（本小题满分12分）已知函数．

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?

（Ⅰ）求函数f(x)在?0,??上的单调递增区间；

??（Ⅱ）设?ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且f(A)?0，若向量m?(1,sinB)与向量

a?n?(2,sinC)共线，求b的值．

18．（本小题满分12分）如图，在长方形ABCD中，AB?2，BC?1，E为CD的中点，

F为AE的中点.现在沿AE将三角形ADE向

上折起，在折起的图形中解答下列两问： （Ⅰ）在线段AB上是否存在一点K，使BC∥面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；

D F A E C D F E C B B A （Ⅱ）若面ADE?面ABCE，求二面角E?AD?B的余弦值.

119．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为2，乙、丙做对

的概率分别为m和n (m＞n)，且三位学生是否做对相互独立.记?为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为： (Ⅰ) 求m，n的值；

2f(x)??2x?3?x?1在区间[?1,1]上不E?（Ⅱ) 记事件{函数

? P 0 1 2 3 14 a b 124 单调}，求P(E)；

(1?2|x|)dx??12E(?)?10? ??（Ⅲ）令，试计算的值.

20．（本小题满分12分） 已知数列

?{an}满足a1?1，a1?a2???an?1?an??1（n?2且n?N*）

．

{an}的通项公式an；

（Ⅰ）求数列

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22an?1?an?2dn?1?loga (a?0,a?1){d}S5（Ⅱ）令，记数列n的前n项和为n，

S2nS若n恒为一个与n无关的常数?，试求常数a和?.

x2y2C:2?2?1?a?b?0?F(1,0)ab21．（本小题满分13分）已知点为椭圆的右焦点，过点A(a,0)、B(0,b)的直线与圆

x2?y2?127相切.

（Ⅰ）求椭圆C的方程； (Ⅱ) 过点F的直线交椭圆C于M、N两点，求证：定值.

11?MFNF为

??????22．（本小题满分13分）已知p?(x,m), q?(x?a,1)，二次函数f(x)?p?q?1，关于x的不等式f(x)?(2m?1)x?1?m的解集为(??,m)?(m?1,??)，其中m为非零常数，设

（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若存在一条与足

2g(x)?f(x)x?1.

xy轴垂直的直线和函数?(x)?g(x)?x?lnx的图象相切，

且切点的横坐标0满

|x0?1|?x0?3，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）当实数k取何值时，函数?(x)?g(x)?kln(x?1)存在极值？并求出相应的极值点.

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青岛高三自评试题

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． A D B BC A D B DC D A

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. ?3或1 14. 11.15 15. ①②⑤ 16．2

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

f(x)?sin(2x?)?2cos2x6解：（Ⅰ）

??sin2xcos?6?cos2xsin?6?(cos2x?1)

??31sin2x?cos2x?1?sin(2x?)?1622 ?????????????????3分

2k???2?2x??6?2k???2(k?Z)得：

k???6?x?k???3(k?Z)

由

?5?[0,][,?]3，6所以，f(x)在?0,??上的单调递增区间为????????????6分

f(A)?sin(2A?)?1?0sin(2A?)?166（Ⅱ），则

?????6?0?A??，

?2A??6?11?????2A??A?6，62，3?????????8分

????向量m?(1,sinB)与向量n?(2,sinC)共线，?sinC?2sinB，

由正弦定理得，c?2b ?????????????????????????10分

a2?b2?c2?2bccos由余弦定理得，

?3，即a2?b2?4b2?2b2

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a??3b ??????????????????????????????12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）线段AB上存在一点K，且当

AK?1AB4时，BC∥面

A z D F E C

DFK ????????????1分

证明如下：

设H为AB的中点，连结EH，则BC∥EH

x K H y B AK?又因为

1AB4，F为AE的中点

所以KF∥EH，所以KF∥BC，??????4分

?KF?面DFK，BC?面DFK，?BC∥面DFK?????????????5分

（Ⅱ）?H为AB的中点，?AH?HE?BC?1,

?F为AE的中点，?FH?AE.

