热力学统计物理课后答案11

第一章 热力学的基本规律

1.1 试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数??。 解：已知理想气体的物态方程为

pV?nRT,

（1）

由此易得

??1??V?nR1??, ??V??T?ppVT （2） （3） （4）

??1??p?nR1??, ??p??T?VpVT?T??1??V??1?????V??p?T?V??nRT?1?. ???2?p?p??1.2 证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数??，根据下述积分求得：

lnV=??αdT?κTdp?

如果??1T,?T?1p，试求物态方程。

解：以T,其全微分为

p为自变量，物质的物态方程为

V?V?T,p?,

??V???V?dV??dT???dp. ???T?p??p?T （1）

全式除以V，有

dVV?1??V?1??V?dT???dp. ??V??T?pV??p?T根据体胀系数?和等温压缩系数?T的定义，可将上式改写为

dVV??dT??Tdp. （2）

上式是以T,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有

lnV????dT??Tdp?. （3）

若??1T,?T?1p，式（3）可表为

lnV??1?1dT?dp?. （4） ??Tp??选择图示的积分路线，从(T0,相应地体

p0)积分到?T,p0?，再积分到（T,p），

积由V0最终变到V，有

lnVV0=lnTT0?lnpp0,

即

pVT?p0V0T0?C（常量），

或

pV?C. T （5）

式（5）就是由所给??1T,?T?1p求得的物态方程。 确定常量C需要

进一步的实验数据。 1.8 满足pVn?C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。

n??n?1试证明：理想气体在多方过程中的热容量Cn为

Cn?CV

解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量

??Q???U???V?Cn?lim???p?????. ?T?0?T?T?T??n??n??n （1）

对于理想气体，内能U只是温度T的函数，

??U????CV, ??T?n所以

??V?Cn?CV?p??.

??T?n （2）

将多方过程的过程方程式pVn压强p可得

TVn?1?C与理想气体的物态方程联立，消去

（3）

?C1（常量）。

将上式微分，有

Vn?1dT?(n?1)Vn?2TdV?0,

所以

V??V???. ??(n?1)T??T?n （4）

代入式（2），即得

Cn?CV?pVT(n?1)?n??n?1CV,

（5）

其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。

1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n?量和定容热容量是常量。

Cn?CpCn?CV。假设气体的定压热容

解：根据热力学第一定律，有

dU??Q??W.

（1）

对于准静态过程有

?W??pdV,

对理想气体有

dU?CVdT,

气体在过程中吸收的热量为

?Q?CndT,

因此式（1）可表为

(Cn?CV)dT?pdV.

（2）

用理想气体的物态方程pV(Cn?CV)?vRTdTT除上式，并注意CdVVp?CV?vR,可得

?(Cp?CV). （3）

将理想气体的物态方程全式求微分，有

dpp?dVV?dTTdTT. （4）

式（3）与式（4）联立，消去

(Cn?CV)dpp，有

dVV?0. （5）

?(Cn?Cp)令n?Cn?CpCn?CV，可将式（5）表为

dpp?ndVV?0.

（6）

如果Cp,CV和Cn都是常量，将上式积分即得

pVn?C（常量）。 （7）

式（7）表明，过程是多方过程。

1.12 假设理想气体的C式为

lnF(T)??dTp和CV之比?是温度的函数，试求在准静态

绝热过程中T和V的关系，该关系式中要用到一个函数F?T?，其表达

???1?T解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足

CVdT?pdV?0. （1）

用物态方程pV得

?nRT除上式，第一项用nRT除，第二项用pV除，可

CVdTnRTdVV?0.

? （2）

利用式（1.7.8）和（1.7.9），

Cp?CV?nR,CpCV??,

可将式（2）改定为

1dT??1T?dVV?0. （3）

将上式积分，如果?是温度的函数，定义

lnF(T)???1dT?1T, （4）

可得

lnF(T)?lnV?C1（常量），

（5）

或

F(T)V?C（常量）。 （6）

式（6）给出当?是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。

1.13 利用上题的结果证明：当?为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为??1?T2T1.

解：在?是温度的函数的情形下，§1.9就理想气体卡诺循环得到的式（1.9.4）—（1.9.6）仍然成立，即仍有

Q1?RT1lnQ2?RT2lnV2V1V3V4, ,

（1） （2）

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