数学论文-浅析初中学生数学能力的培养

浅析初中学生数学能力的培养

【论文摘要】: 数学在初中是比较难学的学科。不少学生都认为数学难

学，为什么难学呢？因为数学内容抽象，概念难记，公式难背，运算易错。因此不少学生从难学发展到不想学，害怕学。其实，学生之所以觉得数学难学是因为他们不具备相应层次的数学能力，因此，本人在数学教学中十分注重学生数学能力的培养。只要把学生学习数学的能力培养出来，他们的数学思维就会得到提升，从而真正打开“数学的大门”。

那么，数学到底有哪些基本能力，作为教学一线的数学教师又应如何去培养学生的数学能力呢？数学思想和数学方法是数学知识奠基性成分，是学生获得数学能力必不可少的。因此数学教师首先注重数学思想方法的训练。其次培养学生的概括能力，良好的数学思维品质，运算能力，应用能力及数学灵感。

【关键词】：思维品质； 概括能力；灵感；应用能力；运算能力

发展学生的数学能力,是数学学习目标的一个重要组成部分。数学学习的过程应该是数学能力不断得以发展与提高的过程。只要把学生学习数学的能力培养出来，他们的数学思维就会得到提升，学生才能学好数学，用好数学。那么，数学到底有哪些基本能力？作为教学一线的数学教师又应如何去培养学生的数学能力呢？笔者认为，数学教师至少应注重培养学生以下几个方面的能力。

一、数学思想方法的训练

数学教学不仅是数学知识的教学，更重要的是数学思想方法的教学。教学中教师应将数学思想方法的训练不断地渗透到数学教学中，将此作为教学的核心，才能使学生的数学能力得到不断提高。 ”数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，它反映了数学的本质特征，是对数学概念、原理和方法的本质认识，是分析和处理数学问题的指导思想。下面就数形结合、整体变换、分类讨论、转化与化归、逆变换、函数与方程等数学思想如何渗透到数学教学中进行探讨。 1、数形结合思想

数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。

例：如果函数y=f（x）满足f（a+x）=f（a－x），则f（x）的图像关于直线x=a对称。分析，证明函数图像的对称性，一般地可以转化为图像上点的对称性来处理；本题证明f（x）的图像关于直线x=a对称，可在f（x）的图像上任取一点P，证明P关于直线x=a的对称点Q也在该函数图像上即可。证明：在y=f（x）的图像上任取一点P（x,y），P点关于x=a的对称点为Q（2a－x,y），则f（2a－x）=f［a+（a－x）］=f［a－（a－x）］=f（x），故Q点坐标也满足y=f（x），故Q点也在该曲线上，因此可得：f（x）的图像关于直线x=a对称。

结合图形进行直观感知，一方面有助于理解和记忆函数的性质，另一方面有助于得到解题思路，获得快捷的解题方法 2、整体变换思想

整体变换思想是指将复杂的代数式或几何图形中的一部分看作一个整体进行变换，使问题简单化。

例：有一个六位数，它的个位数学是6，如果把6移至第一位前面时 所得到的六位数是原数的4倍，求这个六位数。

简析：设这个六位数的前五位数为x，那么这个六位数为：10x+8，整 体处理，问题就简单化了。 3、分类讨论思想

在解答某些数学问题时,有时会有多种情况,对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合求解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想。分类讨论应遵循的原则：分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏,不重复,分层次,不越级讨论。

当某个问题有多种情况出现或推导结果不唯一确定时，常运用分类讨论，再加以集中归纳。

例1:甲、乙两人骑自行车，同时从相距75km的两地相向而行，甲的速度为

15km/n，乙的速度为10km/n，经过多少小时甲、乙两人相距25km？ 简析：甲、乙两人相遇前后都会相距25km。分两种情况解答。

例2:在同一图形内，画出∠AOB=60°，∠COB=50°，OD是∠AOB的平分线，OE是∠COB的平分线，并求出∠DOE的度数。 简析：分∠COB在∠AOB的内部和外部两种情形总图。 4、转化与化归思想

转化与化归思想是指根据已有知识、经验，通过观察、联想、类比等手段，把问题进行变换，转化为已经解决或容易解决的问题。如二元一次方程组，三元一次方程组的解决实质就是化为解已经学过的一元一次方程。如果把若干个人之间握手总次数（单握）称为“握手问题”，那么像无三点共线的n个点之间连线；共端点射线夹角（小于平角的角）个数；一条线段上有若干个点形成的线段的条数；足球队之间单个循环比赛场次都可转化为“握手问题”。

