自动控制原理(孟华)第3章习题解答

自动控制原理(孟华)的习题答案。

3.1.已知系统的单位阶跃响应为

c(t) 1 0.2e 60t 1.2e 10t

试求：（1）系统的闭环传递函数Φ(s)=？

(2) 阻尼比ζ=？无自然振荡频率ωn=？

解：（1）由c(t)得系统的单位脉冲响应为g(t) 12e 60t 12e 10t

(t 0)

(s) L[g(t)] 12

11600

12 2 s 10s 60s 70s 600

2

n

（2）与标准 (s) 2对比得： 2

s 2 n n

n 600 24.5，

702 600

1.429

3.2.设图3.36 (a)所示系统的单位阶跃响应如图3.36 (b)所示。试确定系统参数K1,K2和a。

(a) (b)

图3.36 习题3.2图

解：系统的传递函数为

K1

2 nK1K2s(s a)

W(s) K2 2 K2 2

K1s as K1s 2 n n

1

s(s a)

又由图可知：超调量 Mp

4 31

33

峰值时间 tp 0.1 s

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代入得

2

n K1 1 21

e

3

0.1 2 n K K2

解得：

ln3

2； 0.33， n

10 2

2

33.3，K1 n 1108.89，

a 2 n 2 0.33 33.3 21.98，K2 K 3。

3.3. 给定典型二阶系统的设计性能指标：超调量 p 5%，调节时间 ts 3s，峰值时间tp 1s，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。 解：设该二阶系统的开环传递函数为

2

n

G s

ss 2 n 2

0.05 p e

3

3 则满足上述设计性能指标： ts n

t 1 p2

n

得： 0.69， n 1 n

2

由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示：

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3.4.设一系统如图3.37所示。

(a)求闭环传递函数C(s)/R(s)，并在S平面上画出零极点分布图； (b)当r(t)为单位阶跃函数时，求c(t)并做出c(t)与t的关系曲线。

图3.37 习题3.4图

解： (a)系统框图化简之后有

C(s)2 s

2 R(s)s 0.5s 2.25

2 s

(s

35j)(s j)22

z1 2,s1,2

零极点分布图如下：

35j 2

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(b) 若r t 为单位阶跃函数，L r t

1

，则 s235)4

1s2

354

1C(s)

s

2 s

(s j)(s j)

22

s(s2

35

88s1818s2

35s35235s222

35(s2 )s2 s ()s ()

4422

c(t)

882 cost sint 35352235

大致曲线图略。

3.5.已知二阶系统的闭环传递函数为

2 nC(s)

2

R(s)s2 2 ns n

分别在下述参数下确定闭环极点的位置，求系统的单位阶跃响应和调整时间。  (1) =2， n=5s 1；  (2) 1.2， n=5s 1；

 (3) 说明当 ≥1.5时，可忽略其中距原点较远的极点作用的理由。 解：（1） ( =2)>1,闭环极点s1,2 n n 1 10 5

2

W(s)

C(s)25

2

R(s)s 20s 25

C(s) W(s)R(s)

251

2

s 20s 25s

T1

1

n( 2 1)

tT1

11

T2

5(2 )5(2 )

eee 5(2 3)te 5(2 3)t

c(t) 1 1

T21 1T12 16 436 4t

T2

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s1 1.34,s2 18.66|s2/s1| 13.9 5

e 5(2 3)t

c(t) 1 1 1.07735e 1.34t

6 43

ts 2.29s

（2） ( =1.2)>1,闭环极点s1,2 n n 1 6 50.44

2

W(s)

C(s)25

2

R(s)s 20s 25

T1

tT1

11

, T2

5(1.2 0.44)5(1.2 0.44)

t

T2

eee 5(1.2 0.44)te 5(1.2 0.44)t

c(t) 1 1

T21 1T12 11.2 0.441.2 0.44

1 1

1.2 0.441.2 0.44

s1 6 50.44 2.68,s2 9.32

ts

1

(6.45 1.7) (6.45 1.2 1.7) 1.2s n5

2

1

（3）答： 1.5时，s1,2 n n 1 7.5 5.25。s1 1.91，

s2 13.09，|s2/s1| 6.85 5，两个闭环极点的绝对值相差5倍以上，离原点较远的极点

对应的暂态分量初值小、衰减快（是距离虚轴较近的极点暂态分量衰减速度的5倍以上），因

此可以忽略掉。

2 n

3.6.设控制系统闭环传递函数为G(s) 2，试在S平面上绘出满足下列各2

s 2 ns n

要求的系统特征方程式根可能位于的区域：

(1) 1> ≥0.707， n≥2 (2) 0.5≥ >0，4≥ n≥2

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 (3) 0.707≥ >0.5， n≤2

3.7.一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，

图3.38 习题3.7图

1200r/min的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2s，试求电机传递函数。

提示：注意

(s)K

=，其中 (t) d ，单位是rad/s

dtV(s)s a (s)K

=可得 V(s)s a

解： 由式

(s)

