高等传热学对流理论1

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12h3dxh1h2dx

d2tndt??dr2?rdr???0n?0Plate n?1Cylindern?2Sphere

h=∞， t∞=tw

d2t?dr2????0r?0,dtdr?0r?R,dtdr??h?(tw?t?)

高等传热学对流换热理论

参考文献：

1． 对流传热与传质，杨强生，高等教育出版社，1985

2． 对流传热传质分析，王启杰，西安交通大学出版社，1991

3． 相似理论及其在传热学中的应用，王丰，高等教育出版社，1990 4． A. Bejan, Convection Heat Transfer, Colorado University, New York,

John & Son Inc, 1995

5． W. M. Kays et al, Convection Heat and Mass Transfer, McGraw_Hill

Book Co, 1980

6． 强化传热及其工程应用，林宗虎，机械工业出版社，1991

7． Schliching H, Boundary Layer Theroy, 7th ed. New York, McGraw_Hill

Book Co, 1979

8． 对流换热，任泽霈，北京，高等教育出版社，1998

第一讲：对流换热基本理论 1. 牛顿冷却公式（1701）：q?h?t?t?tf?tw

流体流过壁面与壁面间的换热，关键求 h 2.影响h的主要因素:

物性（?,cp,?,?）及定性温度（tf,(tf?tw)/2等）

流动状态：流态（层流，紊流），起因（强制，自然） 几何：外部流和内部流，大空间和有限空间，大容器等，特征尺度：l(平板), d(圆管),de=4A/P

3．分类： 强制对流：内部流：圆管内和其它形状管内 外部流：外掠平板、圆管（单管或管束），外

掠其它形状柱体，射流冲击换热

无相变 自然对流：大空间，有限空间 对流换热 混合对流：

沸腾换热： 大容器沸腾，管内沸腾； 饱和沸腾，过冷沸腾；

有相变 管内凝结和管外凝结 凝结换热： 膜状凝结，珠状凝结

一般各种对流换热都可分成层流或紊流。

4．换热微分方程：q???w?t?y???ly?0??t?y?hx(tw?tf)

y?0?5．对流换热系数h的求解方法:

分析法，PDE, B.L.PDE, B.L.IDE等； 实验法，相似理论，量纲分析；

比拟法，雷诺比拟，切尔顿－柯尔朋比拟，Plant Analogy, 卡门比拟。 数值法，差分法，有限元法等，

对流换热微分方程组PDE：

1. Mass conservation eq(Continuity eq): 3-D,US/S,Compressible:

????D????(?u)??u???????u?????u?0 ????D?2. Momentum conservation eqs:

a].Newtonian fluid (Navier Stocks eqs):

??uj?uiDui?p??ui2???u?u???fi??(2?????V)?[?(?)]?[?(k?i)] D??xi?xi?xi3?xj?xi?xj?xk?xi?xki=1,2,3; i,j,k轮换。

b]. Newtonian fluid，incompressible, constant property:

?Dui?p??fi????2ui D??xi3. Energy conservation eq: Rate of creation of energy =0 a]. Eular and Lagrange views:

E: fixed volume system: E=W+Qcond+Qconv+Qrad+Qs L: fixed mass system: E-Qconv =W+Qcond +Qrad+Qs

??E?(edxdydz),e??e?(u2?v2?w2)/2 单位时间内C.V内能量的增加。

??总能，热力学能。

??Qconv???(?Ve)dxdydz 单位时间内通过对流进入C.V内的净能量。

?Qcond???qdxdydz????(??t)dxdydz 单位时间内通过导热进入C.V内的净能量。

Qrad?qraddxdydz 单位时间内通过辐射进入C.V内的净能量。 Qs?qsdxdydz 单位时间内通过内热源进入C.V内的净能量。 W: 单位时间内对外作功。

De?dxdydz?(???q?qr?qs)dxdydz?W b]. 总能形式的能量方程：?D?W=Wsur+Wbody Wsur?du2?v2?w2?[?(?gy)dxdydz?P??V???]dxdydz

d?2机械功， 压缩功，耗散功

Wbody： 如重力功：Wbody??gvdxdydz 耗散函数:

??{2[(

?u2?v?w?u?v?w?v2?u?w22)?()2?()2]?[(?)2?(?)?(?)]?(??V)2}?x?y?z?y?x?y?z?z?x3De?dxdydz?(???q?qr?qs)dxdydz?W c]. 总能形式的能量方程：?D?

d]. 热力学能形式的能量方程： De?????q?qr?qs?P??V??? D?e]. 焓形式的能量方程：i=e+P/ρ DiDP?????q?qr?qs???? D?D?DTDP????q?qr?qs??T??? f].定压比热形式的能量方程：?CpD?D????1??()P 体胀系数 ??TDT?P????q?qr?qs?T()???V??? D??Tg].定容比热形式的能量方程：?Cv

边界层对流换热微分方程组B.L.PDE：

Rt, S/S, 2D,Newtonians fluid, Incompressible, Constant property, Force, qr=0, qs=0, φ=0。 ?u?v??0?x?y?u?u1?P?2uu?v????2 ?x?y??x?y?t?t?2tu?v?a2?x?y?y柱坐标：

