统计讲义

近似数、有效数字、科学计数法

【要点提示】

1、科学记数法的定义：把一个大于10的数记成a?10的形式的方法（其中a

n是 整数位只有一位的数且这个数不能是0）。负整数指数幂：当a?0，n是正整数时，a?n?1/an

2、近似数：接近真实数值的一个数。

（1）．在近似数的计算中，分清准确数和近似数是很重要的，它是决定我们用

近似计算法则进行计算，还是用一般方法进行计算的依据． （2）．产生近似数的主要原因：

a.“计算”产生近似数．如除不尽，有圆周率π参加计算的结果等等； b.用测量工具测出的量一般都是近似数，如长度、重量、时间等等；

c.不容易得到，或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如人口普查的结果，就只能是一个近似数； d.由于不必要知道准确数而产生近似数．

3、有效数字：对于一个数来说：从左边起第一个不是0的数字起，到它的末位止，中间所有的数字都叫做这个数的有效数字。 对于用科学记数法表示的数a?10，规定它的有效数字就是a中的有效数字。 在使用和确定近似数时要特别注意：

（1）一个近似数的位数与精确度有关，不能随意添上或去掉末位的零。 （2）确定有效数字时一定要弄清起始位置和终止位置，初学时可分别做上记

号，以免出错。 （3）求精确到某一位的近似值时，只需把下一位的数四舍五入，而不看后面

各数位上的数的大小。

n统计初步与概率初步

考点一、平均数 目标：会求一组数据的平均数与加权平均数 我们常用平均数（算术平均数）表示一组数据的“平均水平”。

在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”，这样的平均数叫做加权平均数。

1、平均数的概念

（1）平均数：一般地，如果有n个数x1,x2,?,xn,那么，叫做这n个数的平均数，x读作“x拔”。

x?1(x1?x2???xn)n（2）加权平均数：如果n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，?，xk出现fk次（这里f1?f2??fk?n），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为

f1,f2,?,fk叫做权。

x?x1f1?x2f2??xkfkn，这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中

2、平均数的计算方法

（1）定义法

1x?(x1?x2???xn)当所给数据x1,x2,?,xn,比较分散时，一般选用定义公式：n （2）加权平均数法：

xf?x2f2??xkfkx?11n当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，

其中f1?f2??fk?n。

例如；你的小测成绩是80分，期末考成绩是90分，老师要计算总的平均成绩，就按照小测40%、期末成绩60%的比例来算，所以你的平均成绩是：80×40%+90×60%=86

学校食堂吃饭，吃三碗的有 χ 人，吃两碗的有 y 人，吃一碗的 z 人。平均每人吃多少？(3×χ + 2×y + 1×z)÷(χ + y + z)

（3）新数据法：

当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：x?x'?a。 其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x'1?x1?a，

x'2?x2?a，?，x'n?xn?a。

把x1,x2,?,xn,叫做原数据，x'1,x'2,?,x'n,叫做新数据）。 考点二、统计学中的几个基本概念 （4分） 1、总体

x'?1(x'1?x'2???x'n)n是新数据的平均数（通常

所有考察对象的全体叫做总体。 2、个体

总体中每一个考察对象叫做个体。 3、样本

从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、样本容量

样本中个体的数目叫做样本容量。 5、样本平均数

样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 6、总体平均数

总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。

考点三、众数、中位数 目标：能选用适当的数表示平均水平 1、众数

在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 2、中位数

将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

（1）一般地，个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 （2）平均数、中位数、众数（数据的“三个代表”）的特征：

平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的“平均水平”。

计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但它易受极端值的影响。

中位数的优点是计算简单，受极端值的影响较小，所以当一组数据中个别数据的变化较大时，可用中位数来描述“平均水平”，但不能充分利用所有数据的信息。

一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量。但各个数据重复的次数大致相等时，众数往往没有特别意义。

考点四、方差 （3分） 1、方差的概念

在一组数据x1,x2,?,xn,中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“s”表示，即

1s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]n 2、方差的计算 （1）基本公式：

21[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]n （2）简化计算公式（Ⅰ）：

2122s2?[(x12?x2???xn)?nx]n

2122s2?[(x12?x2???xn)]?xn也可写成 s2?此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。

（3）简化计算公式（Ⅱ）：

2122s2?[(x'1?x'2???x')?nx']2nn 当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x'1?x1?a，

x'2?x2?a，?，x'n?xn?a，那么，

此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。 （4）新数据法：

原数据x1,x2,?,xn,的方差与新数据x'1?x1?a，x'2?x2?a，?，x'n?xn?a的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得x'1,x'2,?,x'n,的方差就等于原数据的方差。 3、标准差

