最新一元一次方程单元测试题(Word版 含解析)

一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）

1．温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台，现在决定给武汉8台，南昌6台，每台机器的运费如下表，设杭州厂运往南昌的机器为x台，

（1）用含x的代数式来表示总运费(单位：元)

（2）若总运费为8400元,则杭州厂运往南昌的机器应为多少台?

（3）试问有无可能使总运费是7800元？若有可能请写出相应的调动方案；若无可能，请说明理由.

【答案】（1）解：总费用为:400（6－x）+800（4+x）+300x +500（4－x）=200x+7600（2）解：由题意得200x+7600=8400,解得x=4,

答:杭州运往南昌的机器应为4台

（3）解：由题意得200x+7600=7800,

解得x=1. 符合实际意义，

答：有可能，杭州厂运往南昌的机器为1台.

【解析】【分析】（1）根据总费用=四条线路的运费之和（每一条线路的费用=台数×运费），列式后化简即可。

（2）根据（1）中的表达式等于8400，列方程并求解。

（3）根据（1）中的表达式等于7800，列方程并求解，若方程的解符合实际意义，则有可能，否则就不可能。

2．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．

（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；

（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由；

（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由．

【答案】（1）解：①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，

∵∠AOC=30°，

∴∠BOC=2∠COM=150°，

∴∠COM=75°，

∴∠CON=15°，

∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，

解得：t=15°÷3°=5秒；

②是，理由如下：

∵∠CON=15°，∠AON=15°，

∴ON平分∠AOC

（2）解：15秒时OC平分∠MON，理由如下：

∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，

∵∠MON=90°，

∴∠CON=∠COM=45°，

∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，

设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，

∵∠AOC﹣∠AON=45°，

可得：6t﹣3t=15°，

解得：t=5秒

（3）解：OC平分∠MOB

∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，

∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，

设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，

∴∠COM为（90°﹣3t），∵∠BOM+∠AON=90°，

可得：180°﹣（30°+6t）= （90°﹣3t

），

解得：t=23.3秒；

如图：

【解析】【分析】（1）①根据∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，及平角的定义∠BOC=2∠COM=150°，故∠COM=75°，根据角的和差得出∠CON=15°从而得到AON=∠AOC ﹣∠CON=30°﹣15°=15°，根据旋转的速度，就可以算出t的值了；②根据∠CON=15°，∠AON=15°，即可得出ON平分∠AOC ；

（2）15秒时OC平分∠MON，理由如下：∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，从而得出∠CON=∠COM=45°，又三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，根据∠AOC﹣∠AON=45°得出含t的方程，求解得出t的值；

（3）根据∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，及三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，故设∠AON为3t，∠AOC 为30°+6t，从而得到∠COM

为（90°﹣3t），又∠BOM+∠AON=90°，从而得出含t的方程，就能解出t的值。

3．元旦假期，甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市当日累计购物超出了300元以后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市当日累计购物超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设某位顾客在元旦这天预计累计购物x元（其中x>300）．

（1）当x=400时，顾客到哪家超市购物优惠．

（2）当x为何值时，顾客到这两家超市购物实际支付的钱数相同．

【答案】（1）解：在甲超市购物所付的费用是：元，在乙超市购物所付的费用是：元；

当时，在甲超市购物所付的费用是：，

在乙超市购物所付的费用是：，

所以到乙超市购物优惠

（2）解：根据题意由得：，

解得：，

答：当时，两家超市所花实际钱数相同

【解析】【分析】（1）甲超市费用：利用300元+超出300元部分×0.8即得；乙超市费用：利用200元+超出200元部分×0.85即得；然后将x=400分别代入甲乙超市费用的代数式中计算即可.

（2）由甲超市费用=乙超市费用建立方程，求出x值即可.

