概率作业集（工科完整版）

概率论与数理统计（理工类）作业 班级： 学号： 姓名：

§1.1 随机事件 §1.2 样本空间、随机事件

一、用集合的形式表示下列随机试验的样本空间与随机事件A

1.在平整的桌面上随机抛骰子，观察出现的点数，设事件A表示“骰子的点数是奇数”，则样本空间

??{ }，A?{ }。

2.观察某呼叫台一个昼夜接到的呼叫次数，设事件A表示“一个昼夜接到的呼叫次数小于2次”，则样 本空间??{ }，A?{ }。

3.对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数，事件A表示“射击次数不超过3次”，则样 本空间??{ }，A?{ }。

二、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件： （1）A，B，C都发生： （2）A，B，C都不发生： （3）A发生，B与C不发生：

（4）A，B，C中至少有一个事件发生： （5）A，B，C中至少有两个事件发生： （6）A，B，C中恰有一个事件发生：

三、若事件A，B，C满足等式A?C?B?C，问A?B是否成立？若成立，请证明；若不成立，请

举反例说明。

1

概率论与数理统计（理工类）作业集

§1.3 频率与概率

一、选择题

（1）设A与B是两个对立事件，且P(A)?0,P(B)?0，则下列正确的是（ ）。 （A）P(A)?P(B)?1 （B）P(AB)?1 （C）P(AB)?P(A)P(B) （D）P(A)?P(B) （2）设A, B为两个互不相容的随机事件，则下列正确的是（ ）。

（A）A与B互不相容 （B）P(A)?1?P(B) （C）P(AB)?P(A)P(B) （D）P(A?B)?P(A)?P(B) （3）设A、B是任意两事件，则P(A?B)?（ ）。

（A）P(A)?P(B) （B）P(A)?P(B)?P(AB)

（C）P(A)?P(AB) （D）P(A)?P(B)?P(AB)

二、已知P(A?B)?0.8，P(A)?0.5，P(B)?0.6，求P(AB)，P(AB)，P(A?B)。

三、设A，B为随机事件，且P(A)?0.7，P(A?B)?0.3，求P(AB)。

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§1.4 等可能概型（古典概型）

1.一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。

2. 某寝室住有6名学生，求至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率。

3. 将一枚骰子重复掷n次，求掷出的最大点数为5点的概率。

4. 从0到9这10个数字中不重复的任取4个数排成一行，求能排成一个四位奇数的概率。

3

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5. 将8名乒乓球选手分为两组，每组4人，求甲、乙两位选手不在同一组的概率。

6．将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，求3个空格相连的概率。

7. 10人中有一对夫妇，他们随意的坐在一张圆桌旁，求该对夫妇正好坐在一起的概率。

8．两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设两艘轮船停靠泊位的时间分

别为1h和2h，求有一艘轮船停靠泊位时需要等待一段时间的概率。

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§1.5 条件概率

一、已知P(A)?0.5，P(B)?0.6，P(BA)?0.8，求P(AB)。

二、有人来访，他坐火车、汽车和飞机的概率分别为0.4，0.5，0.1，若坐火车，迟到的概率是0.1，若坐汽车，迟到的概率是0.2，若坐飞机则不会迟到，求他迟到的概率。

三、按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可 能考试不及格，据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：考试及格的学生有多大可能是不努力学 习的人？

四、某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次 品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率。

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§1.6 独立性

一、选择题：

（1）设P(A)?0.8，P(B)?0.7，P(AB)?0.8，则下列结论正确的是（ ）。 （A）B?A （B）P(A?B)?P(A)?P(B) （C）事件A与事件B相互独立 （D）事件A与事件B互逆

（2）设0?P(A)?1，0?P(B)?1，P(AB)?P(AB)?1，则（ ）。 （A） 事件A与B互不相容 （B）事件A与B互逆 （C） 事件A与B不相互独立 （D）事件A与B相互独立 二、已知P(A)??，P(B)?0.3，P(A?B)?0.7，

（1）若事件A与B互不相容，求?；（2）若事件A与B相互独立，求?。

三．一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为8081，求此射手每次射击的命中率。

四、加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02，0.03，0.05，0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率。

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§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量

一、填空题

（1） 设随机变量X只能取0，1，2，且X取这些值的概率依次为

151，则ｃ＝ 。 ,,2c4c4c（2）一批产品共100个，其中有10个次品，以X表示任意取出的2个产品中的次品数，则X的分布律

为 。（用一个表达式表示）

(3) 某射手对一目标射击，直至击中为止，如果每次射击命中率为p（0

则X的分布律为 。（用一个表达式表示） 二、解答题

1. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律。（列表格表示）

2.某楼有供水龙头5个，调查表明每一龙头被打开的概率为

3.设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,求该市在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？

4. 已知在5重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}。

1，求恰有3个水龙头同时被打开的概率。 107

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§2.3 随机变量的分布函数

一、单项选择题

（1）下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是（ ）。

(A)F(x)?1?1x2 (B)

