2017年广东省佛山一中高一下学期数学期中考试试卷

2017年广东省佛山一中高一下学期数学期中考试试卷

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 数列 ，，，?? 的第 10 项是 ??

A. 17 ??

A. 25 A. 7

7316

5

7

9

2

4

6

8

B. 19 18

C. 21 20

D. 23 22

2. 在 △?????? 中，内角 ??，??，?? 所对的边分别是 ??，??，??．已知 8??=5??，??=2??，则 cos??=

B. ?25 B. 5

7

C. ±25 C. ?5

7

D. 25 D. ?7

24

3. 已知 ???? 为等比数列，??4+??7=2，??5??6=?8，则 ??1+??10= ?? 4. 若 △?????? 的三个内角满足 sin??:sin??:sin??=5:12:14，则 △?????? ??

A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形

D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

5. 已知 ??1，??2∈ 0,1 ，记 ??=??1??2，??=??1+??2?1，则 ?? 与 ?? 的大小关系是 ??

A. ??

恒有：?? ?? =???? ； ①对于实数 ?? 和向量 ?? ，?? ??? ????? ②对于实数 ??，?? 和向量 ?? ，恒有： ????? ?? =???? ????? ； ??∈?? ，则有：?? ； ③若 ???? =???? =?? ④若 ???? =???? ??,??∈??,?? ≠ 0 ，则有：??=??． 其中正确命题的个数是 ??

B. ??>??

C. ??=??

D. 不确定

A. 1

π

3

B. 2 C. 3 D. 4

7. 已知 cos 4??? =5，则 sin2??= ??

A. 25 ?? 9.

A.

6

2cos10°?cos70°

cos20°117

B. ?25

7

C. 25 18

D. ?25

16

等于 8. 在边长为 1 的正 △?????? 中，??，?? 是边 ???? 的两个三等分点（?? 靠近点 ??），则 ????? ????

B.

92

C. 18

13

D.

3

1

的值是 ??

B. 2 3A. 2 ??

C. 2 D. 3 10. 在 △?????? 中，角 ??，??，?? 所对边的长分别为 ??，??，??，若 ??2+??2=2??2，则 cos?? 的最小值为

A. 2

3

B. 2

2C. 2 第1页（共8页）

1

D. ?2

1

11. 已知 ???? 是等差数列 ???? 的前 ?? 项和，若 ??1=?2014，

A. 1

B. 2017

??20142014

?

??20082008

=6，则 ??2017= ??

D. 4034

C. 2008

12. 在 △?????? 中，????= 7，????=2，??=60°，则 ???? 边上的高等于 ??

A.

32

B.

3 32

C.

3+ 6 2

D.

3+ 39 4

二、填空题（共4小题；共20分）

13. 已知二次函数 ??=??2+????+?? 的图象与 ?? 轴相交于 1,0 与 3,0 两点，则不等式 ??2+????+

??>0 的解集为 ．

= 2,??? ，且 ?? ，则 ?? = ． 14. 已知平面向量 ?? = 1,2 ，?? ⊥?? +??15. 计算

tan10°+tan50°+tan120°

tan10°tan50°= ．

16. 已知 ?? ?? =??2cos ??π ，????=?? ?? +?? ??+1 ，则 ??1+??2+??3+?+??100= ．

三、解答题（共6小题；共78分）

17. 如图，已知 △?????? 中，?? 为 ???? 边的中点，?? 是 ???? 边上靠近点 ?? 的三等分点，???? 与 ???? 相交

． =?? =??于点 ??，????:????=2:5，设 ???? ，????

表示向量 ???? ，???? ； （1）用 ?? ，??

=?????? ，求实数 ?? 的值． （2）若 ????

18. 已知锐角三角形 ?????? 的内角 ??，??，?? 的对边分别为 ??，??，??，且 3??=2??sin??．

（1）求 ?? 的大小；

（2）若 ??2+??2=7，且三角形 ?????? 的面积为 3，求 ?? 的值． 19. 解关于 ?? 的不等式 ????2? ??+1 ??+1>0（?? 为常数且 ??≠0）． 20. 已知函数 ?? ?? = sin??+cos?? 2+cos2??．

（1）求 ?? ?? 的最小正周期；

（2）求 ?? ?? 在区间 0,2 上的最大值和最小值．

21. 数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，????+????=?2??2?2??+1 ??∈??? ．

（1）设 ????=????+??，证明：数列 ???? 是等比数列；

（2）求数列 ?????? 的前 ?? 项和 ????；

22. 设数列 ???? 为单调递增的等差数列，??1=1，且 ??3，??6，??12 依次成等比数列．

（1）求数列 ???? 的通项公式 ????；

（2）若 ????= 2????+1 2+3?2????+1+2，求数列 ???? 的前 ?? 项和 ????；

2????

