船舶流体力学第5章（打印）

第五章 旋涡理论

本章主要研究：旋涡运动，不涉及力，属于运动学范畴。

由于旋涡场的特性不同于一般流场，在这里我们专门对其进行分析研究。 旋涡与船体的阻力、振动、噪声等问题密切相关。

旋涡运动理论广泛地应用于工程实际，比如 机翼、螺旋桨理论等。 旋涡的产生：与压力差、质量力和粘性力等因素有关。

根据边界层理论，流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体的无旋运动。

图片：

§5.1 旋涡运动的基本概念

流体微团：由大量流体质点所组成的，具有线性尺度效应的微小流体团。

刚体的运动是由于平移和绕某瞬时轴的转动两部分组成。

流体微团的运动一般除了平移和绕某瞬时轴的转动之外，还有线变形运动和角变形运动。

一. 速度分解定理：

设t时刻流场中任一流体微团中某点A(x,y,z)的速度为V、V、V，则与点A相邻的点

x

y

z

M(x+dx,y+dy,z+dz)的速度为：

1

vmx?vy?vy?vy?vx?vx?vxdx?dy?dz ?vx?dx?dy?dz vmy?vy??x?y?z?x?y?zvmz?vz??vz?v?vdx?zdy?zdz ?x?y?z?

vmx?vx1??vx?vy?1??vx?vz?1??vx?vz?1??vy?vx?????vx?dx???dy?????dy?dz???dz?????x2??y?x?2??z?x?2??z?x?2??x?y??引入符号： ?x??vy?vx?v ?y? ?z?z

?y?x?z1??vz?vy?1??vy?vx?1??vx?vz?????x???? ?y?? ?? ?z????2??y?z?2??x?y?2??z?x??1??vz?vy?1??vy?vx?1??vx?vz?????x?????? ?????zy????2??y?z?2??x?y?2??z?x??同理：

vmx?vx??xdx??zdy??ydz??ydz??zdy

vmy?vy??ydy??xdz??zdx??zdx??xdz

vmz?vz??zdz??ydx??xdy??xdy??ydx

上式称为海姆霍茨（Helmholtz）速度分解定理。

二.流体微团的运动形式：

这里仅分析正交微小六面体流体微团的一个平面的运动情况（其它平面的情况可按同样的原则类推）。

设t时刻矩形ABCD上A(x,y)点的速度分量为 Vx 、Vy ，则B(x+dx,y)点的速度分量为：

?vy?vxdx vBx?vx?dx vBy?vy??x?xD(x,y+dy)点的速度分量为：

vDx?vy?vxdy ?vx?dy vDy?vy??y?yt+dt时刻，矩形ABCD变形运动至A’B’C’D’，如图所示。

A’、B’和D’的移动距离如图所示。

2

1. Vx、Vy (及Vz )分别是流体微团在x,y (及z)方向的平移速度。

2.?x,?y和?z分别是流体微团在x,y和z方向的线变形速度(线变形率)。

如上图，沿x方向的绝对变形量为：

?v?v??A?B???AB??vx?xdx?dt?vxdt?xdxdt

?x??x?故，?x是流体微团在x方向的线变形率（在x方向单位时间内的相对变形量）。同理，?y、?z分别是流体微团在y、z方向的线变形率。

?vx?vy?vz?????V?0 对于不可压缩连续流体，有： ???x??y??z??x?y?zε称为流体的体积变形率。

事实上，这是不可压缩流体的连续性微分方程。

3.?z、?x和?y分别是流体微团在xoy、yoz和zox平面上的角变形速度(角变形率)。

dxdtdxdt?vy?x?x d??tand????dt

?vdx?x??dx??vx?xdx?dt?vxdt?x??同理：d???vxdt ?y?vy?vy定义：角变形量的一半对时间的变化率为角变形速度。

故，流体微团在xoy平面上的角变形率为： ?z?d??d?1??vx?vy????? ??2dt2??y?x?同理，流体微团在yoz及zox平面上的角变形速度分别为：

1??vz?vy?1??vx?vz???x?????? ??y?2??y?z2?z?x????

3

x z 记忆 法则

y

角变形又称为剪切变形，角变形率也称为剪切变形率。

4.?z、?x和?y分别是流体微团绕z、x和y轴的旋转角速度(角转速)。

把?BAD之平分线绕z轴的旋转角速度定义为流体微团绕z轴的旋转角速度?z，并规定逆时针方向转动为正方向。?

?z?d??d?1??vy?vx????? ?2dt2??x?y??同理，流体微团绕x、y轴的旋转角速度分别为：

1??vz?vy?1??vx?vz???x??? ????? y?2??y?z2?z?x????定义角速度矢量为： ???xi??yj??zk

???1??vz?vy?1??vx?vz?1??vy?vx?1?????i??j??k?(??V) ??????2??y?z?2??z?x?2??x?y?2??V称为速度的旋度。

在圆柱坐标系中，旋转角速度的三个分量表示为：

?r??1?1?Vx?V??2?r???x1??Vr?Vx?1??V?V?1?Vr???????? ?????x2??x?r?2??rrr????? ?旋转角速度矢量的正方向按右手螺旋法则确定。

总之，流体微团的运动一般包括：平移，线变形运动，角变形运动和绕某瞬时轴的转动。

三.有旋流动和无旋流动：

每一流体微团的旋转角速度都等于零的流动，称为无旋流（无涡流）。 这时：

yx??z?????0,2??x?y??1??v?v???vy?x??vx ?yyz??x????0??2??y?z?1??v?v???vz?vy? ?y?z 4

?y??

1??vx?vz????02??z?x???vx?vz ??z?x最后说明一下：

1.流动是有旋流或无旋流取决于流体微团本身是否旋转，与其运动轨迹无关。

运动轨迹为圆，但为无旋流。 运动轨迹为直线，却为有旋流。

2.无旋流一般存在于理想流体之中，而有旋流一般存在于粘性流体之中。（由于内摩擦切应力使流体微团转动。）

例1：已知流体流动的流速场为: Vx = ax ,Vy = by , Vz = 0，试判断该流动是无旋流还是有旋流？

解： ?x?1??vz?vy?1??vx?vz????0 ????y??2??y?z?2??z?x1??vy?vx????????0 ?0?z??2??x?y??故流体流动是无旋流。

四.旋涡强度：

1.涡量：

涡量——速度矢量的旋度。

涡量常用?来表示。 ????v?2?

即旋转角速度的两倍值，称为涡量。 ???xi??yj??zk

这里：?x?2?x,?y?2?y,?z?2?z。

由矢量运算规则，有： ??????(??v)?0

这是涡矢量的一个重要特性。

2.涡通量（涡管强度）：

面积S上的涡通量 --- 旋转角速度在S上法向分量的积分。若S为涡管截面也称为涡管强度(或涡

强)。常用J表示。

J????ndS???ndS n??面积S上的法向单位矢量。

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