全国181套中考数学试题分类汇编52平面几何的综合

52：平面几何的综合

一、选择题

1.（重庆江津4分）下列说法不正确是

A、两直线平行，同位角相等 C、对顶角相等

B、两点之间直线最短

D、半圆所对的圆周角是直角

【答案】B。

【考点】平行线的性质，对顶角的性质，线段公理，圆周角定理。

【分析】利用平行线的性质可以判断A正确；利用两点之间线段最短的线段公理可以判断B错误；利用对顶角相等的性质可以判断C正确；利用圆周角定理可以判断D正确。故选B。 2．（重庆潼南4分）如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是

A、①②

B、②③ C、②④

D、③④

【答案】B。

【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定。

【分析】①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AO≠BO，即判定该选项错误；②由ASA可证△AOE≌△COF，即可求得EO=FO，该选项正确；③根据相似三角形的判定即可求得△EAM∽△EBN，该选项正确；④易证△EAO≌△FCO，而△FCO和△CNO不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误。即②③正确。故选B。

3.（浙江义乌3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交 CE于点G，连结BE. 下列结论中：

① CE=BD； ② △ADC是等腰直角三角形； ③ ∠ADB=∠AEB； ④ CD·AE=EF·CG； 一定正确的结论有 A．1个 B．2个 【答案】D。

【考点】全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，相

C．3个 D．4个

似三角形的判定和性质，平行的性质

【分析】①由已知利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，结论正确；

②由已知利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得

到△ADC是等腰直角三角形，结论正确；

③由已知利用SAS证明△BAE≌△BAD。可得到∠ADB=∠AEB，结论正确； ④由对顶角相等的性质得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+GFD=90°，从而得出

CDCG△CGD∽△EAF，得出比例式 ?，因此CD·AE=EF·CG，结论正确。

EFAE故正确的有4个。故选D。

4.（江苏苏州3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD 的中点。若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于 A．

3434 B． C． D． 4355【答案】B。

【考点】三角形中位线定理, 勾股定理逆定理, 锐角三角函数定义。 【分析】连接BD,

在△ABD中，E、F分别是AB、AD的中点，且EF＝2，

∴BD＝4。

在△BDC中，∵BD=4， BC＝5，CD＝3，

∴BC2?BD2?CD2。∴△BDC是直角三角形。

∴tanC?CD?4。 36.（山东莱芜3分）观察右图，在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是

A、平移 B、轴对称 C、旋转 D、位似 【答案】A。

【考点】平移，轴对称，旋转，位似。

【分析】根据平移，轴对称，旋转，位似的概念，本题图案不包含的变换是平移。故选A。

7.（山东德州3分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a，a4，则下列关系中正

确的是

A、a4＞a2＞a1

B、a4＞a3＞a2 C、a1＞a2＞a3

D、a2＞a3＞a4

【答案】B。

【考点】正多边形和圆，等边三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质。 【分析】求出各图形的周率，比较即可得到答案：①设等边三角形的边长是b，则等边三角

3b②设正方形的边长是b，由勾股定理得：对角线是2b，=3；

b4b则正方形的周率是a2==22?2.83；③设正六边形的边长是b，过B作

2b形的周率a1=

BO∥AF交BE于O，得到菱形ABOF和等边三角形BCO，直径FC=b+b=2b，∴正六边形的周率是a3=

6b=3；④圆的周率是a4=??3.14。∴a4＞a3=a1＞2ba2。故选B。

8.（广东佛山3分）一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法

①对应线段平行； ③对应角相等；

A、①②③

②对应线段相等；

④图形的形状和大小都没有发生变化

C、①③④

D、②③④

B、①②④

【答案】D。

【考点】平移的性质，旋转的性质。

【分析】根据平移和旋转的性质知，①一个图形经过旋转，对应线段不一定平行；②一个图形无论经过平移还是旋转，对应线段相等；③一个图形无论经过平移还是旋转，对应角相等；④一个图形无论经过平移还是旋转，图形的形状和大小都没有发生变化。

PA故选D。

9.（湖北孝感3分）如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处 观测到地球上的最远点Q，若∠QAP=?，地球半径为R，则航天飞机距地球表面 的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是

OQR??RR(90??)?R B. ,?R,sin?180sin?180R(90??)?RR(90??)?RC. D. ?R,?R,sin?180cos?180A.

【答案】B。

【考点】解直角三角形的应用，切线的性质，弧长的计算。 【分析】由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，如图

则在直角△OAQ中有

RR?sin?，即AP=?R 。

R?APsin?在直角△OAQ中，∠O=90°－α，

18010.（湖北随州4分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，

则∠PCA=

A、30°

B、45° C、60°

D、67.5°

??由弦长公式得PQ?90????R。故选B。

【答案】D。

【考点】圆的切线性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角定理。

【分析】根据图形由切线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得到∠COD=∠D=45°；由同弧所对的圆周角是圆心角一半的性质，得到∠ACO=22.5°，所以由三角形内外角定理∠PCA=∠ACO ＋∠D =22.5°＋45°=67.5°。故选D。 11.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）下列图形中，∠1一定大于∠2的是

12212112OA

【答案】C。

BCD

【考点】对顶角的性质，内错角的性质，三角形外角定理，圆周角定理。

【分析】根据对顶角的性质，内错角的性质，三角形外角定理，圆周角定理逐一作出判断：

A．∠1和∠2是对顶角，根据对顶角相等的性质，∠1＝∠2，选项错误； B．∠1和∠2是内错角，当两条直线平行时∠1＝∠2，选项错误；

C． 根据三角形的外角等于和它不相邻的两内角之和的性质，得∠1＞∠2，选项正确； D．根据同弧所对圆周角相等的性质，∠1＝∠2，选项错误。故选C。

12.（四川攀枝花3分）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，垂足为点O，过点A作射线AE∥BC，点P是边BC上任意一点，连接PO并延长与射线AE相交于点Q，设B，P两点之间的距离为x，过点Q作直线BC的垂线，垂足为R．岑岑同学思考后给出了下面五条