?DA?DE?1， ?DF?AE，?面ADE?面ABCE，?DF?面ABCE

由此可以FA,FH,FD分别为

x,y,z轴，建立坐标系如图????????????7分

因为DF?面ABCE，所以DF?FH，又?FH?AE，DF?AE?F，

?????FH?面ADE，则FH为面ADE的一个法向量.

2????2FH?FH?(0,,0)2，2因为AB?2，BC?1，所以???????????9分 ????????222222AD?(?,0,)AH?(?,,0)D(0,0,)A(,0,0)22，222，2又可得：，所以

?设面ADB的法向量为n?(x,y,z)

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????????????n?AD?0???????????n?AH?0?由??????cos?FH,n??所以

22x?z?022??x?z?022??x?y?0?x?y?0，令x?1，则n?(1,1,1)?11分 22，即?223?2233?3，故二面角E?AD?B的余弦值为3???12分

19．（本小题满分12分）

解：设事件A={甲做对}，事件B={乙做对}，事件C={丙做对}，由题意知，

P(A)?1,P(B)?m,P(C)?n2.

P(??0)?P(ABC)?11(1?m)(1?n)?24（Ⅰ） 由题意知，

P(??3)?P(ABC)?11mn?224，

mn?整理得：

71m?n?12. 12，m?11n?3，4. ????????????????????4分

由m?n，解得

(??1)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC) （Ⅱ）由题意知a?P?11111(1?m)(1?n)?m(1?n)?(1?m)n?22224， ??????????5分

2?函数f(x)??2x?3?x?1在区间[?1,1]上不单调，

344x???(?1,1)?????433???0，或??1??????????7分 ?对称轴

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?P(E)?P(??0)?P(??1)?11117??42424?????????????????8分

1（Ⅲ）b?P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3)=4，

E(?)?0?P(??0)?1?P(??1)?2?P(??2)?3?P(??3)?∴

1312 ?????10分

???12E(?)?10?3

故

? ? ??(1?2|x|)dx??(1?2|x|)dx ?3 3

??(1?2x)dx??(1?2x)dx?(x?x2)|0?(x?x2)|3??12?30 ?3 0

??????????????????12分

20．（本小题满分12分） 解: （Ⅰ）由题

0 3a1?a2???an?1?an??1??①

?a1?a2???an?an?1??1??②

an?1?2(n?2)a?2a?0an由①?②得：n?1，即n????????????????3分 a2?2a?a??1a?2?a?1a21当n?2时，1，，?2,1

所以，数列

{an}是首项为1，公比为2的等比数列

n?1*a?2n故（n?N）???????????????????????????5分 22an?1?an?2?dn?1?loga ?1?2nloga2n?1?a?25n（Ⅱ），

?dn?1?dn?2loga2，

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?{dn}是以d1?1?2loga2为首项，以2loga2为公差的等差数列，???????8分 S2n?Sn2n(1?2loga2)?2n(2n?1)?(2loga2)22?(4n?2)loga2n(n?1)???n(1?2loga2)??(2loga2)1?(n?1)loga22

??(??4)nloga2?(??2)(1?loga2)?0 ?????????????????10分

?(??4)loga2?0S2n?S?n恒为一个与n无关的常数?，??(??2)(1?loga2)?0

解之得：??4，

a?12 ????????????????????????12分

21．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为F(1,0)为椭圆的右焦点，所以a?b?1??① ????????1分

22xy??1abAB的直线方程为，即bx?ay?ab?0

(ab)212d?2?22222a?b7，化简得12(a?b)?7ab??② ??????????3分 所以

2由①②得：a?4，b?3

22x2y2??1C3所以椭圆的方程为4 ??????????????????????4分

(Ⅱ) 设

M(x1,y1)、N(x2,y2)

91y12y12???1x?x2?1，则434 当直线l的斜率不存在时，1，解得

1143??MF?NF?NF32，则MF所以??????????????????6分

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?y?k(x?1)?2?xy2??1?l:y?k(x?1)3当直线l的斜率存在时，设，联立?4

2222(3?4k)x?8kx?4k?12?0 化简得

8k24k2?12x1?x2?,x1x2?3?4k23?4k2??????????????????????8分 MF?(x1?1)2?y12?(x1?1)2?k2(x1?1)2?1?k2x1?1同理