例1：用同样长的火柴组成6个大小相同的正方形，最少要火柴 根。 简析：这6个大小相同的正方形可看作一个正方体的6个面，这样所 用火柴最少。（实际上就是正方体的12条棱）。

例2：用同样长的6根火柴棒摆大小相同的三角形，最多能摆多少个？ 简析：同样长的6根火柴棒可以看作正三棱锥的三条棱，那么最多能 摆四个三角形。 5、逆变换思想

逆变换思想是指对一些定义、定理、公式，法则的逆用和对解题思路的逆向分析。如加减、函数、通分与约分，去括号与添括号与均为互逆变换。 例1：当a= 时，|a－|a||=－2a

简析：采用逆向分析，例12先看绝对值结果，根据绝对值的非负性得：-2a≥0，则a≤0。

6、函数与方程思想

函数思想是指变量与变量之间的一种对应思想。方程思想则指把研究数学问题中已知量与未知量之间的数量关系，转化成方程或方程组等数学模型。当函数值为零时，函数问题就转化为方程问题。同样也可以把方程视为函数值为零时，求自变量的问题。

例1：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人700人，甲、乙两种工 种的工人的月工资分别为800元和1200元，现要求乙种工种的工人数不少于甲种工种人数的3倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

简析：建立函数关系式，确定自变量范围，利用一次函数单调性（增减性）解决问题。

总之，在数学教学中，切实把握好上述几个典型的数学思想方法，同时注重渗透的过程，依据课本内容和学生的认识水平，从初中开始有计划有步骤地渗透，使其成为由知识转化为能力的纽带，数学能力的法宝。

二、数学概括能力的培养

概括是思维的基础。学习和研究数学，能否获得正确的抽象结论，完全取决于概括的过程和概括的水平。数学的概括是一个从具体向抽象、初级向高级发展的过程，概括是有层次的、逐步深入的。随着概括水平的提高，学生的思维从具体形象思维向抽象逻辑思维发展。数学教学中，教师应根据学生思维发展水平和概念的发展过程，及时向学生提出高一级的概括任务，以逐步发展学生的概括能力。

在数学概念、原理的教学中，教师应创设教学情境，为学生提供具有典型性的、数量适当的具体材料，并要给学生的概括活动提供适当的台阶，做好恰当的铺垫，以引导学生猜想、发现并归纳出抽象结论。

教师设计教学情境时，首先，应当在分析新旧知识间的本质联系与区别的基础上，紧密围绕揭示知识间本质联系这个目的，安排猜想过程，促使学生发现内在规律；其次，应当分析学生已有数学认知结构与新知识之间的关系，并确定同化（顺应）模式，从而确定猜想的主要内容；再次，要尽量设计多种启发路线，在关键步骤上放手让学生猜想必须指出的是，概括能力的培养，不论采取何种教学方法（发现法或讲授法），关键是要有正确的教学思想，使学生真正成为学习的主体，把教学真正建立在学生自己的独立探索、思考、理解的基础上，真正给学生以独立探索的机会，使他们在学习过程中有充分的自由思想空间，使学生有机会经历数学概括的全过程。

但是，在教学实践中，要做到这些并不容易，教师对学生的学习能力往往并不完全信任，他们总怕学生出错，总怕学生会浪费时间，总想搀扶着学生，甚至不惜去代替学生思维。而这些做法与培养学生的数学概括能力的要求是背道而驰的，也是与数学学习的本来面目不相符合的。因此，在数学教学中，我们应当从数学概括的自身特点出发，在使用抽象的数学语言和符号表述数学定义、定理或原理之前，通过可观察的（实物、图形、图表等等）、描述性的、可亲身体验的形式来传播新的思想，从而引起学生的学习兴趣，促使他们自己去试验、构造，用他们自己的语言去阐述和解释，通过自己的独立思维活动来学习知识。要为学生创造一种环境，使他们在其中扮演自主活动的角色，有发挥自己的聪明才智进行创造性学习的机会，能自己去寻找需要的证据，获得能够反映自身特点的对数学原理的解释，在他们自己的水平上完成对数学原理的概括过程。我们应当把数学当作一种科学探索的过程（当然，它是在教师的指导下进行的），而不要把它当成是一种语言、一种高度抽象的理论。应当努力促使学生形成自己对数学的理解，并能用自己的语言来表达这种理解，而不要只是追求所谓的精确性。因为在学生的数学学习中，精确而没有理解，理解但不精确的现象都不少见。通过死记硬背而一字不差地重述一个定理，在任何时候都不能与理解一个定理划上等号。