结论，正确的共有

①△AOB≌△COB；②当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP；

③当x=5时，四边形ABPQ是平行四边形；④当x=0或x=10时，都有△PQR∽△CBO； ⑤当x =

14时，△PQR与△CBO一定相似． 5AQEAEOOBPRCB备用图C

A、2条 B、3条 C、4条 D、5条

【答案】D。

【考点】全等三角形的判定，平行四边形的判定，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理。

【分析】①∵AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，

∴AO=CO，AB=BC，BO=BO，∴△AOB≌△COB（SSS）。故此选项正确。 ②当0＜x＜10时，∵AE∥BC，∴∠QAO=∠PCO。

∵AO=CO，∠AOQ=∠COP，∴△AOQ≌△COP（ASA）。故此选项正确。 ③当x=5时，BP=PC=5， ∵AQ=PC，∴AQ=PB=5，

∵AQ∥BC，∴四边形ABPQ是平行四边形。故此选项正确。 ④当x=0时，如图，P点与B点

重合，显然△PQR和△CBO有一个公共角，一对直角，是相似的，即△PQR∽△CBO；

当x=10时，如图，P点与C点

重合，Q点与A点重合，同样△PQR和△CBO有一个公共角，一对直角，是相似的，即△PQR∽△CBO。故此选项正确。

⑤当x =

14时，过点A作AD⊥BC于点D 5∵BC=10，CO=6，∴OB=102?62?8。

∴BC×AD= AC×OB，即10 AD=12×8，AD=

9648。 ?105?48?14又∵AB=10，∴BD=10????。

5?5?2214，∴点D与点P重合，点R与点C重合。 5143648∴PR=10－?，QR=AD=。

555486366∴QR：BO=:8?， PR：CO=:6?。∴QR：BO= PR：CO。

5555∵x =BP=

又∵∠PRQ=∠COB=90，∴△PQR∽△CBO。故此选项正确。

故正确的有5条。故选D。

13.（四川南充3分）如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是

A、1个

B、2个 C、3个

D、4个

0

BC；CD【答案】D。

【考点】锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，梯形中位线定理。

【分析】∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∴AB=BC，CD=DE，

∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°。∴∠ACE=90°。

ACAEBC。 ??ECEDCDACBC①∵tan∠AEC=，∴tan∠AEC=。故本选项正确。

ECCD∵△ABC∽△CDE，∴②设AB=BC= a，ED=CD= b，

∵S△ABC=a，S△CDE=b，S梯形ABDE=（a+b），

2

2

2

∴S△ACE=S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE=ab，S△ABC+S△CDE=（a+b）≥ab（a=b时取等号）。 ∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE。故本选项正确。 ④过点M作MN垂直于BD，垂足为N，

∵点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，即点N为BD的中点。

22

∴△BMD为等腰三角形。∴BM=DM。故本选项正确。 ③又MN=

故选D。 二、填空题

1.（浙江舟山、嘉兴4分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE；③△ODE∽△ADO；?OE2④2．其中正确结论的序号是 ▲ ． CD?CE?AB11（AB+ED）=（BC+CD），∴∠BMD=90°。即BM⊥DM。故本选项正确。22【答案】①④。

【考点】相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理。

【分析】①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可：∵AB是半圆直径，∴AO=OD。∴∠OAD=∠ADO。又∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD=∠DAO=

1∠CAB。∴∠CAD=∠ADO。∴AC∥OD。∴①正确。 2 ②不能证明CE=OE。∴②错误。

③两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明△ODE∽△ADO。∴③错误。

1CDOC ④要证2CD2=CE?AB，只要CD2=CE?AB，即CD2=CE?OC，只要?。2CECD只要△CED∽△COD即可。

∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD=

1×45°=22.5°。 2 又∵∠CAD和∠COD是同弧所对的圆周角和圆心角，∴∠COD=45°。 又∵AB是半圆直径，∴OC=OD。∴∠OCD=∠ODC=67.5°。

∵∠CAD=∠ADO=22.5°，∴∠CDE=∠ODC﹣∠ADO=67.5°﹣25°=45°， ∴△CED∽△COD。从而得证。∴④正确。 综上所述，①④正确。

2.（江苏苏州3分）如图，已知△ABC是面积为3的等边三角形，

△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于 点F，则△AEF的面积等于 ▲ （结果保留根号）． 【答案】3?3。 4【考点】相似三角形的性质 等边三角形的性质, 特殊角的三角函数。 【分析】过点C作CG，G是垂足，∵△ABC是等边三角形，∴CG＝3 AB。

213又∵S△ABC＝3，即?AB?AB=3，∴AB＝2。

22又∵AB＝2AD，∴AD＝1。

又∵△ABC∽△ADE，∴△ADE是等边三角形。

过点F作FH⊥AE，H是垂足，∵∠BAD＝45°，∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠EAF＝45°。 ∴△AFH是等腰直角三角形。

设AH＝FH＝h，在Rt△FHE中∠E＝60°，EH＝1－h，FH＝h， ∴tanE?FHh3133?3?tan600??h??。∴S?AEF??1?。 EH1?h21?341?33.（江苏泰州3分）如图，平面内4条直线l1、l2、 l3、 l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是 ▲ 平方单位。

【答案】5或9。

【考点】平行的性质，勾股定理, 正方形面积。

【分析】①A 点在l1定下后，B点由A 点向下平移2个单位到l2后向左平移1个单位得到；C点由B 点向下平移1个单位到l4后向右平移2个单位得到；D点由C 点向上平移1个单位到l3后向左平移2个单位得到。这时得到的四边形ABCD是边长为5个单位长度的正方形，该正方形的边长是12?22?5，面积是5平方单位。( 如下左图 ）②边长是3的正方形，该正方形的边长面积是9平方单位。( 如下右图 ）

决问题

4. （河南省3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为 ▲ ． 【答案】3+3。

【考点】直角梯形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质。

【分析】已知AD∥BC，∠ABC=90°，点E是BC边的中点，即AD=BE=CE=3，

∴四边形ABED为矩形，∴∠DEC=90°，∠A=90°。 又∠C=60°，∴DE=CE?tan60°=3×3=3。

又△DEF是等边三角形，∴DF=DE=AB=3，∠AGD=∠EDF=60°，∠ADG=30° ∴AG=AD? tan 30°=3?3=1。∴DG=2，FG=DF－DG=1，BG=3－1=2。 3∴△AGD≌△GFB（ASA）。∴BF=AD=3， ∴△BFG的周长为2+1+3=3+3。

5.（江西南昌3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°．有以下四个结论：①AF丄BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE= 【答案】①②③④。

【考点】含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】∵两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°． ∴∠CAF=30°，∴∠GAF=60°，∴∠AFB=90°，①AF丄BC正确； ∵AD=AC，∠DAG=∠CAF，∠D=∠C=60°，∴②△ADG≌△ACF正确；

∵△ADG≌△ACF，∴AG=AF，∵AO=AO，∠AGO=∠AFO=90°，∴△AGO≌△AFO，∴∠OAF=30°，∴∠OAC=60°，∴AO=CO=AC，BO=CO=AO，∴③O为BC的中点正确；

假设DG=x，∵∠DAG=30°，∴AG=x，∴GE=3x，∴④AG：DE=3：4正确。

：4，其中正确结论的序号是 ▲ ．

故答案为：①②③④。

?是半径为 6 的⊙D的6.（内蒙古乌兰察布4分）如图，BE1圆周，C点是4?上的任意一点， △ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值范BE围是 ▲

【答案】18?P?18?62。

【考点】动点问题，等边三角形的性质，勾股定理。

【分析】当点C与点B重合时，不构成四边形，此时△ABC的周长是18，则四边形ABCD的周长P都大于它；

当点C与点E重合时（如图），四边形ABCD的周长P最大，根据勾股定理，可得BC＝62，此时四边形ABCD的周长P＝18+62。 因此，四边形ABCD的周长P的取值范围是18?P?18?62。

7.（安徽省5分）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，CE＝1， DE＝3，则⊙O的半径是 ▲ ． 【答案】5。

C

B E A O

D

【考点】全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，同弧所对圆周角与圆心角的关系。

【分析】如图，连接OB，OD，BD，AD，由知可以证明BE=CE=1，AE=BE=3。

∴在Rt△BDE中，BD=12?32?10。∵AE=DE，∴∠BAD＝45°。∴∠B0D＝90°。

22222∴在Rt△BOD中，BD=OB?OC?BD?2OB?10?OB?5?OB?5。

三、解答题

1.（浙江金华、丽水8分）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，此时有OA∥PE． （1）求证：AP=AO； （2）若tan∠OPB=

1，求弦AB的长； 2（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 ．

【答案】解：（1）∵PG平分∠EPF，∴∠DPO=∠BPO。

∵OA∥PE，∴∠DPO=∠POA。∴∠BPO=∠POA。∴AP=AO。 （2）过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB=∵tan∠OPB=