KK1010KV(s) s as asa

11

s(s 1)a

10K11

( ) ass a

10K at

(t) (1 e) 0(1 eT)

a

t

(1.2) 0(1 e 1.2a) 0.5 0(1 e 1.2a) 0.5

a

ln2

0.58 1.2

10K

0 1200rmin 20r/s ak

a 00.58 20

1.16 1010

电机传递函数为：G(s)

(s)K1.16 V(s)s(s a)s(s 0.58)

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3.8.系统的特征方程式如下，要求利用劳斯判据判定每个系统的稳定性，并确定在右半s平面其根的个数及纯虚根。

(1) s 3s 3s 2s 2 0 (2) 0.02s3 0.3s2 s 20 0

(3) s5 2s4 2s3 44s2 11s 10 0 (4) 0.1s4 1.25s3 2.6s2 26s 25 0 答案：

（1）劳斯表如下：

4

3

2

s4s3s2s1s0

13322

2 72

劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （2）劳斯表如下：

s3s2s1s0

0.0210.320

320

劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （3）劳斯表如下：

s5s4s3s

2

12 20510

2610

11

4410

s1s0

劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （4）劳斯表如下：

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s4s3s2s1s0

0.12.6251.25260.52

25

劳斯表第一列元素符号没有变化，所以系统有两个正根，系统稳定

3.9.有一控制系统如图3.39所示，其中控制对象的传递函数是

1

G(s)

s(0.1s 1)(0.2s 1)采用比例控制器，比例增益为Kp ，试利用劳斯判据确定Kp值的范围。



图3.39 习题3.9图

解：G(s)

Kp

s(0.1s 1)(0.2s 1)

3

2

特征方程为：D(s) 0.002s 0.3s s Kp 0 劳斯表如下：

s3s2ss

10

0.0020.3

0.3 0.002Kp

0.3Kp

1Kp

0.3 0.002Kp 0

要使系统稳定只需 ，解得 0 Kp 150。 0.3

Kp 0

3.10.某控制系统的开环传递函数为 G(s)H(s)

K(s 1)

s(Ts 1)(2s 1)

试确定能使闭环系统稳定的参数K、T的取值范围。 解：由系统开环传函可知

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D(s) s(Ts 1)(2s 1) K(s 1) 2Ts (2 T)s (K 1)s K 0

劳斯表如下：

3

2

s3s2s1s0

2T2 T

2K (1 K)T 2

2 TK

K 1K

由劳斯准则可知，欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变。若第一列元素均大于0，即

T 0

2 T 0

2K (1 K)T 2 0 K 0

解得

K 0，2(K 1) (K 1)T

当K>1时0 T

2(K 1)

，当0 K 1时,T 0。

K 1

3.11.设单位反馈系统的开环传递函数分别为 K*(s 1)

 (1) G(s)

s(s 1)(s 5)K*

(2) G(s)

s(s 1)(s 5)

试确定使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围（注意K≠K*） 解：(1) D(s) 0.2s 0.8s (K 1)s K 0

3

2

s3

劳斯表如下：

0.20.83K 44K

K 1K0

s2s

1

s0

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解得：使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围K

(2) D(s) 0.2s3 0.8s2 s K 0

4。 3

由于特征方程出现小于零的系数，可知无论开环增益Ｋ取何值闭环系统都不稳定。  3.12.设单位反馈系统的开环传递函数为

K

G(s)

s(1 s/3)(1 s/6)若要求闭环特征方程的根的实部均小于-１，问Ｋ值应取在什么范围?如果要求实部均小于 2，情况又如何?

解：由反馈系统的开环传函

G(s)

K18K

ss

s(1 )(1 )s(s 3)(s 6)

36

D(s) s3 9s2 18s 18K 0

（1）令s z 1,得：劳斯表如下：

D(z) (z 1)3 9(z 1)2 18(z 1) 18K z 6z 3z 18K 10 0

3

2

z3z2z1z0

13

618K 10

28 18K

618K 10

欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变，大于零：

28 18K 0514

得 K

99 18K 10 0

（2）令s z 2,得：

D(z) (z 2)3 9(z 2)2 18(z 2) 18K z 3z 6z 18K 8 0

3

2

如果要求实部均小于 2，由特征方程可见，a2 6 0，系统稳定的必要条件不成立，无论K取何值，系统都不稳定。

3.13.单位反馈系统的开环传递函数为G(s)

4s(s2 2s 2)

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(1) 求系统的单位阶跃响应；

 (2) 输入信号为r(t) =1(t)，求系统的误差函数e(t)；（缺答案） （3）能否求系统的稳态误差，为什么？ 解：（1） 开环传递函数G(s)

4

s(s2 2s 2)

闭环传递函数 W(s) 单位阶跃响应

44

22

s(s 2s 2) 4(s 2)(s 2)

C(s)

K2s K3K141K0

ss 2(s2 2)(s 2)ss2 2

1

K0 1，K1

32

K2 K3

3

112s 11112s22

C(s) 2 2 2

ss 23s 2s3s 23s 23s 2

122

c(t) 1 e 2t cos2t sin2t

333

（3）不考虑扰动作用

r(t) 1(t)