三、良好思维品质能力的培养

发展学生的数学思维能力，优化学生的思维品质，提高学生的思维水平，是初中数学教学的一个重要任务。心理学家认为，培养学生的数学思维品质是发展数学能力的突破口。思维品质包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和创造性，它们反映了思维的不同方面的特征，因此在教学过程中应该有不同的培养手段。

数学的性质决定了数学教学既要以学生思维的深刻性为基础，教学中培养学生数学思维的深刻性，实际上就是培养学生的数学能力。数学教学中应当教育学生学会透过现象看本质，学会全面地思考问题，养成追根究底的习惯。对于那些容易混淆的概念，可以引导学生通过辨别对比，认清概念之间的联系与区别，在同化概念的同时，使新旧概念分化，从而深刻理解数学概念。通过变式教学揭示并使学生理解数学概念、方法的本质与核心。在解题教学中，引导学生认真审题，发现隐蔽关系，优化解题过程，寻找最佳解法等等。

数学思维的敏捷性，主要反映了正确前提下的速度问题。因此，数学教学中，一方面可以考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高，其适应的范围就越广泛，检索的速度也就越快。另外，运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且还有运算习惯以及思维概括能力的差异。因此，数学教学中，应当时刻向学生提出速度方面的要求，另外还要使学生掌握速算的要领。例如，每次上课时都可以选择一些数学习题，让学生计时演算；结合教学内容教给学生一定的速算要领和方法；常用的数字，如20以内自然数的平方数、10以内自然数的立方数、特殊角的三角函数值、无理数

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π、е、lg2、lg3的近似值都要做到“一口清”；常用的数学公式如平方和、平方差、立方和、立方差、一元二次方程的有关公式、对数和指数的有关公式、三角函数的有关公式、各种面积、体积公式、基本不等式、排列数和组合数公式、二项式定理、复数的有关公式、斜率公式、直线、二次曲线的标准方程等等，都要做到应用自如。实际上，速算要领的掌握和熟记一些数据、公式等，在思维活动中是一个概括的过程，同时也训练了学生的数学技能，而数学技能的泛化就成为能力。

数学思维功能僵化现象在学生中是大量存在的，这与学生平时所受的思维训练有很大关系。教师在教学过程中过分强调程式化和模式化；例题教学中给学生归纳了各种类型，并要求学生按部就班地解题，不许越雷池一步；要求学生解答大量重复性练习题，减少了学生自己思考和探索的机会，导致学生只会模仿、套用模式解题。灌输式的教学使学生的思维缺乏应变能力。因此，为了培养学生的思维灵活性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。教学实践表明，变式教学对于培养学生思维的灵活性有很大作用，在概念教学中，使学生用等值语言叙述概念，数学公式教学中，要求学生掌握公式的各种变形，都有利于培养思维的灵活性。另外，思维的灵活性与思维的敏捷性是相互依存的，因此数学教学中采取措施（如编制口答练习题）加快学生的思维节奏，对于培养学生的思维灵活性也是很有好处的。

创造性思维的培养，首先应当使学生融会贯通地学习知识，在解题中则应当要求学生独立起步，养成独立思考的习惯。在独立思考的基础上，还要启发学生积极思考，使学生多思善问，能够提出高质量的问题是创新的开始。数学教学中应当鼓励学生提出不同看法，并引导学生积极思考和自我鉴别。

批判性思维品质的培养，可以把重点放在引导学生检查和调节自己的思维活动过程上。要引导学生剖析自己发现和解决问题的过程；学习中运用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，它们的合理性如何，效果如何，有没有更好的方法；学习中走过哪些弯路，犯过哪些错误，原因何在。批判性思维的培养，有赖于教师根据学生的具体情况，有针对性地设计反思问题，以引起学生的进一步思考。

四、数学灵感的培养

数学是一门思维学科，灵感是学习的关键元素，只有以灵感作为学习的基础与前提，才能更好地开拓学生的思维，挖掘出学生内在所具有的天赋。因此，我们在课堂内外应注重学习数学灵感的培养。我们可以从下列各个方面入手来培养数学灵感：

1、重视数学基本问题和基本方法的牢固掌握和应用，以形成并丰富数学知识块组：灵感不是靠“机遇”，直觉的获得虽然是有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会迸发出思维的火花。所以对数学基本问题和基本方法的牢固掌握和应用是很重要的。