1AB， 2OH1?，∴PH=2OH。 PH2设OH=x，则PH=2x，

由（1）可知PA=OA=10，∴AH=PH﹣PA=2x﹣10。 ∵AH+OH=OA，∴（2x﹣10）+x=10，解得x1=0（不

合题意，舍去），x2=8。

∴AH=6，∴AB=2AH=12。

（3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B。

【考点】垂径定理，勾股定理，菱形的判定，等腰梯形的判定，锐角三角函数的定义，解一元二次方程。

【分析】（1）由已知条件“射线PG平分∠EPF”求得∠DPO=∠BPO；然后根据平行线的性质，两直线OA∥PE，内错角∠DPO=∠POA；最后由等量代换知∠BPO=∠POA，从而根据等角对等边证明AP=AO。

（2）设OH=x，则PH=2x．作辅助线OH（“过点O作OH⊥AB于点H”），根据垂径定理知AH=HB=

2

2

2

2

2

2

11AB；又有已知条件“tan∠OPB=”求得PH=2OH；然后利用（1）的结果及22勾股定理列出关于x的一元二次方程，解方程即可。

（3）根据菱形的判定、等腰梯形的判定定理填空。

2.（浙江台州12分）如图1，AD和AE分别是△ABC的BC边上的高和中线，点D是垂足，

点E是

DE

BC的中点，规定：λA＝．特别地，当点D、E重合时，规定：λA＝0．另外，对λB、

BE

λC作类似的 规定．

(1)如图2，在△ABC中，∠C＝90o，∠A＝30o，求λA、λC；

(2)在每个小正方形边长均为1的4×4的方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点(格点即每个小

正方形的顶点)上，且λA＝2，面积也为2；

(3)判断下列三个命题的真假(真命题打“?”，假命题打“×”)： ①若△ABC中λA＜1，则△ABC为锐角三角形；【 】 ②若△ABC中λA＝1，则△ABC为锐角三角形；【 】 ③若△ABC中λA＞1，则△ABC为锐角三角形．【 】

【答案】解：（1）如图，作BC边上的中线AD，又AC⊥BC。 CD

∴λA＝ ＝1 。

BD

过点C分别作AB边上的高CE和中线CF， ∵∠ACB＝90o， ∴AF＝CF。

∴∠ACF＝∠CAF＝30o。 ∴∠CFE＝60o。 EFEF1

∴λC＝ ＝ ＝cos60o＝ 。

AFCF2

（2）画图如下：

（3）×；√；√ 。

【考点】解直角三角形，三角形的角平分线、中线和高，作图（应用与设计作图），真假命题的定义。

【分析】（1）根据直角三角形斜边中线、高的特点进行转换即可得出答案。

（2）根据题目要求即可画出图象。 （3）根据真假命题的定义即可得出答案。

3.（浙江省12分）如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC，延长EC到P，连结PB，使PB=PE．

(1) 在以下5个结论中：一定成立的是 （只需将结论的代号填入题中的横线上）①弧AC=弧BC；②OF=CF；③BF=AF；④AC=AE?AB；⑤PB是⊙O的切线．

(2) 若⊙O的半径为8cm，AE:EF=2:1，求弓形ACB的面积．

2

【答案】解：（1）①，③，④，⑤；

（2）设EF=x，则AE=EC=PC=2x，PB=4x，且BF=3x，BE=4x，

∴PB=BE=PB 。∴△PBE是等边三角形 。 ∴∠PBE=60o。 ∵ EA=EC， ∴∠CAE=∠ACE

。∴∠PEB=∠CAE+∠ACE= 2∠CAE=∠BOC=60o。 ∴∠BOA=120o 。 ∴AB=83, OF=4。

∵ 扇形OAB的面积=

120???82360?643?， △OAB的面积=

12?4?83?163， ∴弓形ACB的面积=643??163。 【考点】等弦对等弧，弦径定理，相似三角形的判定和性质，圆切线的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形和三角形的面积。

【分析】（1）①由△ACF≌△BCF可得AC=BC，根据等弦对等弧可得弧AC=弧BC； ②OF=CF不一定成立； ③由弦径定理，得BF=AF；

④由△ACE∽△ABC可得

ACAB?AEAC，∴AC2

=AE?AB； ⑤可证PB⊥OB，即PB是⊙O的切线。

（2）求弓形ACB的面积，只要求出扇形OAB的面积和△OAB的面积的面积即可。 4.（辽宁大连9分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC、BC．

⑴△ABC的形状是______________，理由是_________________； ⑵求证：BC平分∠ABE；

⑶若∠A＝60°，OA＝2，求CE的长．

【答案】解：（1）直角三角形，直径所对的圆周角是直角。

（2）证明：∵∠ACB是直角，BE⊥CD，CD是⊙O的切线切点

为C，

∴∠OCB=∠EBC。

又∵且OC=OB，BC平分∠ABE；

∴∠OCB=∠EBC，即BC平分∠ABE。 （3）∵OA=2，∴AB=4，

在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=4，∴BC=AB?sinA?4?sin600?4?∴CE= 3。

【考点】切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数。 【分析】（1）因为直径所对的圆周角是直角，所以△ABC是直角三角形。

（2）由∠ACB是直角，BE⊥CD，且OC=OB，可证BC平分∠ABE。

（3）在Rt△ABC中，应用锐角三角函数可求得BC=?23，，所以在直角三角形CBE中，CE=

3 ?23。21BC= 3。 25．（辽宁丹东10分）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D． （1）tan ∠ABC=

3，AC=6．求线段BD的长． 4 （2）若点E为线段BC的中点，连接DE．

求证：DE是⊙O的切线． 【答案】解：（1）∵tan∠ABC＝3，AC＝6，∴BC＝8。由勾股定理得：AB＝10。 4∵∠ACB＝90°，AC为直径，∴BC是圆O的切线。 ∵BDA是圆的割线，∴BC＝BD×AB，∴BD＝6.4。 ∴线段BD的长是6.4。 （2）证明：连接OD、CD， ∵AC为圆O的直径，∴∠CDA＝90°。∴∠BDC＝180°－90°＝90°。 ∵E为BC的中点，∴DE＝21BC＝CE。∴∠ECD＝∠EDC。 2∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC。 ∵∠ECD+∠DCO＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°。∴∠ODE＝90°。 ∴DE是⊙O的切线。 【考点】锐角三角函数的定义，切线的判定，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质。

【分析】（1）根据锐角三角函数和勾股定理求出BC、AB，根据切线的性质求出BD即可。

（2）连接OD、CD，根据圆周角定理求出∠CDA＝∠BDC＝90°，根据直角三角形

的性质和等腰三角形的性质求出∠ECD＝∠EDC，∠OCD＝∠ODC即可。

6.（广西河池10分）)如图1，在△OAB中，∠OAB＝90o，∠AOB＝30o，OB＝8．以OB为一

边，在

△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

(1)求点B的坐标；

(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；

(3)如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

【答案】解：(1)∵在△OAB中，∠OAB＝90o，∠AOB＝30o，OB＝8， ∴OA＝43，AB＝4。∴点B的坐标为（43，4）。 （2）∵∠OAB＝90o，∴AB⊥x轴，∴AB∥EC。

又∵△OBC是等边三角形，∴OC＝OB＝8。

又∵D是OB的中点，即AD是Rt△OAB斜边上的中线，

∴AD＝OD，∴∠OAD＝∠AOD＝30o，∴OE＝4。∴EC＝OC－OE＝4。 ∴AB＝EC。∴四边形ABCE是平行四边形。

（3）设OG＝x，则由折叠对称的性质，得GA＝GC＝8－x。 在

Rt△OAG

2222中，由勾股定理，得GA?OA?OG，即

?8?x?2??4?3?x，

2 解得，x?1。

∴OG的长为1。

【考点】解直角三角形，特殊角的三角函数，平行四边形的判定，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，折叠对称的性质，勾股定理。 【分析】(1) 应用特殊角的三角函数解Rt△OAB，即可。