4．某县外出的农民工准备集体包车回家过春节，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位．

（1）求准备包车回家过春节的农民工人数；

（2）已知租用45座客车的租金为每辆车5000元，60座客车的租金为每辆车6000元，问租用哪种客车更合算？请说明理由．

【答案】（1）解：设需单独租45座客车x辆，依题意得

45x=60（x－1）－15

解这个方程，得 x=5

则45x=45×5=225

答：准备回家过春节的农民工有225人

（2）解：由（1）知，需租5辆45座客车或4辆60座客车；

而租5辆45座客车的费用为 5×5000=25000（元），

租4辆60座客车的费用为4×6000=24000（元）．

故，租4辆60座客车更合算

【解析】【分析】（1）设需单独租45座客车x辆，根据单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位列出方程解出答案即可；（2）根据（1）知，需租5辆45座客车或4辆60座客车和租用45座客车的租金为每辆车5000元，60座客车的租金为每辆车6000元，求出答案即可。

5．甲乙两人相约元旦一起到某书店购书，恰逢该书店举办全场9.5折的新年优惠活动．甲乙两人在该书店共购书15本，优惠前甲平均每本书的价格为20元，乙平均每本书的价格为25元，优惠后甲乙两人的书费共323元．

（1）问甲乙各购书多少本？

（2）该书店凭会员卡当日可以享受全场8.5折优惠，办理一张会员卡需交20元工本费．如果甲乙两人付款前立即合办一张会员卡，那么比两人不办会员卡购书共节省多少钱？

【答案】（1）解：设甲购书x本，则乙购书（15﹣x）本，

根据题意得：[20x+25（15﹣x）]×0.95=323，

解得：x=7，

∴15﹣x=8．

答：甲购书7本，乙购书8本

（2）解：（20×7+25×8）×0.85+20=309（元），

323﹣309=14（元）．

答：办会员卡比不办会员卡购书共节省14元钱

【解析】【分析】（1）设甲购书x本，则乙购书（15﹣x）本，根据两人买书共消费了323元列出方程，求解即可；（2）先求出办会员卡购书一共需要多少钱，再用323元减去这个钱数即可.

6．寒假将至，某班家委会组织学生到北京旅游，现联系了一家旅行社，这家旅行社报价为4000元/人，但根据具体报名情况推出了优惠举措：

人数10人及以下（含10人）超过10人不超过20人的部分超过20人的部分

收费标准原价（不优惠）3500元/人3000元/人

（2）在（1）问前提下，后来又有部分同学要求参加，设这部分同学加入后总共参与旅游的人数为人，若总人数还是不超过20人，则总费用为________元；若总人数超过了20人，则总费用为________元；（结果均用含的代数式表示）

（3）若最后家委会支付给旅行社人均费用为原价的九折，问共有多少人参加了本次旅游？【答案】（1）50500

（2）；

（3）解：，显然 .

①若，则；

（不合题意，舍去）

②若，则；

答：共有25人参加了本次旅游

【解析】【解答】解：（1）根据题意得，4000×10+3500×（13-10）=50500（元），故答案为：50500；（2）根据题意得，

①若总人数x还是不超过20人，则总费用为：

4000×10+3500（x-10）=3500x+5000（元）；

②若总人数x超过了20人，则总费用为：

4000×10+3500（20-10）+3000（x-20）=3000x+15000（元）

故答案为：（3500x+5000）；（3000x+15000）

【分析】（1）根据优惠措施，旅游13人的总费用为：其中10人按4000元/人算，另3人按3500元/人计算；

（2）分两种情况解答：

①不超过20人时，总费用=10×400+3500×（x-10）；

②超过20人时总费用=10×4000+3500×10+3000×（x-20）；

（3）先判断出x＞10，然后分两种情况解答：①当时，②当时，

7．定义：若一个关于x的方程的解为，则称此方程为“中

点方程”.如：的解为，而；的解为，而 .

（1）若，有符合要求的“中点方程”吗？若有，请求出该方程的解；若没有请说明理由；

（2）若关于x的方程是“中点方程”，求代数式的值.