2、强调形数结合，发展几何思维与类几何思维：数学形象直感是数学灵感思维的源泉之一，而数学形象直感是一种几何直觉或空间观念的表现，对于几何问题要培养几何自身的变换、变形的直观感受能力。对于非几何问题则要用几何眼光去审视分析就能逐步过渡到类几何思维。

3、重视整体分析，提倡块状思维：在解决数学问题时要教会学习从宏观上进行整体分析，抓住问题的框架结构和本质关系，从思维策略的角度确定解题的入手方向和思路。在整体分析的基础上进行大步骤思维，使学生在具有相应的知识基础和已达到一定熟练程度的情况下能变更和化归问题，分析和辨认组成问题的知识集成块，培养思维跳跃的能力。在练习中注意方法的探求，思路的寻找和类型的识别，养成简缩逻辑推理过程，迅速作出直觉判断的洞察能力。

五、运算能力的培养

运算能力是学生学好数学最基础的一种能力，良好的数学运算能力有助于提高学生的思维敏感力以及思维的灵活性，同时在心理上更会提高学生对学习数学的信心。运算不仅仅是只对数的计算，它还包括式的恒等变形，方程与不等式的同解变形，函数的初等运算，各种几何量的测算，概率、统计的初步计算以及有关对应、变换等。初中是学生数学运算能力形成较关键的时期，那么初中数学教学中如何更有效地培养和提高学生的运算能力呢？下面我就谈谈数学教学中学生运算能力的培养。注重学生能力的培养，在实际教学过程中既不能让学生的运算能力停留在已有的水平上，也不能超越知识的内容和其它能力的水平，孤立地发展运算能力，初中数学运算能力的培养从以下几个方面着手：

1、注重学生基础知识的学习，熟悉知识之间的相互依赖关系：如数的运算与式的运算、方程与不等式、函数之间的依赖关系等。

2、培养运算的正确迅速、简捷性：在数学教学中教师要引导学生不断克服习惯心理，增强简。算意识，为此要求学生熟练运用运算律计算，同时要熟记运算法则以及一些基本数据等如在开方应熟记：1-20的平方数，1-10的立方数；学习勾股定理是要熟记一些勾股数值：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；学习解三角形时要熟记特殊角的三角函数值等。

3、注重培养学生运算的灵活性：方法灵活、过程灵活、知识运用灵活。如分解因式x2-5x+6解：x2-5x+6=x2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3)。这里把－5x拆成-2x,-3x两项的和。这种分解变形常有一定的技巧性，再如已知：实数a、b 满足3a2+5a-2=0;3b2+5b-2=0且a≠b 。求 a+ab+b/ab的值，一般学生会通过解一元二次方程来解，但这样不但很烦琐而且还会出错，如果学生能通过构造一个一元二次方程 ，运用跟与系数的关系来解，就很简单了。

4、注重培养学生的良好的学习习惯：养成良好的审题习惯、良好的检查习惯(自我检查和相互检查）、养成良好的书写习惯、建立错题集等，强化做题的反思。在学习过程中，好的学习习惯有助学生良好的运算能力的形成。

总之，学生的运算能力的培养决不是一两日能搞好的，需要教师在平时的教学中长期对学生训练，以及学生持之以恒。

六、数学应用能力的培养

教师在教学中要遵循学生的认知规律，将知识性、应用性、趣味性和谐地结合起来，充分调动学生的学习积极性，培养和提高学生的数学应用能力。 1、利用生活经验，建构数学思想：构建智慧的重要基础，是人们已有的生活、学习经验。在学生的生活中已有许多数学知识的体验，学校数学学习是他们生活中有关数学现象经验的总结与升华，每一个学生都从他们的现实数学世界出发与教材内容发生交互作用，构建自己的数学知识。鉴于学生并不是一张“白纸”，教学时，我们应充分利用其已有的学习、生活经验促使其主动建构数学思想。 例如，教《利息》时，不是让学生单纯地在课上进行利息的计算，而是先让学生在课前到银行进行实地调查，了解利息方面的知识，课上进行交流汇报，这开放了教材的空间，使学生积极主动地投入到学习数学生活之中，真切感到生活中到处有数学，学生进行了自主、合作探究性的学习。到期利息的计算比较简单，教师放手让学生独立计算，对延后支取和提前支取这两种复杂的情况，则组织学生在小组里交流、辩论、探索，得出正确的计算方法，使学生充分体验再创造的过程，能主动地将数学知识与现实生活的背景紧密地联系起来，并形成了一种数学思想，在利率的计算方面能够灵活的与背景紧密地联系起来，并形成了一种数学思想，在利率的计算方面能够灵活应对。