（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，一方面由∠OAB＝90o

可证AB∥EC；另一方面应用直角三角形斜边上中线的性质和等腰三角形等边对等角的性质，经等量代换可证得AB＝EC。

（3）由折叠对称的性质，在Rt△OAG中应用勾股定理即可求得OG的长。 7.（江苏盐城10分）如图，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

（1）若AC=6，AB= 10，求⊙O的半径；

（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形， 试判断四边形OFDE的形状，并说明理由． 【答案】解：（1）连接OD. 设⊙O的半径为r.。 ∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC。

∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC。

ODOBr10-r15

∴ ＝ ，即 ＝ 。 解得r ＝ 。 ACAB610415∴⊙O的半径为。

4

(2)四边形OFDE是菱形。证明如下。 ∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠B。

11

∵∠DEF＝∠DOB，∴∠B＝∠DOB。

22

∵∠ODB＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°。∴∠DOB＝60°。

∵DE∥AB，∴∠ODE＝60°。∵OD＝OE，∴△ODE是等边三角形。∴OD＝DE。 ∵OD＝OF，∴DE＝OF。∴四边形OFDE是平行四边形。

∵OE＝OF，∴平行四边形OFDE是菱形。

【考点】直线与圆相切的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，同弧所对的圆同角与圆心角的关系，直角三角形两锐角的关系，菱形的判定。

【分析】（1）要求⊙O的半径，就要把它放到三角形内，故作辅助线：连接OD。这样△OBD和△ABC易证相似，再用对应边的比就可求出半径。

(2)要证四边形OFDE是菱形，由于OE和OF都是半径，故只要证四边形OFDE是平行四边形即可。要证这一点，由于四边形BDEF是平行四边形，有DE∥BF（ED∥OF），故只

ACEDOFB?所对的圆同角∠DEF等于圆心角∠DOB的一半，平行四边形要证DE=OF，这一点由同弧DF对角相等∠DEF＝∠B和直角三角形两锐角互余∠DOB＋∠B＝90°容易得到。 8.（山东烟台10分）已知：如图，在四边形ABCD中，

∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD＋CD＝2AB．

（1）求证：AB＝BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD． 【答案】解：（1）证明：连接AC。

∵∠ABC＝90°，∴AB＋BC＝AC。 ∵CD⊥AD，∴AD＋CD＝AC。 ∵AD＋CD＝2AB，∴AB＋BC＝2AB。∴AB＝BC。

（2）证明：过C作CF⊥BE于F。

∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形。∴CD＝EF。 ∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF。

又∵AB＝CB，∠BEA＝∠CFB，∴△BAE≌△CBF（AAS）。 ∴AE＝BF。 ∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD。

【考点】勾股定理，等量代换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明。

（2）可采用“截长”法证明，过点C作CF⊥BE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF即可，这一点又可由AAS的全等三角形获证。

9.（山东日照9分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．求证： （1）∠AOC＝2∠ACD； （2）AC＝AB·AD．

【答案】证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°。即∠ACD＋∠ACO＝90°。

∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO。∴∠AOC＝180°－2∠ACO，即∴∠ACD－

2

2

2

2

2

2

2。

2

2

2

2

2

2

222

1∠AOC+∠ACO＝90°。 21∠AOC＝0，即∠AOC＝2∠ACD。 2（2）如图，连接BC。 ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°。 在Rt△ACD与△RtABC中，

由（1）∠AOC＝2∠ACD，又∵∠AOC＝2∠B，∴∠B＝∠ACD。∴△ACD∽△ABC。 ∴

ACAD2

，即AC＝AB·AD。 ?ABAC【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等量代换，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由CD是⊙O的切线得到∠OCD＝90°，即∠ACD＋∠ACO＝90°，而利用OC＝OA得到∠ACO＝∠CAO，然后利用三角形的内角和即可证明。

（2）如图，连接BC。根据直径所对圆周角是的圆周角定理，由AB是直径得到∠ACB＝90°，然后利用已知条件可以证明在Rt△ACD∽△RtABC 接着利用相似三角形的性质即可证明。

10.（广东茂名8分）如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2． （1）求证：OD=OE；

（2）求证：四边形ABED是等腰梯形；

（3）若AB=3DE，△DCE的面积为2，求四边形ABED的面积．

【答案】解：（1）证明：如图，∵△ABC是等腰三角形，∴AC=BC，∴∠BAD=∠ABE。 又∵AB=BA、∠2=∠1，∴△ABD≌△BAE（ASA）。∴BD=AE。 又∵∠1=∠2，∴OA=OB。∴BD﹣OB=AE﹣OA，即：OD=OE。

（2）证明：由（1）知：OD=OE，∴∠OED=∠ODE。∴∠OED=（180°﹣∠DOE）。 同理：∠1=（180°﹣∠AOB）。

又∵∠DOE=∠AOB，∴∠1=∠OED。∴DE∥AB。 又∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD与BE不平行。

∴四边形ABED是梯形。

又由（1）知，△ABD≌△BAE，∴AD=BE。 ∴梯形ABED是等腰梯形。

（3）由（2）可知：DE∥AB，∴△DCE∽△ACB。

S21?DE??DE??? ∴?DCE??，即 ???S?ACB?3DE?9S?ACB?AB? ∴S?ACB =18。

22 ∴S四边形ABED?S?ACB?S?DEC?18?2?16。

【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰梯形的判定。

【分析】（1） 如图，由△ABC是等腰三角形，得到∠BAD=∠ABE，，然后利用已知条件证明△ABD≌△BAE，由全等三角形的性质得到BD=AE，又由∠1=∠2得到OA=OB，由此即可证明OD=OE。

（2）由（1）的OD=OE根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE，根据三角形的内角和得到∠OED=（180°﹣∠DOE），∠1=（180°﹣∠AOB），而∠DOE=∠AOB，所以得到∠1=∠OED，然后利用平行线的判定得到DE∥AB，最后证明AD与BE不平行，这样就可以证明梯形ABED是等腰梯形。

（3）由（2）可知DE∥AB，然后得到△DCE∽△ACB，接着利用相似三角形的性质即可求出△ACB的面积，然后就可以 求出四边形ABED的面积。

11.（广东清远8分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，切点为A，D为⊙O上一点，AD与OC相交于点E，且∠DAB＝∠C．

C （1）求证：OC∥BD；

（2）若AO＝5，AD＝8，求线段CE的长．

【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90o。 ∵AC与⊙O相切，∴∠CAB＝90o。 ∵∠DAB＝∠C，∴∠AOC＝∠B。∴OC∥BD。

（2）∵AO＝5，∴AB＝10。又∵AD＝8，∴BD＝102?82=6。 ∵O为AB的中点，OC∥BD， ∴OE＝3。

∵∠DAB＝∠C，∠AOC＝∠B， ∴△AOC∽△DBA。 COAOCO525

∴＝ 。∴＝ 。 ∴CO＝ 。

ABDB10632516

∴CE＝CO－OE＝－3＝

33

【考点】直径所对的圆周角性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角的性质和三角形内角和定理可得∠AOC＝∠B，再根据同位角相等两直线平行的判定，证得OC∥BD。