【答案】（1）解：没有符合要求的“奇异方程”，理由如下：

把代入原方程解得：x= ，

若为“中点方程”，则x= ，

∵≠ ，

∴不符合“中点方程”定义，故不存在

（2）解：∵，

∴（2a-b）x+b=0.

∵关于x的方程是“中点方程”，

∴x= =a.

把x=a 代入原方程得：，

∴ =

【解析】【分析】（1）把代入原方程解得：x= ，若为“中点方程”，则x= ，由于b≠b-2，根据“中点方程”定义即可求解；（2）根据“中点方程”定义得到， = ,整体代入即可.

8．已知：如图数轴上两点A、B所对应的数分别为-3、1，点P在数轴上从点A出发以每秒钟2个单位长度的速度向右运动，点Q在数轴上从点B出发以每秒钟1个单位长度的速度向左运动，设点P的运动时间为t秒．

（1）若点P和点Q同时出发，求点P和点Q相遇时的位置所对应的数；

（2）若点P比点Q迟1秒钟出发，问点P出发几秒后，点P和点Q刚好相距1个单位长度；

（3）在（2）的条件下，当点P和点Q刚好相距1个单位长度时，数轴上是否存在一个点C，使其到点A、点P和点Q这三点的距离和最小，若存在，直接写出点C所对应的数，若不存在，试说明理由．

【答案】（1）解：∵经过t秒点P和点O相遇，

∴有，

解得，

∴，

∴点P和点Q相遇时的位置所对应的数为

（2）解：∵点P比点Q迟1秒钟出发，∴点Q运动了(t+1)秒，

①若点P和点Q在相遇前相距1个单位长度，

则，

解得：，

②若点P和点Q在相遇后相距1个单位长度，

则2t+1×(t+1) =4+1，

解得：，

综合上述，当P出发秒或秒时，P和点Q相距1个单位长度

（3）解：若点P和点Q在相遇前相距1个单位长度，

此时满足条件的点C 即为P点，所表示的数为；

若点P和点Q在相遇前相距1个单位长度，

此时满足条件的点C 即为Q点，所表示的数为 .

【解析】【分析】（1）根据题意得出运动t秒时，P点和Q点所代表的的数字，如果两个数字相遇，则两个数P点和Q点表示的数相等，得到关于t的方程，解出值即可。

（2）P点晚1秒钟出发，求出D点运动的时间为（t+1），两个点相距一段距离可以考虑两种情况，相遇前和相遇后，进行解答即可。

（3）可以设点C表示的数为a，根据两点之间的距离进行求解即可得到。

9．如图，面积为30的长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，OC=5．将长方形OABC 沿数轴水平移动，O，A，B，C移动后的对应点分别记为O1， A1， B1， C1，移动后的长方形O1A1B1C1与原长方形OABC重叠部分的面积记为S

（1）当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点A 1表示的数是多少?

（2）设点A的移动距离

AA1=x

①当S=10时，求x的值；

②D为线段AA．的中点，点E在线段OO1上，且OE= OO1

，当点D，E所表示的数互为相反数时，求x的值．

【答案】（1）解：∵S长方形OABC=OA·OC=30，OC=5，

∴OA=6，

∴点A表示的数是6，

∵S=S长方形OABC=×30=15，

①当向左移动时，如图1：

∴OA1·OC=15，

∴OA1=3，

∴A1表示的数是3；

②当向右移动时，如图2：

∴O1A·AB=15，

∴O 1A=3，

∵OA=O1A1=6，

∴OA1=6+6-3=9，

∴A1表示的数是9；

综上所述：A 1表示的数是3或9.

（2）解：①由（1）知：OA=O1A1=6，OC=O1C1=5，

∵AA1=x，

∴OA1=6-x，

∴S=5×（6-x）=10，

解得：x=4.