1

3

π

第2页（共8页）

（3）若 ????=

??????

2????+1 2+3?2????+1+2

??>0 ，数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，求同时满足下列两个条件

1

的所有 ?? 的值：

①对于任意正整数 ??，都有 ????<6；

②对于任意的 ??∈ 0,6 ，均存在 ??0∈???，使得 ??≥??0 时，????>??．

1

第3页（共8页）

答案

第一部分 1. C

1sin??

??

??sin??

??7

8??52. A

85

【解析】由正弦定理得

4

sin??

=，将 8??=5?? 及 ??=2?? 代入得

2

42

sin??

=

sin2??

，化简得

=

，则 cos??=．所以 cos??=cos2??=2cos???1=2× ?1=．

2sin??cos??5525

??+??7=2,得 ??4=4, 或 ??4=?2, 所以 【解析】设数列 ???? 的公比为 ??，由 4

??5???6=??4???7=?8.??7=?2.??7=4.

??1=?8,??1=1,??=?8,??=1,1 或 3 3 所以 1 或 1 所以 ??1+??10=?7．

??10=1.??10=?8.??=?.??=?2.3. D

2

4. C 5. B

【解析】?????=??1??2? ??1+??2?1 =??1??2???1???2+1= ??1?1 ??2?1 ． 又 ??1，??2∈ 0,1 ，则 ??1?1<0，??2?1<0，则 ??1?1 ??2?1 >0，则 ??>??． 6. C

7. B

8. C

9. D

10. C

11. D 12. B 【解析】在 △?????? 中，由余弦定理可知：

????2=????2+????2?2?????????cos??， 即 7=????2+4?2×2×????×2． 整理得 ????2?2?????3=0． 解得 ????=?1 （ 舍去）或 ????=3． 故 ???? 边上的高 ????=?????sin??=3sin60°= 第二部分

13. ?? ??<1或??>3 14. 3,1

= 2,??? ，且 ?? ， 【解析】因为向量 ?? = 1,2 ，?? ⊥?? =1×2+2× ??? =0， 所以 ?? ???所以 ??=1， = 2,?1 ； 所以 ??

= 1+2,2?1 = 3,1 ． 所以 ?? +??15. ? 3 16. ?100

第4页（共8页） 3 32

1

．

第三部分

17. （1） 因为 ?? 为 ???? 的中点，

1

+???? ， 所以 ????= ????

2

， =2 =2??所以 ????????????? ???因为 ?? 为 ???? 的三等分点， ， =2???? =2??所以 ????

3

3

5

?2?? =2?? ． =???? ????? =2??所以 ???? ??? ???33

（2） 因为 ????:????=2:5，

2

， =4?? =2????所以 ???? ???

5

5

2 +4?? =4?? +???? =??所以 ????=???? ??? ．

3

5

3

5

32

所以 ??=5．

18. （1） 因为 3??=2??sin??．根据正弦定理得 3sin??=2sin???sin??， 又因为 sin??>0 所以 sin??=

3， 2π

4

由 △?????? 为锐角三角形得 ??=3．

（2） 由 △?????? 的面积为 3，得 ????sin??= 3，

21

3， 2

又因为 sin??=所以 ????=4，

由余弦定理得 ??2+??2?2????cos??=??2， 又因为 cos??=2， 所以 ??2=3， 所以 ??= 3．

19. 不等式 ????2? ??+1 ??+1>0 可化为 ?? ??? ???1 >0，

??