2、 应用生活现实，体现数学价值 ：数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实。数学学习的最终目的还是看学生能否运用所学的知识去解决问题，尤其是一些简单的实际问题。所以，我们应及时提供把课堂上所学知识应用到实践中去的机会，让学生在应用中更深刻地理解和掌握数学知识，在应用中更深刻地感受数学的魅力，并通过应用促使学生更主动地观察生活中的数学，在学习和生活中更主动地运用数学。

初中数学中，数学应用于现实的例子很多，如学习了《用正多边形铺地板》一部分后，可以让学生自己设计地面砖的图案；学习了《解直角三角形》一部分后，让学生测量教学楼、旗杆、水塔等的高度；学习了方程和方程组以后让学生列方程或方程组解决实际问题等。

3、 经常开展数学知识应用竞赛：数学知识应用竞赛实质是由“知识型人才”向“智能型人才”过渡的教育策略。定期开展数学知识应用竞赛活动，是培养学生用数学意识的好形式。竞赛的内容可以制作教具、模型、实地测量、讲解实物、

计算实际问题等。此类竞赛与书面形式的问题相比，形式新颖、内容丰富、实际操作性强、应用知识灵活，可以吸引很多学生来参加，有效地促进数学教学质量的提高，学生的应用能力也得到很好的培养。

4、 挖掘教学知识点，展示数学的趣味性和奇异美 ：在教学中要紧扣教材，多设计或引用与教学内容有关的新颖有趣而富于思考的问题，使课堂教学生动、活泼、富有吸引力。如在讲授圆的有关性质前，提出问题：车轮为什么是圆的？电脑分别模拟安装有三角形轮子、正方形轮子、椭圆形轮子和圆形轮子的汽车行驶的状态，并分别配各种颠簸沉重的声音及轻快的声音。

在生动活泼有趣的氛围中，让学生直观的看到圆形轮子能使汽车平稳地前进，这是“圆”这种形状所特有的性质决定的。然后指出：人们在生活中发现了圆具有一些特殊的性质，然后把这些特殊性质运用到运输工具上，这样制造了圆形轮子，轮子的形状与生产以及日常生活实际有着紧密的联系，学生可初步体会科学来源于实践又还原于实际生活的道理。

在教学中要结合教材展示数学外在形式与内在结构的和谐美、奇异美，使学生受到美的熏陶，体验到数学学科的价值，激发学习兴趣。如在学习几何引言时，课后一些美丽图案利用几何画板制作成动画，可让学生直观地看到图案的画法，并且学生会惊奇地看到：六角雪花图案绕中心旋转，速度由慢到快时，可另产生各种各样效果奇特的图案；风车图案的每一叶片可收缩为一条线段，当叶片为伸展或收缩状态时均可旋转成其他图案；紫荆花图案由鼠标拖动旋转控制点，可演示开花和结果的形态过程等。在美的熏陶中，学生会感到几何图形变换无穷，妙不可言，在生活中应用广泛，从而对几何产生了浓厚的兴趣。

在教学过程中，坚持贯彻理论联系实际的原则，渗透应用意识，促进非智力因素的发展和发挥作用，突出实践性，有利于培养出适应知识经济时代的创新型人才。

总之，数学能力的培养是素质教育极为重要的要素 。在数学教学中，应注重数学能力的培养。才能提升学生数学思维能力，为学好数学打下坚实的基础。才能为国家培养出合格的，高素质的，适应社会发展的人才。

参考文献：

?1?、中华人民共和国国家教育部,《九年义务教育全日制初中数学教学大纲》：人民教育出版社

〔2〕、（苏）克鲁切茨基，赵裕春等译，《中小学生数学能力心理学》：教育科学出版社

〔3〕、洛洪才，《数学教育论》：湖南师范大学出版社

〔4〕、陈振宜，《培养数学思维能力的探索》：《中小学数学》，2010年10期

?5?、李淑文，《中学数学教学概论》：中央广播电视大学出版

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〔2〕、（苏）克鲁切茨基，赵裕春等译，《中小学生数学能力心理学》：教育科学出版社

〔3〕、洛洪才，《数学教育论》：湖南师范大学出版社

〔4〕、陈振宜，《培养数学思维能力的探索》：《中小学数学》，2010年10期

?5?、李淑文，《中学数学教学概论》：中央广播电视大学出版

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