F(x)?112??arctanx ?1 (C) F(x)???2(1?e?x),x?0?ln(1?x) (D) F(x)???1?x,x?0

??0,x?0??0,x?0

二、解答题

1.设随机变量X的分布函数为F(x)???A(1?e?x)，x?0, 试求:（1）系数A；（2）P?1?0，x?0?X?3?。

2.设随机变量X的分布律为:

X 0 1 2 3 pk 116 316 12 14 （1）求X的分布函数F(x)；（2）求概率P?X?2?。

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§2.4 连续型随机变量

一、单项选择题

1. 设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度，则必有（ ）。 (A)f(x)单调不减 (B)

?????F(x)dx?1 （C）F(??)?0 (D)F(x)??f(x)dx

????2. 设A是随机事件，则“P(A)?0”是“A是不可能事件”的（ ）。

(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 二、填空题

?e?x,x?011. 随机变量X的概率密度为f(x)??，若P{X?C}?，则C? 。

2?0,x?02. 已知X~N(10,32)，P{X??}?0.67，则?? 。 3.设随机变量X的概率密度为f(x)???2x,??0?x?1 ，记Y表示对X的三次独立重复观察中事件

?0,???其他{X?12}出现的次数，则P{Y?2}= 。

三、解答题

?kx2,?1?x?2,1. 设随机变量X的概率密度为f(x)??，求（1）常数k；（2）X的分布函数F(x)。

其它,?0,

?2/x3,x?1,2.设某河流每年的最高洪水水位(m)具有概率密度f(x)??，现要修能够防御百年一遇的洪

x?10,?水（即遇到的概率不超过0.01）的河堤，问河堤至少要修多高？

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3. 设K在(0，5)内服从均匀分布, 求方程4x

2?4Kx?K?2?0有实根的概率。

?1000?，x?10004. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度 fX(x)??x2， 现有一大批

??0，其他此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？

5.将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，液体的温度X（以C记）是一个随机变量， （?(2.5)?0.9938，其中?(x)表示标准正 X~N(90,0.42),求液体的温度X保持在89?~91?C的概率。态分布的分布函数）

10

?

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§7.4 区间估计 §7.5 正态总体均值与方差的区间估计

1.某批钢球的重量X~N(?,4),从中抽取了一个容量为n?16的样本且测得x?22.5,s?3.98（单位:g），试在置信度1???0.95下，求出?的置信区间.

2. 设有一组来自正态总体N(?,?2)的样本观测值：

0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512，

2

⑴ 已知??0.01，求?的置信区间； ⑵ ?未知，求?的置信区间。（设置信度为0.95）

3. 某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布，现从这批金属材料中抽取11个测试件，测得它们的抗弯强度为（单位：kg）：42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7 求：抗弯强度标准差?的置信度为0.90的置信区间.

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§7.6（0-1）分布参数的区间估计 §7.7 单侧置信区间

1.从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损试验， 直至轮胎磨损到破坏为止，测得它们的行驶路程（km）如下：

41250 41010 42650 38970 40200 42550 43500 40400 41870 39800

设汽车轮胎行驶路程服从正态分布N(?,?2)，求： （1） ?的置信水平为95%的单侧置信下限； （2） ?2的置信水平为95%的单侧置信上限.

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第八章 假设检验

1. 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55，0.1082)，现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果方差没有变化，可否认为现在生产之铁水平均含碳量仍为4.55(取a?0.05)？

2. 有一批枪弹，出厂时测得枪弹射出枪口的初速度V服从N(950,?)(单位:m/s)，在储存较长时间后取出9发进行测试，得样本值:914、920、910、934、953、945、912、924、940. 假设储存后的枪弹射出枪口的初速度V仍服从正态分布，可否认为储存后的枪弹射出枪口的初速度V已经显著降低(取

2??0.05)?

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3. 某批导线的电阻R~N(?,0.0052)(单位:?)，从中随机地抽取9根，测得其样本标准差s?0.008?，

可否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?(取??0.05)？

24.机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从X~N(?,?)正态分布，规定每袋标准重量为??1kg,方差

?2?0.022。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单

位：kg）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值为

9x?0.998，标准差s?0.032，?(xi?x)2?0.008192，

i?1问：(1)在显著性水平??0.05下，这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异？

(2) 在显著性水平??0.05下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？

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§4.1 数学期望

1．设X的分布律为：

求（1）E(X)；（2）E(X2)。

2．设(X,Y)的联合分布律为：

已知E(X2?Y2)?2.4，求常数a,b之值。

?kxa,0?x?1;3. 设X的概率密度为f(x)?? 其中k，a?0，又已知E(X)?0.75，求k，a的值。

其它.?0,

?a3?1?3,x?a4. 设X的分布函数为F(x)??，其中a?0，求E(X)。 x?x?a?0,

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5.设(X,Y)服从在A上的均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x?y?1?0所围成的区域，求

E(?3X?2Y)。

6. 国际市场每年对我国某种商品的需求量X是一个随机变量，它在[2000,4000](单位：吨)上服从均匀分布，若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元，问应组织多少货源，才能使期望收益最大。