（2）要求CE，只要求出CO和OE即可。一方面OC∥BD，AO=OB，OE是?ABD的中位

A E O D B

线，根据三角形中位线定理OE=

1BD，而由已知应用勾股定理可求BD。另一方面由于2△AOC∽△DBA，由相似三角形对应边的比相等可求。

12.（广东肇庆10分）已知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD。

（1）求证：∠DAC=∠DBA （2）求证：P是线段AF的中点 （3）若⊙O的半径为5，AF=

15，求tan∠ABF的值。 2【答案】解：（1）证：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA。

∵∠DAC与∠CBD都是弧DC所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD。 ∴∠DAC=∠DBA。

（2）∵AB是直径，∴∠DAC=90。

又∵DF⊥AB，∴∠DEB=90。∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90。 ∴∠ADE=∠ABD=∠DAP。∴PD=PA。

又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90，且∠DAC=∠ADE， ∴ ∠PDF= ∠DFA=∠DFP。∴PD=PF。 ∴PA=PF。即P是线段AF的中点。

（3）∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA，∴△FDA∽△ADB。 ∴

0

0

0

0

ADAF。 ?DBAB15ADAF23 ∴在△ADB中，tan?ABD????。

DBAB104 即tan∠ABF=

3。 4【考点】同弧所对的圆周角性质，直径所对的圆周角性质，三角形内角和定理，等量代换，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等的性质和角平分线定义可证。

（2）利用直径所对的圆周角是直角的性质和三角形内角和定理，经过等量代换可证。 （3）利用相似三角形的判定和性质可求。

13.（广东珠海9分）已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°； 点D是⌒BC上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且

O B D C E A F

DE∥BC；连结AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交 于点F．

（1）求证：△ABD∽△ADE；

（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE，求证：S△DAF＞S△BAE． 【答案】解：（1）证明：连结OD．

∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE。 又∵DE∥BC，∴OD⊥BC。 ⌒＝ ⌒。∴∠BAD＝∠EAD。 ∴ BDCD ∵DE∥BC，∴∠BCA＝∠DEA。 又∵∠BDA＝∠BCA，∴∠BDA＝∠DEA。 ∴△ABD∽△ADE。

ABAD2

（2）由（1）△ABD∽△ADE得，＝，即AD＝AB·AE 。

ADAE1

设在△ABE中，AE边上的高为h，则：S△ABE＝ h·AE，且h＜AB．

2 由∠ABC＝45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形 12

∴S△DAF＝ AD＝AB·AE ． ∴S△DAF＞S△BAE 。

2

【考点】圆切线的性质，平行的性质，等（同）弧所对圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，点到直线距离的性质，等腰直角三角形的判定和性质。

【分析】（1）要证△ABD∽△ADE，就要证两组对应角对应相等。一方面∠BDA和∠DEA与∠BCA都相等，这是因为∠BDA和∠BCA是同弧AB所对的圆周角，是相等的；∠BDA和∠BCA是两平行直线的同位角，也是相等的，所以∠BDA＝∠DEA。另一方面∠BAD和∠EAD是等弧BD和CD所对的圆周角（可由DE是⊙O的切线证得）。从而得证。

（2）要证S△DAF＞S△BAE，就要找出两个面积构成的线段间的关系。一方面设在△ABE1122中，AE边上的高为h，则：S△ABE＝ h·AE ；另一方面S△DAF＝ AD，而由（1）可证得AD

22＝AB·AE 。从而根据点到直线的线段中垂直线段最短的性质即h＜AB得证。

14．（河北省9分）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．

（1）求证：①DE=DG； ②DE⊥DG

（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：

S正方形ABCDCE1（4）当的值． ?时，请直接写出

S正方形DEFGCBn【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°。

又∵CE=AG，∴△DCE≌△GDA（SAS）。∴DE=DG。 由△DCE≌△GDA得∠EDC=∠GDA，

又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°，即∠GDE=90°。∴DE⊥DG。 （2）如图．

（3）四边形CEFK为平行四边形。证明如下： 设CK、DE相交于M点，

∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG。 ∵BK=AG，∴KG=AB=CD，

∴四边形CKGD是平行四边形。∴CK=DG=EF，CK∥DG ∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°。∴∠KME+∠DEF=180°。 ∴CK∥EF。

∴四边形CEFK为平行四边形。 （4）

S正方形ABCDS正方形DEFGn2?2=。 n?1【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，尺规作图。

【分析】（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG。

（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形

DEFG。

（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形。 （4）设CE=1，由

CE1?，得CD=CB=n CBn在Rt△CED中，由勾股定理，得DE2?CE2?CD2?1?n2。 ∴

S正方形ABCDS正方形DEFGCD2n2。 ??DE2n2?115.（江西南昌7分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为23，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）． （1）求∠BAC的度数； （2）求△ABC面积的最大值． （参考数据：sin60??333 ，cos30??，tan30??.） 223【答案】解：(1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD。

∵BD是直径，∴BD=4，?DCB?900。 在Rt△DBC中，sin?BDC?BC233， ??BD42 ∴?BDC?60?，∴?BAC??BDC?600。

(2) 因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积

最大，此时点A落在优弧BC的中点处。

过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC， 1则AB=AC，?BAE??BAC?300。

2 在Rt△ABE中，∵BE?3, ?BAE?300， ∴AE?BE?tan30?1?3。 ∴S△ABC=?23?3?33。

2333 答：△ABC面积的最大值是33。

【考点】垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD。由直径所对圆周角是直角的性质，，在Rt△DBC中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出?BDC的度数，再由圆周角定理即可求解。

（2））因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处，过OE⊥BC与点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点，连接AB，AC，则AB=AC，由圆周角定理可求出∠BAE的度数，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长，由三角形的面积公式即可解答。 16.（湖北武汉10分）

（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：

DPPE. =BQQC（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点. ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；

②如图3，求证MN=DM·EN.

2

【答案】解：（1）证明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，

DPAP。 ＝BQAQEPAP同理在△ACQ中，。 ＝CQAQDPEP ∴。 ＝BQCQ∴△ADP∽△ABQ。 ∴（2）①

2。 9②证明：∵∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90，∴∠B=∠CEF。 又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC。∴

＝CF·BG

又∵DG＝GF＝EF，∴GF＝CF·BG。 由（1）得

2

DGBG。∴DG·EF＝CFEFDMMNEN ， ＝＝BGGFCF?MN?DMEN2

? ∴?。 ∴MN＝DM·EN。 ?＝BGCF?GF?【考点】相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，等量代换。

【分析】（1）易证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出

2DPEP。 ＝BQCQ2，2（2）①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC边上的高

根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长

2。从而，由△AMN∽△AGF和3222△AMN的MN边上高，△AGF的GF边上高，GF=，根据 MN：GF等于

623高之比即可求出MN。

②可得出△BGD∽△EFC，则DG?EF=CF?BG；又DG=GF=EF，得GF=CF?BG，再根据（1）

2

DMMNEN，从而得出答案。 ＝＝BGGFCF17.（湖北宜昌8分）如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO=CO，BC∥EF． （1）证明：AB=AC；

（2）证明：点O是△ABC的外接圆的圆心；

（3）当AB=5，BC=6时，连接BE，若∠ABE=90°，求AE的长． 【答案】解:（1）∵AE⊥EF， EF∥BC，∴AD⊥BC。

在△ABD和△ACD中，∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴AB＝AC。 （2）连接BO，∵AD是BC的中垂线，∴BO＝CO。