方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即

1s?s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]n

极差

考点五、频率分布 （6分） 1、频率分布的意义 在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。

2、研究频率分布的一般步骤及有关概念 （1）研究样本的频率分布的一般步骤是： ①计算极差（最大值与最小值的差） ②决定组距与组数 ③决定分点 ④列频率分布表

⑤画频率分布直方图

（2）频率分布的有关概念 ①极差：最大值与最小值的差

②频数：落在各个小组内的数据的个数 ③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。 考点六、确定事件和随机事件 （3分） 1、确定事件

s2?2122[(x'1?x'2???x')]?x'2nn

必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。

不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。

2、随机事件：

在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。 考点七、随机事件发生的可能性 （3分） 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。 考点八、概率的意义与表示方法 （5~6分） 1、概率的意义

n一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。 2、事件和概率的表示方法

一般地，事件用英文大写字母A，B，C，?，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P

考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系 （3分） 1、确定事件概率

（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1 （2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小

0 1概率的值

不可能发生 必然发生 事件发生的可能性越来越大 考点十、古典概型 （3分） 1、古典概型的定义

某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。 2、古典概型的概率的求法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，

m事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=n

考点十一、列表法求概率 （10分） 1、列表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 2、列表法的应用场合

当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地

列出所有可能的结果，通常采用列表法。 考点十二、树状图法求概率 （10分） 1、树状图法

就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

2、运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 考点十三、利用频率估计概率（8分） 1、利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。 3、随机数

在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。

【典型例题】

例1：下例四舍五入得到得近似数，各精确到哪一位，有哪几个有效数字？

52.30?10（1）43．8 （2）0．03086 （3）2．4万（4）2．50（5）0．0010（6）

例2．以下问题中的近似数是哪些，准确数是哪些？

（1）某厂1994年产值约2000万元，约是1988年的6．8倍。

（2）甲班有学生52人，平均身高约1．58米，平均体重约为52．4千克。 （3）我国人口约有12亿， （4）π的近似值约为3．14

例3．用四舍五入法按括号内要求对下列各数近似值

（1）0．85149（精确到千分位）， （2）47．6（精确到个位） （3）1．5972（精确到0．01）， （4）0．02067（保留3个有效数字） （5）64340（保留1个有效数字） （6）60304（保留2个有效数字）

例4．用科学记数法记出下列各数:

(1)1 000 000； (2)57 000 000； (3)123 000 000 000

例5．某城市有500万人口，若平均每3.3人为一个家庭，平均每个家庭每周丢

弃5个塑料袋，一年将丢弃多少个塑料袋？若每1 000个塑料袋污染1 m2土地，那么该城市一年被塑料袋污染的土地是多少？(保留两个有效数字)

数据分析

1．为了判断甲乙两个小组学生英语口语测验成绩哪一组整齐，通常需要知道两组 成绩的

A、平均数 B、方差 C、众数 D、频率分布 （ ） 2．有40个数据，其中最大值为35，最小值为12，若取组距为4，则应分为（ ） A． 4组 B． 5组 C． 6组 D． 7组

3．五箱苹果的质量分别为（单位：千克）：18，20，21，22，19．则这五箱苹果质量的平均数和中位数分别为（ ）．

A. 19和20 B. 20和19 C. 20和20 D. 20和21

4．甲、乙两人5次射击命中的环数如下： 甲 乙 7 7 9 8 8 9 6 8 10 8

则以下判断中正确的是( )

A．x甲＝x乙，S甲2＝S乙2 B．x甲＝x乙，S甲2＞S乙2

C．x甲＝x乙，S甲2 ＜S乙2 D．x甲＜x乙，S甲2＜S乙2

5．某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表：则这些队员年龄的众数和中位数分别是【 】

6．某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x甲=610千克，x乙=608千克，亩产量的方差分别是S2甲=29. 6，

S2乙=2. 7.

则

关于两种小麦推广种植的合理决策是 【 】 （A）甲的平均亩产量较高，应推广甲

（B）甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广

（C）甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲

（D）甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙

7．数据4，2，6的中位数和方差分别是

884A．2，3 B．4，4 C．4，3 D．4，3

8．我市某一周的每一天的最高气温统计如下表： 最高气温（℃） 25 26 27 28 天数 1 1 2 3 则这组数据的中位数是 ，众数是 ．

9． 数据 -1，x，0，1，-2的平均数是0，这组数据的标准差为 . 10.若由2、3、x、8组成的这组数据的极差为7，则x= 。

11．某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了他们做1min仰卧起坐的次数，并制成了如图所示的频数分布直方图，根据图示计算仰卧起坐次数在25～30次的频率是（ ）．

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