?u?(rv)??0?x?r?u?u1?P1??uu?v????(r) ?x?r??xr?r?r?t?t1??tu?v?a(r)?x?rr?r?rφ≠0，Rt: ?u?v??0?x?y?u?u1?P?2uu?v????2 ?x?y??x?y?t?t?2t??u2u?v?a2?()?x?yC?yp?y

边界层对流换热微分方程组B.L.IEs： 5-23a 5-24a

复习题；理解能量方程的5种形式。

外掠等温板(tw=c)：

Laminar flow: Rec=ufxc/ν＝5×105

?u??0,?x?t??0,?x?tw?0,?x?P

?0?x?u?v??0?x?y?u?u?2uu?v??2 ?x?y?y?t?t?2tu?v?a2?x?y?yx?0:y??:u?u?,u?u?,t?t?,v?0v?0t?tw t?t?B.C: x?0:y?0:u?0,Blasius速度相似（Similarty）解（1908年） 相似变量：数量级分析（由连续性方程）x,y~?。

v~u??(x)?0,x?(x)~?xu?,??Ay?~yu? ?x无量纲流函数：u,v~f

????v,?x???u,?y???udy??u?g(?)??0,vxdy?u?vx?g(?)dy?u?vxf(?)u?f??0f?0f????0.5ff???0,代入动量方程：

???,f??1

f??u?vx,f??u,u?f????2uxx 代表切应力大小 u??Blasius幂级数解（贾书表7－1，P140）： η f f’ f” 0 0 0 0.33206 2 4 5 0.99155 10.332n?1Cn3n?2f???(?)?,

3n?2u?vxn?02??f?(5)?u? ?0.99155?1,?y???5u?u?xf??(0)?0.332Cf??w????u?y???f??(0)u?y?0u?x??w?0.664Re?0.520.5?u?

??求温度分布(波尔豪森解)：令

t?t?tw?t???????0.5Prf(?)???0

??Prexp[?fd?]d???200Prexp[?fd?]d???200??Pr=0.6~15, θ’(0) =－0.332Pr1/3

?thx?tw?t??y?y?012u???????(0)?0.332??Pr3?y?x

131Nux?0.332RePr Pr 特点 用BL.PDE 用BL.IDE 0.6~15 >10 δ～δt Nux?0.332RePr Nux?0.339RePr 12x1312x13Nux?0.332RePr 12x13δ》δt，δt中速度分别近似为直线，f??(?)?0.332 Nux?0.289RePr 12x13f?(?)?u?0.332? u?f?(?)?u?0.332?2/2 u?<0.05 δ《δt，δt中速度分别近似均匀， f?(?)?u?1 u?u?? u?Nux?0.564RexPr Nux?0.53RexPr 12121212f?(?)? 外掠变温板：tw?t??Axn，设??t?t?t?t? ?tw?t?AxnLaminar flow: Rec=ufxc/ν＝5×105

?u??0,?x?t??0,?x?P

?0?x?u?v??0?x?y?u?u?2uu?v??2 ?x?y?y?t?t?2tu?v?a2?x?y?yx?0:y??:u?u?,u?u?,t?t?,v?0v?0t?tw?t??Axn t?t?

B.C: x?0:y?0:u?0,求温度分布：令

??t?t?tw?t?????0.5Prf(?)???nPrf?(?)??0??????0,??0???1,hx??ttw?t??y??????(0)y?012xu?,?xqw???(tw?t?)??(0)u???x

Nux????(0)Re式中，???(0)?f(?,Pr)

n=-0.5 ???(0)?f(?,Pr)=0, qw=0; n=-0 ???(0)?f(?,Pr)=0.332Pr1/3

n=0.5 ???(0)?f(?,Pr)=1.36×0.332Pr1/3, qw=const; n=1 ???(0)?f(?,Pr)=1.67 ×0.332Pr1/3 因为，qw???(tw?t?)??(0)u?u???Axn??(0)??const ?x?x?xn/x?const,?n?0.5 Pr 6~15, qw=const 用BL.PDE 用BL.IDE 12x13Nux?0.452RePr Nux?0.417RePr 12x13?t,Lh求法：??hA?t,

Lnqdx???Ax?w???(0)00u?uLt(L)?t?dx?????(0)?w?h?t ?x?1/2?n?t?tw(L)?t?, 2?t?tw(L)?t?, n?0.5,1/2?nn<0, x??tw(L)?, n>0, x??tw(L)?, A>0, fluid heating A<0, fluid cooling

外掠等温板(有??)： 1）．高速流动问题

?a) 滞止温度： stagnation, 气体动能变成热能，气体温度上升，idea T?：

?2adiabatic stagnation temp.：T??T??u?/(2cp) ?2绝热温升：?Tad?T??T??u?/(2cp)