又∵AO＝CO，∴AO＝BO＝CO。 ∴点O是△ABC外接圆的圆心。 （3）在Rt△ABD中，∵AB=5，BD=

1BC=3， 2∴AD=AB2?BD2?52?32?4。 ∵∠ABE＝∠ADB=90°，

∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°，∴∠ABD=∠AEB。

又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABD∽△AEB。

ABADAB25225∴。∴AE=。 ???AD44AEAB【考点】全等三角形的判定，线段中垂线的性质，三角形的外接圆外心的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由BC∥EF，AD⊥EF，可证得AD⊥BC，从而由SAS证明△ABD≌△ACD，则可证得AB=AC。

（2）由AD是线段BC的垂直平分线，可证得OB=OC，又由AO=CO，则可得AO=BO=CO，得证。

（3）首先求得AD的长，又由△ABE∽△ADB，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的长。

18.（湖北黄冈、鄂州8分）如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA

?上一点，的外角的平分线，F为ADBC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．

（1）求证：△ABD为等腰三角形． （2）求证：AC?AF=DF?FE． 【答案】证明：（1）连接CF、BF，

∵CD为∠BCA的外角的平分线，

∴∠ACD=∠MCD=∠CDB+∠CBD=∠CFB+∠CFD=∠DFB， 而∠ACD=∠DFB=∠DAB，∠ACD=∠DBA， ∴∠DAB=∠DBA。 ∴△ABD为等腰三角形。 （2）由（1）知AD=BD，BC=AF，

??BCD?，AF??BC?， 则AFD??DF?，∴CD=DF。 ∴CD又BC=AF，∴∠BDC=∠ADF，∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，即∠CDA=∠BDF。 而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA。 同理∠DCA=∠AFE

∴在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE， ∴△CDA∽△FAE，∴

CDAC，即CD?EF=AC?AF。 ?FAEF又由CD=DF有AC?AF=DF?EF。命题即证。

【考点】角的平分线性质，三角形外角定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，圆中弧和弦的关系，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）CD为∠BCA的外角的平分线得到∠MCD=∠ACD，求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可。

（2）由同圆中等弧对等弦的性质，可推出CD=DF；通过角的等量代换，证△CDA∽△FAE，得到

CDAC即可推出结论。 ?FAEFAPM?上任一点（点 19.（湖北孝感10分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是ABP不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交的延长线于点M. （1）填空：∠APC=______度，∠BPC=_______度；（2分） （2）求证：△ACM?△BCP；（4分）

（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积.（4分） 【答案】解：（1）60， 60；

（2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60°。 ∴∠M=180°－∠BPM－（∠APC＋∠BPC）=180°－120°=60°。 ∴∠M=∠BPC=60。

又∵A、P、B、C四点共圆，∴∠MAC=∠PBC。 又∵AC=BC，∴△ACM≌△BCP（AAS）。 （3）∵△ACM≌△BCP，∴CM=CP AM=BP。

又∠M=60°，∴△PCM为等边三角形。∴CM=CP=PM=1+2=3。 作PH⊥CM于H，

在Rt△PMH中，∠MPH=30°，PM=3， ∴PH=PM?cos?MPH=3?BOC33?3。 2211315∴梯形PBCM的面积为：(PA?CM)?PH?(2?3)?3?3。

2224【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，梯形的面积。

【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角。

（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即

可。

（3）利用上题证得的两三角形全等判定△PCM为等边三角形，从而求得PH的长，

利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可。

20.（湖北潜江仙桃天门江汉油田8分）如图，BD是⊙O的直 径， A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线 交于点E.

（1）求证：△ABD∽△AEB； （2）若AD=1，DE=3，求BD的长.

??AC?。 【答案】解：（1）证明：∵AB=AC， ∴AB∴∠ABC=∠ADB。

又∠BAE=∠DAB，∴ △ABD∽△AEB。 （2）∵△ABD∽△AEB，∴

ABAD。 ?AEAB2

∵ AD=1， DE=3，∴AE=4。 ∴ AB=AD·AE=1×4=4。∴ AB=2。 ∵ BD是⊙O的直径，∴∠DAB=90°。

在Rt△ABD中，BD=AB＋AD=2＋1=5，∴BD=5。

2

2

2

2

2

【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理。

【分析】（1）结合已知条件就可以推出∠ABC=∠ADB，再加上公共角就可以得出结论。

（2）由（1）的结论就可以求出AB的长度，由勾股定理即可求出BD的长度。

21.（内蒙古乌兰察布10分）如图，在 Rt△ABC中,∠ACB＝900D是AB 边上的一点，以BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F . ( 1 ）求证： BD = BF ;

( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长． 【答案】解：（1）证明：连结OE，

∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED。 ∵⊙O与边 AC 相切于点E， ∴OE⊥AE。∴∠OEA=90°。

∵∠ACB=90°，∴∠OEA=∠ACB。∴OE∥BC。

∴∠F=∠OED。

∴∠ODE=∠F。∴BD=BF。

（2）过D作DG⊥AC于G，连结BE， ∴∠DGC=∠ECF，DG∥BC。 ∵BD为直径，∴∠BED=90°。

∵BD=BF，∴DE=EF。 在△DEG和△FEC中，

∵∠DGC=∠ECF，∠DEG=∠FEC，DE=EF，∴△DEG≌△FEC（AAS）。∴DG=CF。 ∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC。∴∴

去）。

∴BF=BC+CF=12+4=16。

【考点】等腰三角形判定和性质，圆切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，对顶角的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质。

【分析】（1）连接OE，易证OE∥BC，根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F，则根据等角对等边即可求证。

（2）易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即

可求解。

22.（四川乐山10分）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。 题乙：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3，AC=4.

(1) 求证:AC⊥BD (2) 求△AOB的面积

【答案】解：（1）过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E，

∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形。 ∵AD=2，BC=BD=3，AC=4， ∴BE=BC+CE=5，DE=AC=4，BD=3。 ∴BD+DE=BE。∴∠BDC=90°。 ∴BD⊥DE，∴BD⊥AC。 （2）过点D作DF⊥BC于F，

2

2

2

ADDG。 ?ABBC8CF2，∴CF?20CF?96?0，∴CF?4或CF??24（舍?8?12?CF1211BD?DE3?412BE?DF?BD?DE，∴DF??? 22BE55111218∴S?ABC?BC?DF??3??。

2255OAAD2∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB。∴??。

OCBC3∵S?DBC?∴OA：AC=2：5。∴S?AOB:S?ABC?2:5。∴S?AOB?221836S?ABC???。 55525【考点】平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E，即可证得四边形ACED是平行四边形，则可求得BD，BE，DE的长，由勾股定理得逆定理即可证得BD⊥DE，则可证得BD⊥AC。

（2）作DF⊥BC，由S?DBC?11BE?DF?BD?DE，即可求得DF的值，求得△ABC22的面积，又由△AOD∽△COB，求得OA与OC的比值，根据同高的三角形的面积比等于对应底的比即可求得答案。

23.(四川德阳14分) 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD，AE． (1)求证：∠C=∠BED； (2)如果AB=10，tan∠BAD=

3，求AC的长； 4 (3)如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积． 【答案】解：(1)证明；∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，

又∵OC⊥AD，∴∠OFA=90°。∴∠AOC+∠BAD=90°。∴∠C=∠BAD。 又∵∠BED=∠BAD，∴∠C=∠BED。

33，∴tan∠C=。 44OA15320在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，∴。 ?，解得AC?AC2AC43（2）由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=

??。∴AE=ED。 （3）∵OC⊥AD，∴AE=ED??。∴AE=BD。 又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA。∴AE=BD???DE?。∴∠BAD=30°。 ∴AE=BD=DE。∴AE=BD又∵AB是直径，∴∠ADB=90°。∴BD=

