第二讲 函数的极限-简化公布版(例题重要)

第二讲 函数的极限

（甲）内容要点

一、极限的概念与基本性质

1．极限的定义 （要求会用∈－δ 语言描述）

（1）limf(x)=A （2）limf(x)=A （3）limf(x)=A

x→+∞

x→ ∞

x→∞

（4）limf(x)=A （5）limf(x)=A （6）limf(x)=A（用f(x0 0)表示） +

x→x0

x→x0x→x0

用limf(x)=A表示上述六类函数的极限，它具有的性质，上述六类函数极限皆具有。

2．极限的基本性质 （要求会用定义证明）

定理1（唯一性）设limf(x)=A，limf(x)=B，则A=B。

定理2（局部保序性， 特别注意B＝0时的局部保号性）设limf(x)=A，limg(x)=B

若x变化一定以后，总有f(x)≥g(x)，则A≥B；反之，A>B，则x变化一定以后，有

f(x)>g(x)．注：当g(x)≡0，B=0情形也称为极限的保号性）．

定理3 （局部有界性）设limf(x)=A，则当x变化一定以后，f(x)是有界的。 定理4 设limf(x)=A，limg(x)=B，则

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B （2）lim[f(x) g(x)]=A B

（3）lim二、无穷量

f(x)Ag(x)

= (B≠0) （4）lim[f(x)]=AB (A>0) g(x)B

1．无穷小量定义：若limf(x)=0，则称f(x)为无穷小量

2．无穷大量定义：任给M>0，当x变化一定以后，总有f(x)>M，则称f(x)为无穷大量，记limf(x)=∞。

3．无穷小量与无穷大量的关系：在x的同一个变化过程中，若f(x)为无穷大量，则

1

为无穷大量。 f(x)

1

为无穷f(x)

小量，若f(x)为无穷小量且f(x)≠0，则

4．无穷小量与极限的关系

limf(x)=A f(x)=A+α(x) 其中limα(x)=0

5．两个无穷小量的比较

设limf(x)=0，limg(x)=0，且lim

f(x)

=l， g(x)

(1)l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小量，记以f(x)=o[g(x)] 称g(x)是比f(x)低阶的无穷小量，

(2)l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小量。

(3)l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小量，记以f(x)～g(x) 6．常见的等价无穷小量 （当x→0时）

x2

x～sinx～tanx～arctanx～arcsinx～ln(1+x)～e 1，1 cosx～， (1+x)a 1～ax（a∈R）。

2

x

7．无穷小量的重要性质

定理 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。

（有限个无穷小量之和仍是无穷小量。） 【例1】当x→0+时,

等价的无穷小量是( B )

(A) 1

(B) ln

(C) 1

(D) 1

解：

(A)1 等价于

x (B)等价于

1+x1 x

1~

x+x1 x

~x

1+x1 x

~x

1 等价于

xx

(D)1 等价于。 22

三、求极限的方法

1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则

（夹逼准则）设g(x)≤f(x)≤h(x)，若limg(x)=A，limh(x)=A, 则limf(x)=A 2．

（注：不能用函数子列收敛来证明收敛， 只能用子列发散证明发散） 3．重要公式

1

1sinx 1 公式1 lim=1 公式2 lim 1+ =e；lim(1+v)=e 公式3 limxx=1．

v→0x→0u→∞x→+∞x u

u

【例2】 求下列极限

2

（1）lim 1

x→∞

x

x+10

1 x

（2）lim x→01+x

1

x

2

解（1）lim 1

n→∞

x

x+10

2 =lim 1+ x→∞

x

1x

x 2(x+10) 2 x

2 ＝lim 1+ x→∞

x

1

i( 1) x

x 2

( 2) 1+

10

x

=e 2

lim(1 x)lim[1+( x)] 1 x x→0

（2）解一 lim ==x→0 1x→01+xe lim(1+x)x

x→0

1

x

1x

1x

e 1==e 2 e

2x 1 x 1+x 2x

解二 lim =lim=lim1+ x→01+xx→0x→0 1x+ 1+x 【例3】 求下列极限

（1）limx

x→1

4

x 1

1+x 2 2x 1+x

=e 2

（2）lim(cosx)

x→0

4x 1

4t

cot2x

1t4

解（1）令x 1=t则x=1+t，当x→1时，t→0

于是 limx

x→1

=lim(1+t)=lim[(1+t)]=e4

t→0

t→0

（2）lim(cosx)

x→0

cotx

2

cos2x

=lim(1 sinx)2sin

x→0

2

x

1+( sinx) =lim x→0

2

cos2x

sin2x 21

i

＝e

12

4．用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换 【例4】求limarctan(x lnx sinx).