2Eckert number: Ec?u?/[cp(Tw?T?)]?2?Tad

(Tw?T?)b) 粘性耗散：viscous dissipation (低Pr、高速或高Pr、低速) c) 变物性

d) 可压缩：Ma<0.3, ??/???Ma2/2?0.32/2?4.5%, Ma：马赫数

e) 离解，ionization, Ma>6时考虑，空气不再是理想气体，由分子，电子，离

子，原子组成的实际气体。 2）．若干定义：

2a) 几种温度：静温：static T? 和动温 kinetic u?/(2cp) ?2T??T??u?/(2cp)?T?(1?k?1Ma2)， k: 绝热指数 2b) 恢复温度Tr与恢复系数r：r?Tr?T? ?T??T?恢复温度Tr是流体在绝热壁面上由摩擦热及导热二种过程的联合作用所达到的平衡温度。r和Pr有关，可大于1或小于1， 层流：r=Pr0.5，紊流：r=Pr1/3

空气：层流, Pr=0.7, r=Pr0.5=0.84

k?1Ma2) c) 绝热壁温：Taw?Tr?T?(1?r2Ma 0.1 0.8 100 500 500 500 T?(K) Tr(K) 500.82 553.5 8850 c) 无量纲温度；?和?1

??(T?T?)/(Tw?T?)

2?1?(T?T?)/[u?/(2cp)]?2?/Ec

2??1(0)?(Taw?T?)/[u?/(2cp)]?(Taw?T?)/(T??T?)?r

d) 参考温度：T?T??0.5(Tw?T?)?0.22(Taw?T?)

3）．流动与热分析结果： a) 控制方程：

?u??0,?x?t??0,?x?tw?0,?x?P

?0，tw=c?x?u?v??0?x?y?u?u?2uu?v??2?x?y?y?t?t?2t??u2u?v?a2?()?x?y?cp?y?y

x?0:y??:u?u?,u?u?,t?t?,v?0v?0t?tw t?t?B.C: x?0:y?0:b) 相似变量：

u?0,v~u??(x)?0,x?(x)~?xu?,??Ay?~yu? ?x无量纲流函数：u,v~f

????v,?x???u,?y???udy??u?g(?)??0,vxdy?u?vx?g(?)dy?u?vxf(?)u?f??0f?0f????0.5ff???0,代入动量方程：

???,f??1

f??u?vx,f??u,u?f????2uxx 代表切应力大小 u??Blasius幂级数解： η f f’ 0 0 0 2 4 5 0.99155 f” 0.33206 10.332n?1Cn3n?2f???(?)?,

23n?2u?vxn?0??f?(5)?u? ?0.99155?1,?y???5u?u?xf??(0)?0.332Cf??w????u?y???f??(0)u?y?0u?x??w?0.664Re?0.520.5?u?

?(?)?T?T?Tw?T?动量式相同，能量式求温度分布：令????0.5Prf(?)???PrEc(f??)2?0

?(0)?1,是两阶线性非齐次方程，特解＋齐次通解

?(?)?0,2c) 特解（绝热壁面）：用?1?(T?T?)/[u?/(2cp)]?2?/Ec，

?1??0.5Prf(?)?1??2Pr(f??)2?0，?1?(0)?0,求出?1，p115图5－2。

?1(?)?0,

d) 通解：?2??0.5Prf(?)?2??0，?2(0)?1,?2(?)?0, 得?2。

Tw?Taw??2(0)

Tw?T?e) 解：??Ec?1(?)/2?[1?Ec?1(0)/2]?2(?)???(0)?qw???(Tw?T?)??(0)u?u??0.332?Pr1/3(Tw?Taw) ?x?x令：hx?qw/(Tw?Taw) 得：Nux?0.332RePr

仅仅把Tw?T?用Tw?Taw代替，就得到和无耗散时相同的解。 4）. 分析：

在Tw?T?情况下，若Tw?Taw：壁面对流体加热，若Tw?Taw：壁面对流体吸热，若Tw?Taw：壁面对流体绝热.

12x13

f??(0)?0.332Cf??w????u?y???f??(0)u?y?0u?x??w?0.664Re?0.520.5?u?

?(?)?T?T?Tw?T?动量式相同，能量式求温度分布：令????0.5Prf(?)???PrEc(f??)2?0

?(0)?1,是两阶线性非齐次方程，特解＋齐次通解

?(?)?0,2c) 特解（绝热壁面）：用?1?(T?T?)/[u?/(2cp)]?2?/Ec，

?1??0.5Prf(?)?1??2Pr(f??)2?0，?1?(0)?0,求出?1，p115图5－2。

?1(?)?0,

d) 通解：?2??0.5Prf(?)?2??0，?2(0)?1,?2(?)?0, 得?2。

Tw?Taw??2(0)

Tw?T?e) 解：??Ec?1(?)/2?[1?Ec?1(0)/2]?2(?)???(0)?qw???(Tw?T?)??(0)u?u??0.332?Pr1/3(Tw?Taw) ?x?x令：hx?qw/(Tw?Taw) 得：Nux?0.332RePr

仅仅把Tw?T?用Tw?Taw代替，就得到和无耗散时相同的解。 4）. 分析：

在Tw?T?情况下，若Tw?Taw：壁面对流体加热，若Tw?Taw：壁面对流体吸热，若Tw?Taw：壁面对流体绝热.

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