1AB=5,DE=5。 2在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=53。 过点D作DH⊥AB于H， ∵∠HAD=30°，∴DH=

531AD=。

22

∴四边形AEDB的面积=

1153753。 (DE+AB)?DH=?(5?10)??2224【考点】切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，锐角三角函数，勾股定理，平行的性质，梯形的判定和面积。

【分析】(1)由切线的性质、直径所对的圆周角是直角和三角形内角和定理，可得∠C=∠BAD，由同弧所对的圆周角相等，可得∠BED=∠BAD，从而得证。

（2）由（1）的结论，根据锐角三角函数定义，可求出AC的长。

（3）由DE∥AB知，四边形AEDB是梯形，因此求出上、下底长和高即可。

24.（四川广安10分）如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）求证：AQ?PQ=OQ?BQ； （3）设∠AOQ=α，若cosα=

4 ，OQ=15，求AB的长． 5【答案】解：（1）证明：连接OP，与AB交与点C．

∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，

∴△OAP≌△OBP（SSS）。∴∠OBP=∠OAP。 ∵PA是⊙O的切线，A是切点，∴∠OAP=90°。 ∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切线。 （2）∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°， ∴△QAO∽△QBP， ∴

AQOQ，即AQ?PQ=OQ?BQ。 ?BQPQ（3）在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=

4，∴OA=12，AQ=9。∴QB=27。 5∵

AQOQ?，∴PQ=45，即PA=36。∴OP=1210。 BQPQ∵PA、PB是⊙O的切线，∴OP⊥AB，AC=BC。 ∴PA?OA=OP?AC，即36×12=1210?AC。

∴AC=18103610，故AB=。 55【考点】全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，弦径定理。

【分析】（1）由SSS可证得△OAP≌△OBP（SSS），从而由∠OAP=90°可得∠OBP=90°而得证。 （2）由△QAO∽△QBP即可证得。 （3）由cosα=

4和（2）可求得OP=1210，再由△APO∽△CAO可得PA?OA=OP?AC，5从而求出AC=

18103610而得到AB=。 5525.（四川广元9分）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．

(1)试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论； (2)求证：

BDCD； =BEBC(3)若BC＝

3AB，求tan∠CDF的值． 2【答案】解：（1）∠CBD与∠CEB相等。证明如下：

∵BC切⊙O于点B，∴∠CBD=∠BAD。 ∵∠BAD=∠CEB，∴∠CEB=∠CBD。

（2）证明：∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，∴∠EBC=∠BD。 ∴△EBC∽△BDC。∴

BDCD。 =BEBC（3）∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，即∠ADB=90°。 ∵BC切⊙O于点B，∴AB⊥BC。 ∵BC＝

3BC3AB，∴=。 2AB2设BC=3x，AB=2x，∴OB=OD=x，∴OC=10x。∴CD=

?10－1x。

?∵AO=DO，∴∠CDF=∠A=∠DBF。∴△DCF∽△BCD。

CDDF==∴

BCBD?10?1x3x??=10?13?。∴tan∠DBF=DF=?BD10?13?。

?∴tan∠CDF=

10?13?。

【考点】切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。

【分析】（1）根据题意即可推出∠CBD=∠BAD，由∠BAD=∠CEB，即可推出∠CBD与∠CEB相等。

（2）根据（1）所推出的结论，通过求证△EBC∽△BDC，即可推出结论。 （3）通过设BC=3x，AB=2x，根据题意，推出OC和CD的长度，然后通过求证

△DCF∽△BCD，即可推出DF：BD的值，即∠DBF的正切值，由∠DBF=∠CDF，即可推出∠CDF的正切值。

26.（四川遂宁9分）已知AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，AD?CD于D，BE?CD于E。

求证：⑴CD是⊙O的切线；

⑵CD=AD·BE

【答案】证明：⑴连结OC ，

∴∠OAC=∠OCA。

∵AC平分∠BAC，∴∠DAC=∠OAC。 ∴∠OCA=∠DAC 。 ∴AD∥OC 。

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD。 ∴CD是⊙的切线 。 ⑵ 连结BC，延长AC交BE的延长线于M 。 ∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴AD∥BE。∴∠M=∠DAC。 ∵∠DAC=∠BAM，∴∠BAM=∠M。∴BA=BM。 ∵AB是直径， ∴∠ACB=90。∴AC=MC。

又 ∵∠M=∠DAC，∠D=∠CEM，AC=MC。 ∴△DAC≌△MCE（AAS）。∴DC=EC。 ∴∠DAC=∠BCE，∠ADC=∠CEB。∴?ADC∽?CEB 。 ∴ ∴CE·CD=AD·BE。 ∴CD=AD·BE。

【考点】等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）要证CD是⊙O的切线，就要证CD垂直于过切点的半径，故连结OC。由等腰三角形等边对等角的性质和角平分线的定义，根据内错角相等，两直线平行的判定得到AD∥OC，从而由AD⊥CD证得OC⊥CD而得证。

（2）要证CD=AD·BE，只要证得?ADC∽?CEB即可。由等腰三角形等角对等边的判定可得BA=BM，由∠ACB=90，根据直径所对圆周角是直角的性质可得AC=MC，由AAS可

?2

2

2

?ADCD。 ?CEBE得△DAC≌△MCE。从而可由∠DAC=∠BCE，∠ADC=∠CEB证得?ADC∽?CEB。 27.（四川泸州7分）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点． （1）求∠BPC的度数； （2）求证：PA=PB+PC；

（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度． 【答案】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点， ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°。 ∴∠BPC=60＋60=120°。 （2）在PA上截取PD=PC， ∵∠APB =60°，

∴△PCD为等边三角形，∴∠ADC=120°=∠BPC。 又∵∠CAD=∠CBP，∴△ACD≌△BCP（AAS）。∴AD=PB。 PA=PB+PC。

（3）∵∠CDM=∠ACM=60°，∠DMC=∠CMA ∴△CDM∽△ACM，

∴CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2。

设DM=x，则CM=2x，BM=4﹣2x，PM=2﹣x，AM=4x， ∵∠BPM =∠ACM，∠PBM =∠CAM，∴△BPM∽△ACM。 ∴BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2﹣x）：2x，解得，x=0

0

?1?13（舍去负值）， 3则x=?1?13?2?213，∴CM=。 33【考点】相似三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等边三角形的判定和性质；圆周角定理。

【分析】（1）由圆周角定理得∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°即可证得。

（2）在PA上截取PD=PC，可证明△ACD≌△BCP，则AD=PB，从而得出PA=PB+PC。 （3）容易得到△CDM∽△ACM，所以CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2，设DM=x，

则CM=2x，BM=4﹣2x，PM=2﹣x，AM=4x，△BPM∽△ACM，所以BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2﹣x）：2x，解此分式方程求出x即可。

28.（四川凉山8分）如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆

?的中点，交AC于点F，点E为CF连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD?BE，垂足为点H。

（1） 求证：AB是半圆O的切线； （2） 若AB?3，BC?4，求BE的长。 【答案】解：（1）证明：连接EC， ∵BC是直径，∴?E?90。

又∵AD?BE于H，∴?AHM?90。 ∵?1??2，∴?3??4。

∵AD是△ABC的角平分线，∴?4??5??3。

???的中点， ∴?3??7??5。 又 ∵E为CF∵AD?BE于H，∴?5??6?90， 即?6??7?90。 又∵BC是直径，∴AB是半圆O的切线 。

（2）∵AB?3，BC?4，由（1）知，?ABC?90，∴AC?5。· 在△ABM中，AD?BM于H，AD平分?BAC，∴AM?AB?3，

∴CM?2。

由△CME∽△BCE，得∴EB?2EC，∴BE????ECMC1??。 EBCB285。 5【考点】圆周角定理，对顶角的性质，角平分线的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）连接EC，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等的性质以及已知的AD为△ABC的角平分线， AD?BE，通过角的等量变换，证得?6??7?90，而得证。

（2）证得△CME∽△BCE，即可求出BE的长。

29.（甘肃天水10分）某校开展的一次动漫设计大赛，杨帆同学运用了数学知识进行了富有创意的图案设计，如图（1），他在边长为1的正方形ABCD内作等边△BCE，并与正方形的对角线交于点F、G，制作如图（2）的图标，请你计算一下图案中阴影图形的面积．

?