x→+∞

11

1解：由lim=lim=0且>0知

x→+∞x lnx sinxx→+∞1 1 sinx sinx

xx

x→+∞

lim(x lnx sinx)=+∞，故limarctan(x lnx sinx)=

x→+∞

π

2

。

【例5】 求lim

(1 cos2x)arctan3x

.

x→0(ex 1)ln(1+2x)sin5x

1

(2x)2i(3x)

3

解 用等价无穷小量代换, 原式＝lim=

x→0xi(2x)i(5x)5

5．使用变量代换的方法简化运算: a. 倒数 b. 变量-极限 【例6】 求lim

e

x→0x10

1

1x 2 x1

2e 0exx3解: 若直接用“”型洛必达法则1，则得lim=lim12（不好办了，分母x的次数反而9→xx→05x010x0

增加），为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令

1

2

1

=t， x2

exe tt5∞5t45!

于是 lim10=lim 5=limt (“”型)＝limt= =limt=0

x→0xt→+∞tt→+∞et→+∞et→+∞e∞

[sinx sin(sinx)]sinx

【例7】求极限lim。

x→0x4 [sinx sin(sinx)]sinx[sinx sin(sinx)]sinxx sinx1

limlim=== 443x→0x→0x→0xxxsin6解：

lim

6．用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻）

x2xnx3x5x2n+1nn

当x→0时, e=1+x++ ++o(x);sinx=x ++ +( 1)+o(x2n+1);

n!3!5!(2n+1)!2!

x

n2n

x2x4x2x3n+1xnx2n

cosx=1 + +( 1)+o(x); ln(1+x)=x + +( 1)+o(xn);

2!4!(2n)!23n2n+1

x3x5nxarctanx=x + +( 1)+o(x2n+1); 352n+1

(1+x)α=1+αx+

α(α 1)

2!

x2+ +

α(α 1) [α (n 1)]

n!

xn+o(xn)（α为实常数）.

sinx x+

【例8】求lim

x→0

x5

13

x

x5

+o(x5)35

xx11

解 ∵sinx=x ++o(x5)（当x→0时）∴原式＝lim5 ==

x→03!5!x5!120

7．洛必达法则

0

法则1 型 设（1）limf(x)=0，limg(x)=0

0

（2）x变化过程中，f′(x)，g′(x)皆存在 （3）lim

f′(x)f(x)

=A （或∞） 则 lim=A （或∞） ′g(x)g(x)

f′(x)f(x)

不存在且不是无穷大量情形，则不能得出lim不存在．) g′(x)g(x)

(注：如果lim

∞

法则2 型 设（1）limf(x)=∞，limg(x)=∞

∞

（2）x变化过程中，f′(x)，g′(x)皆存在

（3）lim

f′(x)f(x)

=A（或∞） 则 lim=A （或∞）． ′g(x)g(x)

1cos2x

). 【例9】求lim(2

x→0sinxx2

141

2x sin2xcos2xx2 sin22xx sin4x

x sinxicosx 解 原式＝lim＝lim＝lim＝lim43322x→0x→x→x→0004x2xxsinxx1 cos4x4sin4x4＝lim=lim= 2x→0x→06x12x38．利用导数定义求极限

f(x0+Δx) f(x0)

基本公式：lim=f′(x0) 如果存在 Δx→0Δx

f(x0+3Δx) f(x0 2Δx)

【例10】 设f′(x0)=2，求lim.

