数学新视角

数学新视角——类比推理

（山坡高中 黄淑平）

类比推理,也称类比法,它属于逻辑知识范畴。类比法是人们研究、讨论问题,获得新知的重要方法之一。由于它比较简单、具体、容易理解和掌握,所以它在中学数学教学中常被采用。学生从小学升入中学后,开始学习初等数学。初等数学内容丰富,门类较多,如何使学生掌握好初等数学知识,是摆在每个数学教师面前的重要课题。在数学教学实践中我体会到,采用类比法,对于提高教学效果是十分有益的。一、类比法是认识事物的有力工具采用类比法教学,首先应该使学生认识和掌握什么是类比法。所谓类比法是根据两事物的某些相同属性 西方逻辑传统、中国逻辑传统和印度逻辑传统出发,简要考察类比推理的发展历程。 类比推理形式的丰富多样性;理性因素与非理性因素相结合;结论的或然性;适用范围的广泛性。 从逻辑学的角度对常见的类比形式进行分类。根据类比项对类比源的依赖程度,把类比推理分为归纳式类比和非归纳式类比。归纳式类比推理结论的得出是完全基于经验的,而非归纳式类比推理结论的得出并不完全基于经验,非归纳式类比推理是更纯粹意义上的类比推理。 类比推理的心理学基础是直觉;类比推理的逻辑基础是“类”和相似性;类比推理的认识论基础表现为两方面:类比作为认识的中介是以实践为基础的,类比主体也是在实践中建构自己的知识结构。 类比推理有助于形成创造性思维;类比推理是实现科学发现的重要途径;类比推理有助于填补法律漏洞;类比推理的解释作用和论证功能。 例题解析浅谈

排列组合中的类比推理

已知数列{an}（n为正整数）的首项为a1，公比为的q等比数列。（1）求和：

120123?a3C2;?2?a1C3?a2C3?a3C3?a4C3.（2）由（1）的结果，归纳概括出关?1?a1C20?a2C2于正整数n的一个结论，并加以证明。

【分析】本题由（1）的结论，通过大胆猜测，归纳猜想出一般性的结论：

01222（1）a1C2?a2C2?a3C2?a1?2a1q?a1q?a1(1?q),

a1C3?a2C3?a3C3?a4C3?a1?3a1q?3a1q?a1q?a1(1?q).

0123233（2）归纳概括的结论为：若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则

a1Cn?a2Cn?a3Cn?a4Cn???(?1)an?1Cn?a1(1?q).（证明略）

0123nnn评注 本题主要考查探索能力、类比归纳能力与论证能力，突出了创新能力的考查；通过抓住问题的实质，探讨具有共同的属性，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。 新定义、新运算中的类比

若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b?a?b2，则两边均含有运算

符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是 。 【分析】由于本题是探索性和开放性问题，问题的解决需要经过一定的探索过程，并且

答案不惟一。这题要把握住a*b?a?b2，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，

而且等式两边均含有运算符号“*”和“+”，则可容易得到a?(b*c)?(a?b)*(a?c).

正确的结论还有：(a*b)?c?(a*c)?(b*c),(a*b)?c?(b*a)?c等。

对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：AB?|x1?x2|?|y1?y2|.

给下列三个命题：

①若点C线段AB上，则AC?CB?AB;

2②在?ABC中，若?C?90°，则AC③在?ABC中，AC?CB?AB. 其中真命题的个数为（ ）

A. 0

B. 1

?CB2?AB2;

C. 2 D. 3

【分析】对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)定义它们之间的一种“距

离”： AB?|x2?x1|?|y2?y1|①若点C在线段AB上，设C点坐标为(x0,y0)，x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则

?AC?CB?x0?x1?y0?y1?x2?x0?y2?y0?x2?x1?y2?

y1?AB.