②如图1，

∵AA1=x，

∴OA1=6-x，OO1=x，

∴OE=OO1=x，

∴点E表示的数为-x，

又∵点D为AA1中点，

∴A1D=AA1=x，

∴OD=OA1+A1D=6-x+x=6-x，

∴点D表示的数为6-x，

又∵点E和点D表示的数互为相反数，

∴6-x-x=0，

解得：x=5；

如图2，当原长方形OABC向右移动时，点D、E表示的数都是正数，不符合题意.

【解析】【分析】（1）根据长方形的面积可得OA长即点A表示的数，在由已知条件得S=15，根据题意分情况讨论：①当向左移动时，②当向右移动时，根据长方形面积公式分别计算、分析即可得出答案.

（2）①由（1）知：OA=O1A1=6，OC=O1C1=5，由AA1=x得OA1=6-x，由长方形面积公式列出方程，解之即可.

②当向左移动时，由AA1=x得OA1=6-x，OO1=x，根据题意分别得出点E、点D表示的数，由点E和点D表示的数互为相反数列出方程，解之即可；当向右移动时，点D、E表示的数都是正数，不符合题意.

10．已知关于m的方程 (m－16)＝－5的解也是关于x的方程2 (x－3)－n＝3的解．（1）求m、n的值；

（2）已知线段AB＝m，在射线AB上取一点P，恰好使＝n，点

Q为线段PB的中点，

求AQ的长．

【答案】（1）解：，

，

，

关于m的方程的解也是关于x的方程的解．，

将，代入方程得：

，

解得：，

故

（2）解：由知：，

当点P在线段AB上时，如图所示：

，

，

点Q为PB的中点，

，

；

当点P在线段AB的延长线上时，如图所示：

，

，

点Q为PB的中点，

，

．

故或

【解析】【分析】（1）解方程 (m－16)＝－5 求出m的值，根据关于m的方程 (m－16)＝－5的解也是关于x的方程2 (x－3)－n＝3的解得出x=m=6,从而将x=6代入方程

即可算出n的值；

（2）由知：，当点P在线段AB上时，如图所示：即可求出

AP,BP的长，根据线段中点的定义得出，最后根据即可算出答案；当点P在线段AB的延长线上时，如图所示：首先算出PB 的长，根据线段

中点的定义得出，根据即可算出答案，综上所述即可得出答案。

11．如图，线段AB=10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿线段AB向终点B 运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动(从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即调头向点A运动.)当

的运动时间为x.

点P到达B点时，P，Q两点都停止运动.设点P

（2）当P，Q两点第一次重合时，求线段BQ的长.

（3）是否存在某一时刻，使点Q恰好落在线段AP的中点上?若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）2

（2）解：设x秒后P，Q第一次重合，得：x+3x=10

解得：x=2.5，

∴BQ=3x=7.5

（3）解：设x秒后，点Q恰好落在线段AP的中点上，根据题意，

①当点Q从点B出发未到点A时，0<x< 时，有x=2(10-3x)，

解得x= ；②当点Q到达点A后，从A 到B时，即 <x< 时，有x=2(3x-10)，解得x=4；

③当点Q第一次返回到B 后，从B到A时， <x<10时，有x=2(30-3x)，

解得x= ；

综上所述：当x=

或x=4或x= 时，点Q恰好落在线段AP的中点上.

【解析】【解答】（1）解：根据题意，当x=3时，P、Q位置如下H所示：

此时：AP=3，BQ=3×3=9，AQ=AB-BQ=10-9=1，

∴PQ=AP-AQ=2.

【分析】（1）根据题意画出图形，由题可得AP=3，BQ=9，结合题意计算即可得出答案.（2）设x秒后P，Q第一次重合，根据题意列出方程，解之即可得出答案.