Δx→0Δx

2

2

2

解

f(x0+3Δx) f(x0)] [f(x0 2Δx) f(x0)][原式＝lim

Δx→0

Δx

＝3lim

Δx→0

f(x0+3Δx) f(x0)f(x0 2Δx) f(x0)

+2lim

Δx→03Δx2x Δ＝3f′(x0)+2f′(x0)=5f′(x0)=10

9．求极限的反问题有关方法

x2+ax+b

=3，求a和b. 【例11】 设lim

x→1sin(x2 1)

解 由题设可知lim(x2+ax+b)=0，∴1+a+b=0

x→1

x2+ax+b2x+a2+a

=lim==3 a=4,b= 5 再对极限用洛必达法则lim

x→1sin(x2 1)x→12xcos(x2 1)2

【例12】设函数f(x)在x=0的某邻域内有一阶连续导数，且f(0)≠0，f'(0)≠0，若

af(h)+bf(2h) f(0)

=0，试求a,b

h→0h

提示：解法一（洛必达法则）由极限存在，知 a+b 1=0，又由洛必达法则知a+2b=0， lim

故a=2,.b= 1。

解法二（皮亚诺余项的泰勒公式）

af(h)+bf(2h) f(0)＝a[f(0)+f'(0)h+o(h)]+b[f(0)+2f'(0)h+o(h)] f(0)

＝(a+b 1)f(0)+(ah+2bh)f'(0)+o(h)

解法三 用导数定义

af(h)+bf(2h) f(0)f(h) f(0)f(2h) f(0)(a+b 1)f(0)

=lim[a+2b+I=lim

h→0h→02hhhh

10. 含变上限积分的极限求法

xf'(x)

【例13】已知 f(x)=∫xsin(x t)2dt，求lim3。

0x→0x解：令u=x t,则f(x)= ∫xsinu2du=∫xsinu2du，f'(x)=∫sinu2du+xsinx2故

x

x

x

sinu2dusinudu+xsinxf'(x)xsinx24∫∫00

=lim+lim=。 lim3=lim33300→x→x→x→0x03xxxx

（乙）综合分析题

【例1】 求下列各极限

2

2

（1

）lim （2

）lim

x→0x→0xx

xx

解（1）解一 原式＝

x→0

1+x

1 x

=1 1 x x

1) 1)等价无穷小量代换22=1

解二 原式＝limlimx→0x→0xx

（错误！ 因为乘除才能代换）

1 解三

用洛必达法则1原式＝lim=1

x→01

1 x

x +o(x)2 2 解四 Taylor 公式 原式＝lim=1 x→0x（

2）＝x→0

1

ln(1+x)e 1

【例2】求lim(

x→0x

ln(ln(1+x)ex 1xlim→0ex 1

＝e解：lim(

x→0x

1

x4x

11

ln(1+x)

)x

=e

1ln(1+x)lim 1)x→0xx

=ex→0

lim

ln(1+x) x

x

2

=ex→0

lim

ln(1+x) x

x

2

＝e

1

2

【例3】求极限lim(

x→0

2+e1+e

+

sinx

)。x

(解 lim+

x→0

2+e1+e

1

x4x

+

sinx2e+esinx

)=lim(+=0+1=14x→0+ xx

ex+1

1x

4x

3x

x→0

lim(

2+e1+e

1

x4x

+

sinx2+esinx

)=lim(+)=2 1=1 4

x→0x x

1+ex

1x4x

∴lim(

x→0

2+e1+e

+

sinx

＝1 x

sinx

【例4】 求lim. x+

x→0

2

解 令y=xsinx，lny=sin2xlnx

2

lnxx 1limlny=limsinxlnx= limxlnx=lim＝lim=0∴limy=e0=1. 3 2++++++x→0x→0x→0x→0xx→0 2xx→0

2

2

11

【例5】 求lim sin+cos .

x→∞xx

11 11

解 令y= sin+cos ，lny=xln sin+cos ，

xx xx

11

ln sin+cos

cost sintln(sint+cost)xx=lim＝lim=1，∴limy=e limlny=limx→∞x→∞t→0t→0x→∞1tsint+cost

x【例6】 求下列函数在分段点处的极限

x

x

sin2x

x<0　 x

f(x)= 2

x x>0 1 cosx

解 f(0 0)=lim

x→0

sin2xsin2x

2=lim=2

x→0x2x

x2x2

f(0+0)=lim=lim=2，∴limf(x)=2

x→0x→0+1 cosxx→0+2

x2

x12

【例7

】设lim=1，求a和b.

x→0bx sinx∫0

解： 把极限用洛必达法则

原式左边＝，如果b≠1，则极限值为0，今极限为1，则b=1

x→02因此

原式左边＝==

x→0x→0=1，得出a=4. （丙）真题演练 一、选择题

1. （中科院高数Ａ 2009年）当x→0时, 下列四个无穷小量阶数最高的是( )．

1

(A) ln(1+x) x+x2； (B)