③在?ABC中，

AC?CB?x0?x1?y0?y1?x2?x0?y2?y0?(x0?x1)?(x2?

x0)?(y0?y1)?(y2?y0)?x2?x1?y2?y1?AB

∴命题①成立，命题③错误。而命题②在在?ABC中，若则AC2?CB2?AB2明

显不成立，选B。

设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b?P，都有a?b、a?b、ab、

ab?P（除数b?0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，数集

F?{a?b2|a，b?Q}也是数域。有下列命题：

①整数集是数域；

②若有理数集Q?M,则数集M必为数域；

③数域必为无限集；

④存在无穷多个数域。

其中正确的命题的序号是 。（把你认为正确的命题的序号都填上） 【分析】①错。4,5是整数，但

45?0.8,0.8不是整数。②错。设M由有理数集合Q和元素?组成，则1,??M，但是1??不属于M。③正确。设a、b?P，其中一个必定不等于零，设a?0，则a?a?0，所以0?P,aa?1所以1?P，所以

0?1??1,?1?1??2,?2?1??3,?.所有负整数都属于P，而负整数有无穷多个，所以③

正确。④正确。把数域F?{a?b2|a，b?Q}中的2改为3,5,7,?，仍是数域，有无穷多个。故应填③④。

结后语

老师教导学生不仅是简单地讲解知识，不能仅满足于让学生模仿性地解题更要让学生学会一种思考的方法，分析问题的能力、迁移解题的能力。定积分中求曲边梯形的面积,步骤为“无限分割－以直代曲－求和－取极限”,核心为“以直代曲”。在同学们探讨得出方法，理解思想方法之后，我给出思考题：“证明半球的体积为23 πR3”。同学们通过讨论想出了分割的多种方法，①底面与圆面平行的若干圆柱；②底面与圆面垂直的若干小半圆柱；③圆锥。在讨论中不断克服困难，以高昂的斗志深化、巩固了思想方法。在解题的过程中应要求学生不拘一格，以发散的思维来观察分析问题形式。问题情境发生了根本性的变化，两个对象在表面上毫无共同之处，但通过观察、创造条件，使两者存在共同点，这种类比不是一种简单的模仿，而是一种创造性，要想能顺利地引导、组织学生去运用类比的思想去发现新知和创新解题，教师作为组织者一定要具有完善的知识体系和深厚的专业基本功，否则怎能发现不同板块知识之间的内在联系，怎能有效组织好类比教学，展示数学的内在和谐美，展示数学知识的统一性。因此在平时的钻研中教师必须站在一定的高度去把握知识的结构、去研究透知识表象背后的思想方法，不能思维定势地去思考问题，对问题能有自己独到的见解，通过自身的努力夯实专业基本功应该说变式教学是中国教学中成功的环节，通过变式的教学让学生分析、提炼出不同表象后面相同本质的东西，通过长时间的潜移默化的影响培养学生分析问题的意识和能力，从而为进一步的主动类比提供可能。只有这样学生才会在遇到新的问题时站在一定的高度去认识、把握，才能有新的想法。通过教学发现，学生已有的知识水平对类比能否顺利实施开展起决定性作用，只有有了相关知识作为保障，才有“跳一跳摸得着”的可能。 教师在组织学生以类比的方式来学习探究新知的时候一定要注意所给材料和要探究知识之间一定要存在着形式、方法或思想等方面的联系，不能让学生的类比活动毫无头绪，变成无方向的一种所谓的探究，而不是真正意义上的类比。譬如学生可以用类比的思想利用等差数列的相关性质来推导等比数列的相关性质，但你不能要求学生利用等差数列的求和方法来类比探究等比数列的求和方法。类比虽然是一种大胆的猜想，但类比不能仅满足于猜想，停留在猜想到的东西，还要进行科学性的验证。只有我们意识到类比的教育教学价值，通过类比的教学方法去展示数学的知识，才能让学生拓展视野，以极大的热情去研究、学习数学，认识到数学世界的和谐统一，才能真正实现学生由“学会”到“会学”的转化。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dc63.html