NF?1?k2x2?1

11111??(?)2MFNFx?1x?1x?1,x1?1，则1?k21不妨设2

(x1?x2)2?4x1x2111?(?)??21?x2x?1x1?x2?x1x2?11?k1?k21

18k224k2?12()?4?2211121?k243?4k3?4k?????22228k4k?12931?k1?k??13?4k23?4k2

所以

11?MFNF4为定值3 ????????????????????????13分

22．（本小题满分13分）

??????解：（Ⅰ）?p?(x,m), q?(x?a,1)，f(x)?p?q?1，

2?二次函数f(x)?x?ax?m?1， ???????????????????1分 2f(x)?(2m?1)x?1?mx关于的不等式的解集为(??,m)?(m?1,??)， 22x?(a?1?2m)x?m?m?0的解集为(??,m)?(m?1,??)， 也就是不等式

22x?(a?1?2m)x?m?m?0的两个根. m?1m∴和是方程

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由韦达定理得：m?(m?1)??(a?1?2m)

∴a??2 ???????????????????????????????2分

f(x)x2?2x?m?1mg(x)???(x?1)?x?1x?1x?1， （Ⅱ）由（Ⅰ）得

1mm??(x)????(x)?g(x)?x?lnx?lnx?1?x(x?1)2 x?1，

?存在一条与y轴垂直的直线和?(x)的图象相切，且切点的横坐标为x0， ???(x0)?1m1??0?m?x??202x0(x0?1)x0????????????????4分

?|x0?1|?x0?3，?x0?2 ????????????????????????5分

h(x)?x?令

11(x?1)(x?1)?2h?(x)?1?2?(x?2)，则xxx2 h?(x)?1?1(x?1)(x?1)??022xx，

当x?2时，

?h(x)?x?1?2x在(2,??)上为增函数

h(x0)?x0?从而

111?2?h(2)??m?x02，2 ????????????????7分

?(x?1)?mx?1?kln(x?1)的定义域为(1,??).

（Ⅲ）?(x)?g(x)?kln(x?1)mkx2?(2?k)x?k?m?1??22??(x)?1?(x?1)x?1(x?1)∴.

方程x?(2?k)x?k?m?1?0（*）的判别式

2??(2?k)2?4(k?m?1)?k2?4m.

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2?k?k2?4mx1??1,2①若m?0时，??0，方程（*）的两个实根为 2?k?k2?4mx2??1,2或

则

x?(1,x2)时，??(x)?0；x?(x2,??)时，??(x)?0.

∴函数?(x)在(1,x2)上单调递减，在(x2,??)上单调递增.

x2，k可取任意实数. ?????????9分

此时函数?(x)存在极小值，极小值点为

2x?(2?k)x?k?m?1?0恒成立，?2?m?k?2?mm?0??0②若时，当，即时，

??(x)?0，?(x)在(1,??)上为增函数，

此时?(x)在(1,??)上没有极值 ??????????????????????10分 下面只需考虑??0的情况

由??0,得k??2?m或k?2?m，

2?k?k2?4m2?k?k2?4mx1??1,x2??1,k??2?m22当，则

?故x?(1,??)时，?(x)?0，

∴函数?(x)在(1,??)上单调递增.

∴函数?(x)没有极值. ?????????????????????????11分

2?k?k2?4m2?k?k2?4mx1??1,x2??1,k?2?m22当时，

则

x?(1,x1)时，??(x)?0；x?(x1,x2)时，??(x)?0；x?(x2,??)时，??(x)?0.

(1,x1)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，在(x2,??)上单调递增.

第13页（共14页）

∴函数?(x)在

此时函数?(x)存在极大值和极小值，极小值点x2，有极大值点x1.

x综上所述, 若m?0时，k可取任意实数，此时函数?(x)有极小值且极小值点为2；

x极大值点为x1

若m?0时，当 k?2?m时，函数?(x)有极大值和极小值，此时极小值点为2，

2?k?k2?4m2?k?k2?4mx1?（其中2x, 2?2）??????13分

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