（3）设x秒后，点Q恰好落在线段AP的中点上，根据题意分情况讨论：①当点Q从点B出发未到点A时，0<x< 时，②当点Q到达点A后，从A到B时，即 <x< 时，

③当点Q第一次返回到B后，从B到A时， <x<10时，结合题意分别列出方程，解之即可得出答案.

12．已知数轴上有A、B、C三个点,

分别表示有理数-12、-5、5,动点P从A出发,以每秒1

个单位的速度向终点C移动,设移动时间为秒。

（1）用含的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=________，PC=________。

（2）当点P从点A出发,向点C移动,点Q以每秒3个单位从点C出发,向终点A移动,请求出经过几秒点P与点Q两点相遇?

（3）当点P运动到B点时,点Q从A点出发,以每秒3个单位的速度向C点运动,Q点到达C 点后,再立即以同样的速度返回,运动到终点A,在点Q开始运动后,P、Q两点之间的距离能否为2个单位?如果能,请求出此时点P表示的数；如果不能,请说明理由。

【答案】（1）t

；17-t

（2）依题可得：

PA=t，CQ=3t，

∵P、Q两点相遇，

∴t+3t=5-（-12），

解得：t==4.25，

答：经过4.25秒点P与点Q两点相遇.

（3）依题可得：

AP=t，AC=5+12=17，

∵动点P的速度是每秒1个单位,

∴点P运动到B点时间为：（-5+12）÷1=7（秒），

①

当点P在点Q右侧，且Q点还没有追上P点时（如图1），

∵动点Q的速度是每秒3个单位,

∴AQ=3（t-7），

∵P、Q两点之间的距离为2个单位，

∴AP=AQ+PQ，

即3（t-7）+2=t，

解得：t=；

∴OP=OA-AP=12-=，

∴点P表示的数为：-.

②当点P在点Q左侧，且Q点追上了P点时（如图2），

∵动点Q的速度是每秒3个单位,

∴AQ=3（t-7），

∵P、Q两点之间的距离为2个单位，

∴AQ=AP+PQ，

即3（t-7）=2+t ，

解得：t=；

∴OP=OA-AP=12-=，

∴点P表示的数为：-.

当点Q到达C点后，且P点在Q点左侧时（如图3），

③

∴AC+CQ=3（t-7），

∵AC=17，

∴CQ=3（t-7）-17，

∵P、Q两点之间的距离为2个单位，

∴AP+PQ+CQ=AC ，

即t+2+3（t-7）-17=17，

解得：t=；

∴OP=AP-OA=-12=，

∴点P表示的数为：.

④当点Q到达C点后，且P点在Q点右侧时（如图4），

∴AQ=AP-PQ=t-2，

∵动点Q的速度是每秒3个单位,

∴AC+CQ=3（t-7），

∵AC=17，

∴CQ=3（t-7）-17，

∵P、Q两点之间的距离为2个单位，

∴AQ+CQ=AC，

即t-2+3（t-7）-17=17，

解得：t=；

∴OP=AP-OA=-12=，

∴点P表示的数为：.

综上所述：点P表示的数为-， -，，.

【解析】【解答】解：（1）∵动点P从A出发,以每秒1个单位的速度向终点C移动,设移动时间为t秒，

∴P到A点的距离为：t，

又∵数轴上有A、B、C三个点,分别表示有理数-12、-5、5，

∴PC=CA-PA=（5+12）-t=27-t，

故答案为：t，27-t.

【分析】（1）根据题意得出PA=t，再由数轴上两点间的距离求出PC.

（2）根据题意表示出PA=t，CQ=3t，再由P点走过的路程+Q点走过的路程=CA，解之即可得出答案.

（3）根据题意分情况讨论：①当点P在点Q右侧，且Q点还没有追上P点时，②当点P 在点Q左侧，且Q点追上了P点时，

③当点Q到达C点后，且P点在Q点左侧时，④当点Q到达C点后，且P点在Q点右侧时，分别列出方程，解之即可得出答案.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ddh4.html