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§4.2 方差

一、单项选择题

（1）对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?E(X)?E(Y)，则（ ）。

(A) D(XY)?D(X)?D(Y) (B) D(X?Y)?D(X)?D(Y) (C) X和Y独立 (D) X和Y不独立 （2）设X~?(?)，且E?。 ?(X?1)?X?2????1，则?=（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0

（3）设X,?Y相互独立且X~N(7,?9)，Y~N(3,?4)，则2X?Y服从下列哪个分布（ ）。

? (B) N(11,?32) （C）N(11,?40) (D) N(11,?4) (A) N(11,14)

二、填空题

（1）已知X~N(?2,0.42)，则E(X?3)2＝ 。

2（2）设E(X)?4，E(X)?18，则D(2X?5)? 。

（3）设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则D(3X?Y)? 。 （4）设X的概率密度为f(x)?1?e?x2?2x?1，则D(X)＝ 。

2（5）设随机变量X1,X2,X3 相互独立，其中X1~U?0,6?,X2~N(0,2),X3服从参数为?=3的泊松分

布，记Y?X1?2X2?3X3，则D(Y) = 。 （6）设X~?(?)，且P{X?1}?P{X?2}，则E(X)? 。

（7）设X~B(n,?p)，且E(X)?12，D(X)?8，则n? ,p? 。

（8）设E(X)?2,?D(X)?4，则由切比雪夫不等式知P{|X?2|?4}? 。

三、解答题

1. 在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计：在1000次试验中，事件A发生

的次数X在400～600之间的概率.

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?ax2?bx?c，0?x?12. 已知随机变量X的密度函数为f(x)??又已知E(X)?0.5,D(X)?0.15，

0，其他?求a,b,c。

3. 设(X,Y)的概率密度为f(x,y)???12y2,?0,

0?y?x?1其它, 求D(X)，D(Y)。

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§4.3 协方差与相关系数

一、单项选择题

（1）设X与Y的相关系数??0，则（ ）。

(A) X与Y相互独立 (B) X与Y不一定相关 (C) X与Y必不相关 (D) X与Y必相关

（2）设X与Y的期望和方差存在，且D(X?Y)?DX?DY,，则下列说法不正确的是（ ）。 (A) D(X?Y)?DX?DY (B) E(XY)?EX?EY (C) X与Y不相关 (D) X与Y独立

（3）设X,?Y是随机变量，则“X与Y不相关”是“X与Y相互独立”的（ ）。

(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 （C）充要条件 (D) 无关条件 二、解答题

1. 已知随机变量X与Y都服从二项分布B(20，0.1)，并且X与Y的相关系数?XY=0.5，试求X?Y的

方差及X与2Y?X的协方差。

2. 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为：f(x,y)=?② E?XY?及Cov(X,Y)。

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?k,0?x?1,0?y?x，求：① 常数k；

其他?0,

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§4.4 矩、协方差矩阵

1.设随机变量X在区间(a,b)上服从均匀分布，求k阶原点矩和三阶中心矩。

2. 已知随机变量X~N(1,9),Y~N(0,16),且X与Y的相关系数为?XY?0.5.（1）求随机变量

Z?

XY?的数学期望和方差 ；（2）求随机变量X与Z的相关系数?XZ。 3226

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§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理

1. 设供电网有1000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比

雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。

2. 利用中心极限定理确定当投掷一枚均匀硬币时，需投掷多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4到

0.6之间的概率不小于90%。

3. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，

它取1元, 1.2元, 1.5元各值的概率分别为0.3, 0.2, 0.5，若售出300只蛋糕，求收入至少为400元的概率。

4. 由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率都为90% ，为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整个系统能正常运行的概率。

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第六章 样本及抽样分布

一、填空题

（1）设X1,?,X6为总体X~N(0,1)的一个样本，Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2，且cY服从?2分布，则c? 。

（2）设X1,?,X7为总体X~N(0,0.5)的一个样本，则P(2?Xi?172i?4)? 。

22X12?X2???X10（3）已知X1,?,X15是取自N(0,?)的样本，则Y?~ 。 2222(X11?X12???X15)2

1n22二、设X1，?，Xn是来自正态总体N(?,?) 的样本,试求样本方差S??(Xi?X)的数学期

n?1i?1望及方差。

2

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§7.1 点估计 §7.3 估计量的评选标准

一、设总体X具有分布律 ：

X 1 2 3 p ?2 2?(1??) (1??)2 其中?(0???1)为未知参数，已知取得了样本值x1?1，x2?2，x3?1. 试求?的矩估计值和极大似然估计值。

二、设总体X服从正态分布N(0,1)，X1,X2是从此总体中抽取的一个样本．试验证下面三个估计量：

?1? （1）?211311?2?X1?X2， （3）??3?X1?X2都是?的无偏估计，并X1?X2， （2）?334422指出哪一个估计量最有效。

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三、 设总体X的概率密度为

?(??1)x?, f(x)???0,0?x?1,，

其它.X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量。

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