2

∫

x20

441

edt；(C) x ( cosx)sinx； (D) ex 1．

33

1t

1

2. （中科院高数甲 2011年）极限limx[(1+)x e]=（ ）

x→+∞x

ee

(A) 0 (B) ∞ (C) (D)

22

3. （中科院高数乙 2000

年）若limax b)=0. 则常数a和b分别为 （ ）

x→+∞

（A）a=1,b=1 （B）a=1,b= 1 （C）a=1,b=

11

（D） a=1,b= 22

x

21

4. （中科院高数乙 2009；数学一 1992年）lim sin+cos =（ ）

x→+∞xx A. -2 B. 2 C. e 2 D. e2 5.（兰州大学 高数物理类601 2011年）

设函数y=f(x)在点x=x0处可导，当自变量x由x0增加到x0+Δx时，记Δy为f(x)的增量，dy为

Δy dy

=（ ）

Δx→0Δx

(A) -1 (B) 1 (C) 0 (D) ∞ 6.（兰州大学 高数物理类601 2011年） f(x)在x0处的微分，则lim

函数f(x)有连续导数, 且f(0)=0, f'(0)≠0, F(x)=∫(x2 t2)f(t)dt, 当x→0时, F'(x)与xk

0x

是同阶无穷小, 则k=( )

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

x arctanx

7.（数学一 2013年）已知极限lim=c，其中k,c为常数，且c≠0，则（ ）

x→0xk

1111

A. k=2,c= B. k=2,c= C. k=3,c= D. k=3,c=

2233

参考答案: BDDDCBD 二、填空题

1. (中科院 高数A 2003年)

lim 1=2π

x→2sinx 1

4

tanx sinx

2. (中科院 高数甲 2007年) lim=x→0ln(1+x3)ex 1 x2

3. (中科院 高数A 2010年) lim２=。

x→0x sin2x4. (中科院 高数乙 2000年) lim+

x→0

2

1xt 2

tdt= (cos)

x∫0

1x

5. (中科院 高数乙 2001年)

4

lim(tanx)

x→

π

=

。

4

6. (中科院 高数乙 2005年)

已知函数f(x)和g(x)在点x=0的某邻域内连续，且当x→0时，f(x)与g(x) 是两个等价的无穷

∫小，求极限lim

x→0

x0

f(t)sintdt

x0

。

∫

tg(t)dt

11

=。7. (兰州大学高数物理类 2006年) lim(

x→1lnxx 1

1

8.（兰州大学高数物理类601 2008年；数学一 2003年）lim(cosx)ln(1+x)=。

x→0

2

9. (兰州大学高数物理类601 2011年)

f(x)在( ∞,∞)上可导且f(0)=0，α>0，则lim

α→0

14α

2

∫αf(t+α)dt=。

α

10.（中山大学 高数B 2006

年）lim

xx(arctant)2dt=

113 1/2

，，，e，e2；

参考答案: 1-51262

2 1f'(0)π, 。 7-10 １, , e2,

224

1

三、计算题

(x

1. (中科院高数甲 2013年；中科院 高等数学二 1992年) 计算limx+

x→0

x

1)

。

2. (中科院高数乙 2007)

1

f(x)1f(x)3

设f(x)具有连续二阶导数，且lim[1+x+]x=e，试求f(0),f'(0)及lim[1+x。

x→0x→0xx

3. (南京大学 高数丙638 2007年)

求极限lim

x→0

。 ３

x

1x

1x

4. (南京大学 高数丙638 2008年) 求极限limx(a b)。

x→+∞

5. (数学一 2012年) 已知函数f(x)=

1+x1

，记a=limf(x)

x→0sinxx,

（1） 求a的值 （2）若当x→0时，f(x) a是xk的同阶无穷小，求k

a１

参考答案:1, e2, , ln, a=k

b４

四、证明题

*1. (中海洋高数601 2012年)

=1.

已知f(x)有二阶连续导数，f(0)=f'(0)=0，f''(0)=1。在曲线y=f(x)上任意点(x,f(x))处作曲线的切线，记切线在x轴上的截距为u=u(x)，证明： lim提示：用泰勒展式。

xf(u)1

=。

x→0uf(x)2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dbij.html