高中数学奥林匹克模拟真题（三）

高中数学奥林匹克模拟真题（三）及答案

陈传理提供

一、填写题：共64分，每小题8分.

}，记M的所1．由10个元素组成的集合M?{1,99,?1,0,25,?36,?91,19,?2,11有非空子集为Mi，i?1,2?,1023，每一个Mi中的所有元素之积为mi，则

1023i?1?mi= .

·O的半径为7，·O上的三点，DC?DB?1，?BOC?120?，2．○D,B,C为○

则DB= .

3．已知sin(x?20?)?cos(x?10?)?cos(x?10?)，则tan x= .

x2y21y??1，则2?的取值范围是 . 4．若实数x，y满足

xx44n25．所有能使[]为质数的正整数n的倒数和为 .

56．已知函数f(x)?loga(?ax2?3x?2a?1)对任意的x?(0,1]恒有意义，则实数a的取值范围是 .

7．设三位数n?abc，若a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，这样的三位数n有 个.

8．一个正三梭锥的体积为

2，则它的表面积的最小值为 . 3二、解答题：共56分，第9题16分，第10、11题各20分.

9．设点Z是单位圆x2?y2?1上的动点，复数W是复数Z的函数：

W?1，试求点W的轨迹。

(1?Z)210．设二函数y?f(x)的图象过点O(0,0)，且满足?3x2?1?f(x)?6x?2.

1数列{an}满足：a1?,an?1?f(an).

3（1）确定f(x)的表达式； （2）证明：an?1?an； （3）证明：?i?1n1?3n?1?3.

0.5?ai11．已知a,b,c?R?，且满足

kabc?(a?b)2?(a?b?4c)2，求k的最小值.

a?b?c第二试

·O经过?ABC的顶点A、B，一、（本题满分40分）如图1，半径为为R的○

且分别与边CA、CB交于点D、E，AE与BD交于点P.求证：

OC2?OP2?PC2?2R2.

ACDEPOB1a)(c?b) 二、设正实数a、b、c满足a3?b3?c3，证明：a2?b2?c2?6(c图?三、（本题满分50分）设M为坐标平面上坐标为（p·2002,7p·2002）的点，其中p为素数，求满足下列条件的直角三角形的个数：

（1）三角形的3个顶点都是整点，而且M是直角顶点； （2）三角形的内心是坐标原点.

（四）（本题满分50分）求所有的非零整数a,b,a?b，使得：可以把整数集分拆为3个子集，使得对每个n,n、n?a、n?b分别属于这3个集合.

一试参考答案

一、填空题： 1．—1.

1023i?1?mi?(1?1)·(99?1)·(?1?1)·(0?1)·(25?1)·(?36?1)·(?91?1)·(19

?1)·(?2?1)·(11?1)?1??1.

2．4.

连接BC.?OBC中，由余弦定理可得

BC?(7)2?(7)2?2·7·7·cos120??21.

设DB?x，则DC?x?1.

在?OBC中，由余弦定理可得(21)2?x2?(x?1)2?2·x·(x?1)·cos60?，解得x?4或x??5（舍去）.

3．3. 由已知等式可得

2cos10??sin20?又 sinxcos20?cosxsin20?2cosxcos10，所以tanx??cos20???2cos10??sin20??2cos(30??20?)?sin20? ?2(cos30?cos20??sin30?sin20?)?sin20?

3cos20??3cos20?sin20?sin20?3cos20，所以tanx??3.

cos20?????4．（—1，1）.

令x?2sec?,y?2tan?,??(?则

1y12??cos??sin? x2x2?1?1(sin??1)2?(?1,1). 2??,)， 225．

37. 60n2n2n2n?1,2,3时，[]都不是质数；n?4时，[]?3是质数；n?5时[]?5555n2是质数；n?6时，[]?7是质数.

5当n?8时，可设n?5k?r（其中k为不小于2的正整数，r?0,1，或2）

n2111?(5k?r)2?(25k2?kr?r2)?k(5k?2r)?r2， 则

5555n2n2所以[]?k(5k?2r)，因为k?2，所以5k?2r?2，所以[]?k(5k?2r)55不是质数.

n211137因此，能使[]为质数的正整数n只有4,5,6，它们的倒数和为???.

45660516．[,1)?(1,??).

2显然a?0且a?1.

由题意知?ax2?3x?2a?1?0对一切x?(0,1]恒成立，即a?3x?1对一切2x?2x?(0,1]恒成立.

3x?1?3x2?2x?6令g(x)?2，则g?(x)?，显然，对一切x?(0,1]，g?(x)?0，22x?2(x?2)所以函数g(x)?即?2?g(x)?3x?1g(1)?g(x)?g(0)，在(0,1]上单调递减，因此，当x?(0,1]时，2x?211.因此，a?. 22

1综合可知：实数a的取值范围是[,1]?(1,??).

27．165.

因为a,b,c为边长，且分别是n的百位数字，十位数字和个位数字，所以

a,b,c?{1,2,3?,9}.

（1）如果以a,b,c为三条边的长构成等边三角形，则a?b?c，这样的三位数n有9个；

（2）如果以a,b,c为三条边的长构成等腰（非等边）三角形，则a,b,c中恰好含有两个不同的数码，不妨设为A,B(A?B).这时，又有两种情况：

2①三个数为A,A,B,这样的三位数n有3C9?108个；

②三个数为A,B,B，则B?A?2B，列表可知有如下16种可能.

A B 3 2 4 3 5 3 5 4 6 4 6 5 7 4 7 5 7 6 8 5 8 6 8 7 9 5 9 6 9 7 9 8 对于A、B的每一组值，可以确定3个不同的三位数，所以，这样的三位n有3?16?48个.

综上可知，满足条件的三位数n共有9+108+48= 165 个.

38．23·2.

设三棱锥的底面正三角形的边长为a，斜高为h，侧面与底面而所成角?，易知a?23hcos?，正三棱锥的高H??.

因为正三棱锥的体积为

2132，所以·a2·， H?33432132，所以h3?. ··(23hcos?)2·hsin??234333·sin?·cos?正三棱锥的表面积

S??321a?3··ah 4231·(23hcos?)2?3··23hcos?·h 42?33h2cos?(1?cos?). S3?813h6cos3?(1?cos?)3

?813·(233·sin?·cos2?)2cos3?(1?cos?)3

(1?cos?)2 ?63·(1?cos?)·cos??63·(1?3cos??1)， 2cos??cos?cos??cos2?1记f(?)?，令t?1?3cos?，则cos??(t?1)，

31?3cos?11(t?1)?[(t?1)]23 f(?)?g(t)?3t514??(t?) 99t?514?·2t· 99t1?， 91时取等号. 3当且仅当t?2，即cos??33因此，所以S?23·故S的最小值为23·S3?63·(9?1)?483，2，2.

二、解答题：

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