大学物理所以作业以及答案(1)

1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为

1x=3t+5, y=2t2+3t-4.

式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点

的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

?12??r?(3t?5)i?(t?3t?4)j2m解：（1）

(2)将t?1,t?2代入上式即有

???r?8i?0.5j1 m ???r?11j?4jm2

??????r?r?r?3j?4.5j21m ???????5j?4j,r?17i?16j04(3)∵ r

??????rrri?20j?????14012v????3i?5jm?s?t4?04∴

??r??d?1v??3i?(t?3)jm?sdt(4)

????3i?7j m?s?1 4则 v???????3i?3j,v?3i?7j04(5)∵ v

????vvv4????240a????1jm?s?t44 ??v?d?2a??1jm?sdt(6)

这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。

1-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x，a的单位为m?s?12?2，x的单位

为 m. 质点在x＝0处，速度为10m?s,试求质点在任何坐标处的速度值．

dvdvdxdva???vdtdxdtdx 解： ∵

2?d??adx?(2?6x)dx分离变量：

v?2x?2x?c2两边积分得

123由题知，x?0时，

v0?10,∴c?50

3?1

2x?x?25m?s∴ v?

1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，?式中以弧度计，t以秒计，求：(1) t＝2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?

3 解：

??d?d?2?9t,???18tdtdt

?2R??1?18?2?36m?s?? (1)t?2s时， a

a?R??1?(9?2)?1296m?s

n222?2ο

tan45??22a?an?1(2)当加速度方向与半径成45角时，有

2

t 即 R??R? 亦即 (9t)?182233t???2?3t?2?3??2.67rad9 于是角位移为9则解得

1-8 质点沿半径为R的圆周按s＝

v0t?12bt2的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧

长,v0，b都是常量，求：(1)t时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b． 解：（1）

v?dsdt?v0?bt

a??an?2dvdtv2??b?(v0?bt)R22

R2n

4(v?bt)0a?a?a?b??2R则

加速度与半径的夹角为

???arctan?a?Rb2an(v?bt) 04(2)由题意应有

a?b?b?42(v?bt)0R2

(v?bt)224b?b?02,?(v?bt)?00R即

t?v0b时，a?b

∴当

1-13 一船以速率v1＝30km·h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v2＝40km·h-1 沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?

???v?vv1 解：(1)大船看小艇，则有212?，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)

题1-13图

由图可知

v?v?v?50km?h211222?1

v42方向北偏西 ????v?v1212(2)小船看大船，则有v，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得

?1v12?50km?h

1??arctan?arctan?36.87?v3方向南偏东36.87

2-3 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx＝6 N，

v-1

-7 N，当t＝0时，x?y?0，vx＝-2 m·s，y＝0．求 当t＝2 s时质点的 (1)位矢；(2)速度．

fyo＝

解：

a?x63??m?s?2m168 fym??716m?s?2fxay?(1)

235v?v?adt??2??2??xx0x?0842?77v?v?adt??2??yy0y?0168

m?sm?s?1?1

?1于是质点在2s时的速度

?7?5?v??i?j48m?s(2)

?1?1?22r?(v0t?axt)i?aytj22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j2821613?7???i?jm48

?v2-6一质量为m的质点以与地的仰角?=30°的初速0从地面抛出，若忽略空气阻力，求质

点落地时相对抛射时的动量的增量．

解: 依题意作出示意图如题2-6图

题2-6图

在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30????p?mv?mv0 ?mv0由矢量图知，动量增量大小为，方向竖直向下．

o

，则动量的增量为

2-9 一质量为m的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为

???r?acosti?bsintj ???求质点的动量及t＝0 到解: 质点的动量为

?t?2?时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量．

????p?mv?m(?asinti?bcostj)

???将t?0和

t?2?分别代入上式，得

????p?m?bj,p??m?ai, 12则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 ??????I??p?p?p??m(ai?bj)21

?2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为

v0m?s?1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为

F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，

试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

F?(a?bt)?0,得

t?ab

(2)子弹所受的冲量

t12I?(a?bt)dt?at?bt?02

t?ab代入，得

2将

I?a2b

(3)由动量定理可求得子弹的质量

m?Iv0?a22bv0

????????F?7i?6jNr??3i?4j?16km2-12 设合．(1) 当一质点从原点运动到时，求F所作

的功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能

的变化．

?解: (1)由题知，F合为恒力，

∴

???????A?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k)合

?21?24??45J ?

(2)

P?A?t?45?75w0.6

E?A??45Jk(3)由动能定理，?

2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，m下m1,求它下落到B处时的速率．

解: 取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有

1122?mgh?(m?m)v?[mgh?k(?l)]212122

22与桌面间的摩擦系数为?，最初m1静止于A点，AB＝BC＝h，绳已拉直，现令滑块落

?式中?l为弹簧在A点时比原长的伸长量，则

?l?AC?BC?(2?1)h

联立上述两式，得

v???2m??mgh?kh2?1122??2m?m12

题2-17图

v-1

2-18 如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度0＝3m·s从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达B点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．

解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有

12?12??fs?kx?mv?mgssin37???r22??

1k?2mv?mgssin37??frs12kx22

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