厦门大学线性代数A 2009年期末试题 附答案

厦门大学2009级《线性代数A》课程试卷

答案

主考教师： 试卷类型：（A卷） 2010.06.13

一．（填空题（每小题4分，共20分）

2869

0000TTTT 1． 令 A 1,0,3,5 ,B 2,8,6,9 ,则AB 61，AB

6241827 。 10403045

2．若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2， 1, 2, 3是它的 三个解向量，且 1 2 (2, 6,3)T,

2 3 ( 6,8,5)T,则该线性方

程组的通解是(1, 3,3/2)T k(8,14, 2)T,k R.

12t

36 的行向量线性相关，则实数t满足的条件是 3. 设A t

2t5

t 3,或t

3 2 4．令Aii是三阶矩阵A的元素aii的代数余子式（i=1，2，3），若A的特征值为3，4，5，则A11 A22 A33 ___47_______.

01 1

0 是正定矩阵，则c的取值范围为 5．若A 0c 2

10c 5

____C 0_______.

二． 选择题（每小题3分，共15分）

1. 设A、B均为n阶正交矩阵，则_____（3）_______.

（1）A+B为正交矩阵 （2）A-B为正交矩阵 （3） BAB为正交矩阵（4）kAB为正交矩阵(k>0为实数)

2．设A为m阶可逆矩阵，B为n阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵 D

OA

的逆矩阵是____（2）________.

BO

A 1

（1）

O

OO

（2） 1B 1 A

B 1

O

B 1

（3）

O OO

（4） 1

A 1 BA 1

O

3． 设 与 是线性无关的单位向量，则 与 的内积必 _____（4）_______.

（1） >0 （2）<0 （3）>1 （4）<1

4.设A为n阶可逆矩阵，A,A,A分别是A的转置矩阵，逆矩阵和伴随矩阵，若 是T 1*

A的特征向量，则下列命题中的不正确的是___（1）_____.

（1） 是AT

的特征向量 （2）2 是A 1的特征向量 （3）3 是A*的特征向量

（4） 4 是kA的特征向量（k为常数）

222 623

5.设A 222 ,B 000

，则____(2) ____.

222 000

（1）A与B是相似的且是合同的 （2）A与B是相似的但不是合同的 （3）A与B不是相似的但是合同的

（4）A与B不是相似的也不是合同的

三．（15分）试求五元齐次线性方程组

x1 3x2 3x3 x4 x5 0,

x1 x2 x3 x4 3x5 0,

x1 x2 x3 x4 x5

0的解空间V(作为R5

的子空间)的一组规范（标准）正交基。 解 依题意知，

1 A 3311 111 13 13311 02202 10 11 1 02202 01 11 00故R A 2，并且原方程组的一个基础解系为：

01 2 101 000 .

0 1 2 10 1

1 1 , 2 0 , 3 0 .

01 0 0 0 1

T

2

接下来将 1, 2, 3正交化. 令 1 1, 2 2 T1 1 2,

1 1

1

2 0 1 1 1 10 2 TT 2 3 11 2 0 1 , 3 3 3 0 1 21TT

2 2 1 1 2 2

0 0 1 2 1 0 0 1

1

最后将 1, 2, 3单位化可得

0 0 1

3 1 ， 2 0 ，2 1 23

3

0

0 0

,

向量组 1, 2, 3即为所求。

120

250四．（12分）求矩阵A 并计算A9的 的特征值和特征向量， 1 1 3

特征值。

25

1

0 3 3 , 3

2

解 因为A E 2

1

故A的特征值值为-3，3（2重）.

当 3时，解线性方程组 A 3E x 0。由于

420 1 10 100

A 3E 280 060 010 ,

1 10 060 000

故A的属于特征值-3的全部特征向量为k1 0,0,1 又

T

k1 0 .

0 1 1 0 22

20 00 A 3E 2 , 1

1 1 6 00 0

故A的属于特征值 3的全部特征向量为k2 1,1,0 根据特征值的性质A

9

T

k2 0 .

9

的特征值为( 3)9,39,3.，

TTT

五．（16分）令 1 1,k,1 , 2 k,1,1 , 3 1,k 2, 1 , ( 1,k 2, 1)T,

问k为何值时

（1） 向量 不能由向量组 1, 2, 3线性表示；

（2） 向量 能由向量组 1, 2, 3线性表示，且表示法唯一； （3） 向量 能由向量组 1, 2, 3线性表示，且表示法不唯一，

并求其一般表达式.

1k 1k1 1 1

k11k 2解 因 1, 2, 3, 0k 11 k

2 11k 1 11 k1 k

1

0 2k 2

1 1

0k 1

10

k1 k

2 k 1 k

0 ， 2 k 1

1

（1） 如果k 2 0,即k 2,此时，R 1, 2, 3, 3,R 1, 2, 3 2,

故向量 不能由向量组 1, 2, 3线性表示； （2） 如果k 2 0,且1 k 0,即k 2,且k 1,此时，

R 1, 2, 3, R 1, 2, 3 3,

向量 能由向量组 1, 2, 3线性表示，且表示法唯一； （3） 如果1 k 0,即k 1,此时，

111 1

0000 1, 2, 3, 0000

R 1, 2, 3, R 1, 2, 3 1,

向量 能由向量组 1, 2, 3线性表示，且表示法不唯一， 此时方程组x1 x2 x3 1的通解为

TTT

x k1 1,1,0 k2 1,0,1 1,0,0 ,k1 R,k2 R.

因此 k1 k21 k 1 1

2

k ,其中23

k,1k。 R2

22

六.(12分)设三元二次型f(x1,x2,x3) x12 2x2 3x3 2x1x2 2x2x3,试求一个

可逆线性变换x Py的将此二次型化为规范型.

1 10

121解 依题意知，所给的二次型的矩阵为A . 01 3

1 10 1

121 0

A 01 3 0因

E100 1

010 0 001 0

01

1110

0 1 1 0 3 0 0 10 0 1 0

01

0110

1 0 0

0 0

4 1 1 0 1

1

0

010110

0 0 1 1

2 ， 1 2 1 2

1

11 2

11

令P 01 ,則P .

2 2

1 00 2

故x Py是可逆的线性变换，且f的规范型为f y1 y2 y3.

2

2

2

七.(10分)令A为n阶正定矩阵，证明：（1）存在n阶实可逆矩阵P,使得A PTP;为（2）对任意n阶实可逆矩阵B，存在n阶可逆矩阵Q使得QTAQ与QTBQ均为对角矩阵.

证明 （1）因A为n阶正定矩阵，故A是实对称矩阵，且其特征值全部为整数。

依相关定理知，存在n阶正交矩阵，使得

1

2 U, A UT n

其中 i 0(i 1,2, ,n)是A的特征值.

令P

U,则P是n

阶实可逆矩阵，且A PTP,从而命题（1）得证。

（2）因A为n阶正定矩阵，故根据命题（1）知存在n阶实可逆矩阵P使得PTAP E. 而对任意n阶实可逆矩阵B, PTBP是n阶实对称矩阵，故有n阶正交矩阵C,使

得 PC BPC CTPTBPC ,其中 为对角矩阵。

同时 PC APC CTPTAPC E,因此Q PC即为所求.

T

T

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dcx4.html