（1）??<0 时，不等式化为 ????? ???1 <0，且 ??<1，所以不等式的解集为 ??,1 ； （2）??>0 时，不等式化为 ??? ???1 >0，

??若 01，

不等式的解集为 ?∞,1 ∪ ,+∞ ；

??1

1

1

11

1

1

1

1

若 ??=1，则 ??=1，

不等式的解集为 ?∞,1 ∪ 1,+∞ ； 若 ??>1，则 0

不等式的解集为 ?∞,?? ∪ 1,+∞ ．

20. （1） 因为 ?? ?? =sin2??+cos2??+2sin??cos??+cos2??=1+sin2??+cos2??= 2sin 2??+4 +1， 所以函数 ?? ?? 的最小正周期为 ??=

2π2

π

11

=π．

第5页（共8页）

（2） 由（1）的计算结果知，?? ?? = 2sin 2??+ +1．

4当 ??∈ 0, 时，2??+∈ ,

2

4

π

π

π5π44π5π

4

π

，

由正弦函数 ??=sin?? 在 4,当 2??+4=2，

π

π

π

上的图象知，

即 ??=8 时，?? ?? 取得最大值 2+1; 当 2??+4=

π

5π

，即 ??=2 时，?? ?? 取得最小值 0． 4

π

π

综上，?? ?? 在区间 0,2 上的最大值为 2+1， 最小值为 0．

21. （1） 因为 ????+????=???2???+1，

2

2

1

3

12

所以 ① 当 ??=1 时，2??1=?1，则 ??1=?，

② 当 ??≥2 时，?????1+?????1=?2 ???1 2?2 ???1 +1， 所以 2??????????1=????1，即 2 ????+?? =?????1+???1， 所以 ????=2?????1 ??≥2 ，而 ??1=??1+1=2，

所以数列 ???? 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 ????= 2 ． （2） 由（1）得 ??????=2??． 所以 ①????=+

221

223

2+

13

11

11

1??

??

3

②2????=1+2+22+23+??+2???2+2???1， ②?① 得：

????=1+2+22+??+2???1?2??， ????=

1? 1??211?224

3+

42

4+??+

???12

???1+

??2??，

???1??

111??

?

??2??

=2?

??+22??

．

22. （1） 因为数列 ???? 为单调递增的等差数列，??1=1，且 ??3，??6，??12 依次成等比数列， 所以 ??12=??6=

6

3

????

??12???6??6???3

=3??=2，

6??

所以 1+5??=2 1+2?? ， 解得 ??=1， 所以 ????=??．

（2） 因为 ????=??， 所以

第6页（共8页）

????

2????

=?? 2??+1 2+3?2????+1+22??

=??+12 2 +3×2??+1+22??

=??+1 2+1 2??+1+2 2???1

=??+1 2+1 2??+1 111= ?????+1 ,22+12+1所以数列 ???? 的前 ?? 项和

1111111????= ? + ? +?+ ?

21+21+221+221+232??+12??+1+1111

= ???+1

21+22+111=???+2.62+2 （3） （ⅰ）当 ??=2 时，由（2）知：????<6，即条件①满足， 又 0

????>??

111

? ???+1 >??21+22+13

?2??+1>?1

1?6??3

???>log2 ?1 ?1>0,

1?6??1

1

取 ??0 等于不超过 log2 （ⅱ）当 ??>2 时， 因为 ??≥1，

??????2??????

31?6??

?1 的最大整数，则当 ??≥??0 时，????>??．

= ≥，

22

??

所以 ????≥2?2??， 所以 ??????≥?2??，

2??

所以 ????≥? ???+1 ，

221+22+1

由（ⅰ）知存在 ??0∈???，当 ??≥??0 时，2 1+2?2??+1+1 >3??，

故存在 ??0∈???，当 ??≥??0 时，????=2?2 1+2?2??+1+1 >2?3??=6，不满足条件． （ⅲ）当 0

??????2????

1

1

1

??

1

1

1

1

1

1

??111

= ≤，

22

1

1

????

??

所以 ????≤2?2??，

所以 ????≤2?2 1+2?2??+1+1 ， 取 ??=12∈ 0,6 ，

若存在 ??0∈???，当 ??≥??0 时，????>??，

第7页（共8页）

??

1

??

1

则 ? ???+1 >， 221+22+112所以 1+2?2??+1+1>3 矛盾， 故不存在 ??0∈???，

当 ??≥??0 时，????>??，不满足条件，

综上所述，只有 ??=2 时满足条件，故 ??=2．

1

1

1

??111??

第8页（共8页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dd97.html