【答案】解：过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，

∵在边长为1的正方形ABCD内作等边△BCE， ∴AB=BC=CD=AD=BE=EC=1，∠ECB=60°，∠ODC=45°， ∴等边△BCE的高为3。 21332

∴S△BEC=?1?，S正方形=AB=1。 ?224设GN=x，

∵∠NDG=∠NGD=45°，∠NCG=30°，∴DN=NG=x，CN=3NG=3x。 ∴x+3x=1，解得：x=3?1。 2113?13?1∴S△CGD=CD?GN??1?。 ?2224同理：S△ABF=3?1。 43?133?16?33。 ???4444∴S阴影=S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△BCE﹣S△CDG=1?【考点】正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理。

【分析】过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，由在边长为1的正方形ABCD内作等边△BCE，即可求得△BEC与正方形ABCD的面积，由直角三角形的性质，即可求得GN的长，即可求得△CDG的面积，同理即可求得△ABF的面积，又由S阴影=S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△BCE﹣S△CDG，即可求得阴影图形的面积。

30．（青海西宁10分）已知：如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC， AD交BC与E，AE＝2，ED＝4． （1）求证：△ABE∽△ADB； （2）求AB的长；

（3）延长DB到F，使BF＝OB，连接FA，试判断直线FA与⊙O的 位置关系，并说明理由．

【答案】解：（1）证明：∵在⊙O中，AB＝AC，

∴⌒AB＝⌒AC（在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等）。 ∴∠ABC＝∠D（相等的弧所对的圆周角相等）。 ∵∠BAD＝∠BAE，

∴△ABE∽△ADB（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相

等，那么这两个三角形相似）。

ABAE（2）∵△ABE∽△ADB，∴＝。

ADAB

∵AE＝2，ED＝4，∴AB＝23 。

（3）直线FA与⊙O相切 。理由如下：连接AO。

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD＝90°（直径所对的圆周角是直角）。 ∴在Rt△ABD中，AB＋AD＝BD， ∴BD＝43。∴OB＝23。 ∵BF＝OB， AB＝23， ∴AB＝OB＝BF。

∴∠FAO＝90°（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个

三角形是直角三角形）。

∵OA为半径，

∴AF为⊙O切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）。

【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，切线和判定。

【分析】（1）要证△ABE∽△ADB，只要两对应角相等即可。一方面，∠BAD＝∠BAE；另一方面，由等的弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠D。从而得证。

（2）由△ABE∽△ADB，根据相似三角形对应边成比例的性质即可求得。 （3）要证直线FA与⊙O相切，只要证FA垂直于半径的外端的半径即可。 31.（黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．

(1)如图l，当∠ACB=90时，则线段DE、CE之间的数量关系为 (2)如图2，当∠ACB=120时，求证：DE=3CE：

(3)如图3，在(2)的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG

和△DBG关于直线DG对称(点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H． 若BH=10，求CE的长

00

2

2

2

【答案】解：（1）∵∠DBC=∠ACB=90°，∴△DBE∽△CAE。∴

又∵BD=BC=2AC，∴DE=2CE。

∴线段DE、CE之间的数量关系为DE=2CE。

（2）证明：如图，∵∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC，∴∠D=∠BCD=30°。

∴∠ACD=90°。

过点B作BM⊥DC于M，则DM=MC，BM= ∵AC=

BDDE?。 ACCE1BC， 21BC，∴BM=AC。 21CM。 2又∵∠BMC=∠ACM=90°，∠MEB=∠CEA， ∴△BME≌△ACE（AAS）。∴ME=CE= ∴DE=3EC。

（3）如图，过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线

于点N，

设BF=a，∵∠DBF=120°，∴∠FBN=60°，∴FN= ∵DB=BC=2BF=2a，∴DN=DB+BN=

31a，BN= a， 225a。 222?5??3?∴DF? DN?FN? ?a???a?? 7a。

?2??2?22∵AC=

11BC，BF= BC，∴BF=AC。 22∴△DBF≌△ACB，∴∠BDF=∠CBA， 又∵∠BFG=∠DFB，∴△FBG∽△FDB。 ∴

FGBFBG2?? ，即BF=FG×FD， BFDFDB∴a2?7a?FG。∴FG?7a。 7∴DG=DF－FG=

DB2767a，BG?FG??a。

BF27∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，∴∠GDH=∠BDF。∴∠ABC=∠GDH。 又

∵∠BGF=∠DGH

，

∴△BGF∽△DGH

，

∴

BGGF?DGGH。

∴GH?DG?GF37?a。 BG757a?10，，∴a?27。 7∵BH=BG＋GH= ∴BC=2a?47，CM′=BCcos30°=221，∴DC=2CM′=421。 ∵DE=3EC，∴EC=

1DC= 21。 4【考点】相似三角形的判定与性质，因式分解法解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）易证△DBE∽△CAE，通过相似比，可得出结论。

（2）通过作辅助线，过点B作BM⊥DC于M，证明△BME≌△ACE，可证得结论。 （3）过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，设BF=a，

在直角三角形BFN中，用a分别表示出BN、FN的长，利用勾股定理得出DF，再通过证明△BME≌△ACE，△FBG∽△FDB，利用相似比求得FG、DG、BG，然后，根据△DKG和△DBG关于直线DG对称，证得△BGF∽△DGH，利用相似比得出GH、BH，求出a的值，从而求出CE的长。

32.（江苏宿迁12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝

CB为半

径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E． （1）求AE的长度；

（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在 AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

1，以点C为圆心，2【答案】解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝

AC＝12?(1)2＝5

21得 22 ∵BC＝CD，AE＝AD ∴AE＝AC－AD＝5?1。

2 （2）∠EAG＝36°，理由如下：

∵FA＝FE＝1，AE＝AG＝5?1，∴AE＝AG。

2FAFE又∵∠AEG＝∠FEA，∴∠EAG＝∠AEF。∴△AEG∽△FEA。

?5?1???AE2?2?3?5GE＝＝＝FA122∴

AEFA2＝

GEAE。∴。

∴FG＝FA－GE＝1－3?5＝5?1。

2∴AG＝FD。∴∠FAG＝∠F。∴∠FAG＝∠EAG。

∴由三角形内角和定理，得5∠F＝180°，∴∠EAG＝∠F＝36°。

【考点】勾股定理，相似三角形的判定和性质，等量代换，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。

【分析】⑴根据在Rt△ABC中利用勾股定理求得AC，根据BC＝CD，AE＝AD求得AE＝AC－AD

即

可。

（2）由△AEG∽△FEA求出GE从而求出FG的长，证得AG＝FD，进而证得∠FAG＝∠EAG ＝∠F。从而根据三角形内角和定理即可求。

33.（广东广州11分）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上． （1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝2OM；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/db43.html