G(s)

2

2

s(0.5s s 1)

Kp limG(s)

s 0

essr

11

01 Kp1

3.14.某控制系统的结构图如图3.40 所示。

(1) 当a=0时，试确定系统的阻尼比ζ，无阻尼自然振荡频率ωnn和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。

自动控制原理(孟华)的习题答案。

(2) 当系统具有最佳阻尼比（ζ=0.707）时，确定系统中的a值和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。

(3) 若要保证系统具有最佳阻尼比（ζ=0.707），且稳态误差等于0.25时，确定系统中的a值及前向通道的放大系数应为多少？ 解：(1) 当a=0时，G(s)

图3.40 习题3.14图

8821

，W(s) 2， n ，

s 2s 8s(s 2)2 nKv limsG(s) 4，单位斜坡信号作用时系统的稳态误差essr

s 0

1

0.25。 Kv

(2) 当ζ=0.707时，G(s)

88

，W(s) 2， n ，

s(s 2 8a)s (2 8a)s 8

2 n 2

28

，Kv limsG(s) 2， 4 2 8a，得a 0.25，G(s)

s 0s(s 4)2

1

0.5。 Kv

单位斜坡信号作用时系统的稳态误差essr

(3) 此时G(s)

KK

，W(s) 2

s(s 2 Ka)s (2 Ka)s K

Kv limsG(s)

s 0

K

4

2 Ka

2 n 2

联立上两式解得

2

K 2 Ka 2

3。 16

K 32，a

3.15．已知单位反馈系统闭环传递函数为

b1s b0C(s)

4 R(s)s 1.25s3 5.1s2 2.6s 10

(1) 求单位斜坡输入时，使稳态误差为零，参数b0,b1应满足的条件；  (2) 在(1)求得的参数b0,b1下，求单位抛物线输入时，系统的稳态误差。 解：（1）等效单位负反馈开环传递函数

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G(s)

b1s b0

432

s 1.25s 5.1s (2.6 b1)s 10 b0

根据单位斜坡输入时，稳态误差为0得：

b0 102.6s 10

即开环传递函数为 G(s) 22

b 2.6s(s 1.25s 5.1) 1

（2）单位抛物线输入时

s2(2.6s 10)10

Ka limsG(s) lim22

s 0s 0s(s 1.25s 5.1)5.1

2

e

ssr

C5.1

Ka10

3.16.系统结构图如图3.41 所示。

 (1) 当r(t) = t， n(t) = t时，试求系统总稳态误差

(2) 当r(t) = 1(t)，n(t) = 0时，试求 p,tp。

图3.41 习题3.16图

解：（1）

参考作用下的误差传递函数为

N(s) 0,Er(s)

1

R(s)

1 G(s)

141

s(2s 1)

R(s)

稳态误差为

essr

或

2s2 s1

limsEr(s) lims 2 2 0.25 s 0s 02s s 4s

Kv limsG(s) lims

s 0

s 0

4

4

s(2s 1)

essr

1 0.25Kv

扰动作用下的误差传递函数为

自动控制原理(孟华)的习题答案。

R(s) 0,En(s)

1

N(s)

1 G(s)

11

s(2s 1)

N(s)

稳态误差为

essn

2s2 s1

limsEn(s) lims ( 2) 2 0.25 s 0s 02s s 4s

系统总误差为

ess essr essn 0

（2）当r(t) = 1(t)，n(t) = 0时，G(s)

4，

s(2s 1)

n2G(s)42

W(s) 2 2 2

2

1 G(S)2s s 4s 0.5s 2s 2 ns n

n 2

解得： 1

42

1

2

p e

tp

100% e

31

n 2

2

1

32

4

31

3.17.设单位反馈控制系统的开环传递函数为

100

 G(s) 

s(0.1s 1)

试求当输入信号r(t)=1 2t t2时，系统的稳态误差。 解：系统为I型系统

Kv limsG(s) lims

s 0

s 0

100

100，Kp ,Ka 0

s(0.1s 1)

自动控制原理(孟华)的习题答案。

ess

ABC

0 0.02

1 KpKvKa

3.18.在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图3.42（a）、（b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。

(a) (b)

图3.42 习题3.18图

（1） 若r(t) 1(t)，n(t) 0两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？

（2） 当有阶跃扰动n(t) 0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。 解：（1）

1

R s

10s 1

达到稳态温度值的62.3%需时T 10

1

R s 闭环：C s

0.1s 1

达到稳态温度值的62.3%需时T 0.1

开环：C s （2）

1

N s

10s 1

1

N s 闭环：C s

10s 100

开环：C s

各项指标不变。

又解：can(t)=0.1，加干扰后对系统始终有影响；

cbn(t)=0.1e-10t，加干扰后，当t趋于无穷时，对系统没有影响。 结论：反馈结构可以消除干扰的影响。

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